人教版選修21右曲線求它的方程由方程研究曲線的性質(zhì)講義

1、案例（二）精析精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)一 求曲線方程的步驟根據(jù)條件求曲線的方程的一般步驟可以簡(jiǎn)述為“建系、列式、變換、化簡(jiǎn)、證明”這五步這五步構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的整體,每一步都有其特點(diǎn)和重要性。第一步,“建系”在具體問(wèn)題中有兩種情況所研究的間題中已給定了坐標(biāo)系.此時(shí)就在已給定的坐標(biāo)系中求曲線的方程即可:原題中沒(méi)有確定坐標(biāo)系,此時(shí)必須首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,通?？傔x取特殊位置的點(diǎn)為原點(diǎn),相互垂直的直線為坐標(biāo)軸等;第二步,是求方程的重要一環(huán),應(yīng)仔細(xì)分析曲線的特征,注數(shù))的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程意揭示隱含條件,抓住與曲線上任意點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系列出幾何等式；第三步,在將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的過(guò)程中

2、,常用到一些基本公式,如兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,直線的斜率公式等；第四步,在化簡(jiǎn)的過(guò)程中,注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性,盡量避免“失解”和“增解”;第五步,是證明,從理論上講是必要的,但在實(shí)際處理上常被省略掉,這在多數(shù)情況下是沒(méi)有問(wèn)題的,如遇特殊情況,可適當(dāng)予以說(shuō)明。知識(shí)點(diǎn)二 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程實(shí)質(zhì)上是建立軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系,即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y所適合的等式f(x,y)=0,因此要分析形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的形式,建立等式,一般方法有：（1）直接法:如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,這些條件簡(jiǎn)單明確，,易于表達(dá)成含x,y的等式,

3、就得到軌跡方程,這種方法稱為直接法，用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有:設(shè)點(diǎn)、列式代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略。（2）定義法:運(yùn)用解析幾何中常用定義(例如圓錐曲線的定義),可以從曲線定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出軌跡方程（3）代入法:動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表達(dá)或求出,但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)都隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x´,y´)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)當(dāng)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得,則可先將x,y表示成x,y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得P的軌跡方程,代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。(4)參數(shù)法:求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱

4、坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù)）,使x,y之間建起聯(lián)系,然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（5）幾何法:利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（6）交軌法:求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)軌跡方程時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。 不管是用哪一種方法求曲線的方程，其本質(zhì)都是求曲線上任意一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x、y所滿足的關(guān)系式，這一點(diǎn)必須要明確。典型例題分析題型1直接法求曲線的方程【例1】求與兩定點(diǎn)A,B滿足|PA|2-|PB|2=k2（k2是常

5、數(shù))的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解析 本題條件中沒(méi)有坐標(biāo)系,因此首先要考慮建立適當(dāng)?shù)钠礁咧苯亲鴺酉?再通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),將幾何條件量化，從而求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。答案 解法一：取兩個(gè)定點(diǎn)A，B的連線為x軸,過(guò)AB的中點(diǎn)且與x軸垂直的直線為y軸,建立坐標(biāo)系,如下圖所示.設(shè)A(-a.0）,B（a,0）,P(x,y),依題意得:(x+a)2+y2-(x-a)2+y2=k2,化簡(jiǎn)得x=這就是所求的P點(diǎn)的軌跡方程。解法二:取兩個(gè)定點(diǎn)A,B的連線為x軸,過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0.0）,B（a,0）,P(x,y),依題意得:(x2+y2)-(x-a)2+y2=k2,化簡(jiǎn)得x=即為所

6、求P點(diǎn)的軌跡方程。規(guī)律總結(jié) 由曲線求它的方程的基本思想是從給出的軌跡幾何條件,通過(guò)適當(dāng)選取坐標(biāo)系,把幾何條件中的等量關(guān)系坐標(biāo)化，從而建立軌跡方程；選擇坐標(biāo)最為關(guān)鍵，若坐標(biāo)系建立適當(dāng),則所求的曲線方程會(huì)很簡(jiǎn)單,否則很煩瑣，本題即是一例?！咀兪接?xùn)練1】 已知點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0,曲線上任意一點(diǎn)M與A,B連結(jié)的線段MA,MB互相垂直,求曲線的方程。答案 曲線已在坐標(biāo)系中，依據(jù)坐標(biāo)法，把曲線上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y），依據(jù)方程的等式，數(shù)形結(jié)合(如下圖）,把點(diǎn)M適合條件P的曲線轉(zhuǎn)化為用相等關(guān)系表示的點(diǎn)M的集合：P=M|MAMB=M|kMA·kMB,=-1或=M|MO|

