不等式恒成立問題的幾種求解策略老師用

1、常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，結(jié)合解題教學(xué)實(shí)踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 已知對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時(shí)f(x)是一次函數(shù)，a0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易

2、求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時(shí)，g(a)0恒成立，則，得.點(diǎn)評 對于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點(diǎn)分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數(shù)最值策略 例3 已知，若恒成立，求a

3、的取值范圍.解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點(diǎn)分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價(jià)于一個(gè)不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個(gè)變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時(shí), k的取值范圍是k2.變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，

4、對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則，, k的取值范圍是k. 點(diǎn)評 本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學(xué)生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解.練習(xí)：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，5 數(shù)形結(jié)合策略例5 已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函

5、數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。點(diǎn)評 本題通過對已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來求參數(shù)的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時(shí)也起到了化繁為簡的效果.6 消元轉(zhuǎn)化策略 例6 已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解析 本題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個(gè)變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所

6、有的恒成立，令，只要， 點(diǎn)評 對于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問題,可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個(gè)側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問題得以順利解決。二：例題講解或練習(xí)：例2 是否存在常數(shù)c使得不等式，對任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論。解：首先，欲使恒成立（x、y0），進(jìn)行換元令。上述不等式變?yōu)椋春愠闪?。尋求的最小值，由a0，b0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式變?yōu)?，即。尋求的最大值，易得。綜上知存在使上述不等式恒成立例3已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函