7、=|AB|,用MA,MB或=M|MA|2=|MB|2=|AB|,且M與A、B不共線依據(jù)方程是含有未知的等式,把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y表示的方程: =-1；或×10(且x±5,或y0)；或(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=100(且x±5,或y0)；同解化簡(jiǎn)x2+y2=25(x±5). 其中對(duì)方程化簡(jiǎn)時(shí),增加了x=±5的解,須舍去. 【例2】已知點(diǎn)G是ABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在軸上有一點(diǎn)M滿足|=|,=(R),求點(diǎn)C的軌跡方程. 解析 利用重心坐標(biāo)公式與題中等量關(guān)系列出關(guān)于點(diǎn)C(x,y)的等式即可. 答案 設(shè)點(diǎn)

8、C的坐標(biāo)為(x,y),則G(,),設(shè)M(x0,0),則=(-x0,-1),=(x-x0,y)=(x0-,-),=(0,2）由=得(x0-,-)=（0,2),所以x0=由|,得,即+1(x-x0)2+y2將式代入式,得+y2=1.因?yàn)镃點(diǎn)不與A、B重合,所以x0.所以點(diǎn)C的軌跡方程為+y2=1(x0). 規(guī)律總結(jié) 此類求軌跡方程,尋求等量關(guān)系為關(guān)鍵所在. 【變式訓(xùn)練2】在ABC中,已知頂點(diǎn)A(1,1)、B(3,6),且ABC的面積等于3.求頂點(diǎn)C的軌跡方程.答案 設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),作CHAB于H,如右圖,則動(dòng)點(diǎn)C屬于集合P=.因?yàn)閗AB=,所以直線AB的方程是y-1=(x-1),即5x

9、-2y-3=0.所以|CH|=.因?yàn)閨AB|=29,所以=3,化簡(jiǎn),得|5x-2y=3|=6,即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0,這就是所求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 題型2 代入法求曲線的方程 【例3】已知點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P在圓x2+y2=1的上半圓周上(即y>0),AOP的平分線交PA于Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程. 解析 本題求動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)的軌跡方程,即要建立關(guān)于x,y的方程,直接建立x,y的關(guān)系十分固難,但可以先尋找x,y與中間變量P(x0,y0)之間的關(guān)系,利用已知關(guān)于x0,y0點(diǎn)之間關(guān)系的方程,得到關(guān)于x,y之間的方程. 答案 設(shè)點(diǎn)Q(x,y)、P(x0,y0)(y>0),

10、如下圖.由角平分線定理得=3, 點(diǎn)Q分所成的比=3,又點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=1的上半圓周上,()=()2=1(y>0)即(4x-3)2+16y2=9(y>0),故點(diǎn)Q的軌跡方程為(4x-3)2+16y2=9(y>0).規(guī)律總結(jié) 用代入法即相關(guān)點(diǎn)法求軌跡的關(guān)鍵是尋求關(guān)式:x=f(x,y),y=g(x,y),然后代入已知曲線,若求對(duì)稱曲線(軸對(duì)稱,中心對(duì)稱)方程實(shí)質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)解題. 【變式訓(xùn)練3】如下圖,從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N.求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.答案 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(n,y)

11、,則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x-x1,2y-y1). N在直線x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2.又PQ垂直于直線x+y=2,=1,即x-y+y1-x1=0.由聯(lián)立解得: 又點(diǎn)Q在雙曲線x2-y2=1上,x-y=1 代人,得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是: 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 題型3 參數(shù)法求曲線的方程 【例4】在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中,AB、BC邊上各有個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R,且|BQ|=|CR|,試求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程. 解析 建立直角坐標(biāo)系后,注意到|BQ|=|CR|,即有|AQ=|BR|,而P為兩直線AR與DQ的交點(diǎn),因而應(yīng)引進(jìn)參數(shù),用參數(shù)法求其軌跡方程. 答案 以A為原點(diǎn)

12、,AB所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系(如右圖所示),設(shè)B(a,0),C(a,a),D(0,a),|AQ|=t,即Q(t,0),R(a,t),直線DQ、AR的方程分別為=1 y= 由得t=,代人得=1,即x2+y2=ay.故所求的軌跡方程為x2+y2-ay=0(x0).規(guī)律總結(jié) 用參數(shù)法求軌跡方程的步驟是:先引進(jìn)參數(shù),用此參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x，y,再消去參數(shù),得到關(guān)于x,y的方程,即為所求的軌跡方程. 【變式訓(xùn)練4】 已知兩點(diǎn)P(-2,2)、Q(0,2)以及一條直線l:y=x,設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線l上移動(dòng),求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程. 答案 線段AB在直線l:y=x上,且線段A

13、B的長(zhǎng)為. 設(shè)M(x,y),A(t,t),B(t+1,t+1)(t為參數(shù)),則直線PA的方程為y-2=(x+2)(t-2) 直線QB的方程為y-2=x(t-1), M(x,y)是直線PA、QB的交點(diǎn),x、y是由、組成的方程組的解,由、消去參數(shù)t,得x2-y2+2x-2y+8=0.當(dāng)t=-2時(shí),PA的方程為x=-2,QB的方程為3x-y+2=0,此時(shí)的交點(diǎn)為M(-2,-4).當(dāng)t=-1時(shí),OB的方程為x=0,PA的方程為3x+y+4=0. 此時(shí)的交點(diǎn)為M(0,-4). 經(jīng)驗(yàn)證,點(diǎn)(-2,-4)和(0,-4)均滿足方程. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-y2+2x-2y+8=0 題型4 確定曲線的形狀 【

14、例5】 (1)方程(x+y-1)=0表示什么曲線? (2)方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示什么曲線? 解析 第(1)問(wèn)中兩式的積為0,只要其中一個(gè)為0即可注意有意義. 第(2)問(wèn)中式子需先配方、變形再判斷所表示的曲線. 答案 (1)由方程(x+y-1)=0, 可得或即x+y-1=0(x1)或x=1.表示直線x=1和射線x+y-1=0(x1).(2) 方程左邊配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,2(x-1)20,(y+1)20方程表示的圖形是點(diǎn)A(1,-1).規(guī)律總結(jié) 判斷方程表示什么曲線,要對(duì)方程適當(dāng)變形,變形過(guò)程一定要注意與原方程的等價(jià)性,否則變形的方程表示的曲線就不是原方程的曲

15、線,另外,變形的方法還有配方法、因式分解法等. 【變式訓(xùn)練5】方程=表示什么曲線 （ ） A.兩條線段 B兩條直線 C.兩條射線 D.一條射線和一條線段 解析 此類問(wèn)題要充分考慮題目的條件,由已知1-|x|=1-y,1-y01-|x|0.有y=|x|,|x|1. 曲線表示兩條線段,故選A. 答案 A 規(guī)律 方法 總結(jié) (1)求曲線方程,要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,化簡(jiǎn)過(guò)程應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.恰當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系,一般地,坐標(biāo)原點(diǎn)選在線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或直角頂點(diǎn)處. (2)求曲線方程的常見(jiàn)方法: 直接法:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)幾何條件尋求x、y之間的關(guān)系式; 代入法:利用所求曲

16、線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn).具體說(shuō),就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo),并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程,由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系. 參數(shù)法:根據(jù)題中給定的軌跡條件,用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x和y,間接地把坐標(biāo)x和y聯(lián)系起來(lái),得到用參數(shù)表示的方程,如果消去參數(shù),就可以得到軌跡的普通方程(3)準(zhǔn)確理解“方程的曲線”和“曲線的方程”這兩個(gè)概念:定義中的兩個(gè)對(duì)應(yīng)條件是判定一個(gè)方程是否為指定曲線的方程,一條曲線是否為所給定方程的曲線的準(zhǔn)則,缺一不可.可以看到第一個(gè)條件表示f(x,y)=0是曲線C的方程的必要條件;而第二個(gè)條件表示f(

17、x,y)=0是曲線C的方程的充分條件因此,在證明f(x,y)=0為曲線C的方程時(shí),必須證明兩個(gè)條件同時(shí)成立. (4)曲線的交點(diǎn)問(wèn)題: 曲線C1:F(x,y)=0,曲線C2:G(x,y)=0, 方程組 (I)若消去變量y得g(x)=0.()一般地,方程組(I)的解的個(gè)數(shù)與方程()的根的個(gè)數(shù)不等價(jià).(5) 求出軌跡方程時(shí),易忽視對(duì)變量的限制條件.在化簡(jiǎn)變形的過(guò)程中若出現(xiàn)了非等價(jià)變形,在最后應(yīng)把遺漏的點(diǎn)補(bǔ)上,把多余的點(diǎn)刪去. 由方程研究曲線類型時(shí),應(yīng)聯(lián)想常見(jiàn)的曲線方程的類型 (6)由方程研究曲線的性質(zhì)時(shí),應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:曲線的組成,曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),曲線的對(duì)稱性,曲線的變化情況,畫(huà)方程的曲線等

18、.定時(shí) 鞏固 檢測(cè)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.方程x2-y2=0表示的圖形是 （ ） A.兩條相交直線 B.兩條平行直線 C.兩條重合直線 D.一個(gè)點(diǎn) 【答案】A(點(diǎn)拔:方程x2-y2=0表示兩條直線y=x和y=2.與點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0)連線的斜率之積為-1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（ ） A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x±1) C.x2+y2=1(x0) D.y= 【答案】B(點(diǎn):設(shè)P(x,y),則由題意=-1(x±1).)3.到兩坐標(biāo)軸距離之和等于1的點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） A.x+y=1 B.x+y=±1 C.|x|+|y|=1 D.|x+y|=1 【答案】C(點(diǎn)撥:注意是距離)4.到A(2,-3)和B(4,-1)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 . 【