二階非齊次線性微分方程的解法研究

1、引言 數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，就是指自變量與因變量之間的一種關(guān)系。但在實(shí)際問題中，往往很難找到自變量與因變量之間的直接聯(lián)系（即函數(shù)關(guān)系），反而比較容易從其變化過程中求出自變量，因變量及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式。這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，稱之為微分方程。 微分方程特別是線性微分方程在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。本文除簡(jiǎn)潔介紹n階線性微分方程的主要基本理論外，著重對(duì)二階常系數(shù)線性微分方程的解法進(jìn)行研究。1 線性微分方程的基本理論與初等解法1.1 基本理論 （1.1） （1.2）方程（1.1）稱為n階非齊次線性微分方程，方程（1.2）稱為n階齊次線性微分方程。下面給出方程（

2、1.1）和（1.2）的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。定理1（齊線性方程解的疊加原理） 如果是方程（1.2）的n個(gè)解，則它們的線性組合也是方程（1.2）的解。其中是任意的常數(shù)。定理2（1.2）的通解結(jié)構(gòu)定理） 如果是方程（1.2）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程（1.2）的通解可表示為： （1.3）其中是任意的常數(shù)，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。定理3（非齊線性方程解的疊加原理）如果是方程的解，而是方程的解，則也是方程的解。定理4（1.1）的通解結(jié)構(gòu)定理） 如果是方程（1.2）的基本解組，而是方程（1.1）的某一解，則方程（1.1）的通解可表示為： （1.4）其中是任意的常數(shù)，且（1.4）包括了方程（1

3、.1）的所有解。1.2 初等解法假設(shè)方程（1.1）和（1.2）中的所有系數(shù)都是常數(shù)，即 （1.5） （1.6）方程（1.5）稱為n階常系數(shù)非齊次線性方程，方程（1.6）稱為n階常系數(shù)齊次線性方程。1.2.1 齊線性方程的初等解法 常系數(shù)齊線性方程對(duì)于常系數(shù)齊線性方程（1.6）的求解，關(guān)鍵在于找出它的基本解組，即n個(gè)線性無(wú)關(guān)解。參照一階常系數(shù)齊線性方程的求解，對(duì)于方程（1.6）我們也試求其形如x=的解，其中為待定常數(shù)，將其代入方程（1.6）得：由于對(duì)于t，都有，則：（1.7）式（1.7）稱為方程（1.6）的特征方程。而方程（1.6）的解的形式將由式（1.7）的特征根決定。這就是所謂的歐拉待定指數(shù)

4、函數(shù)法。例1. 求解方程解：特征方程 特征根 故所求通解為，其中為任意常數(shù)例2. 求解方程解：特征方程 特征根 （二重根）故所求通解為, 其中為任意常數(shù)歐拉方程所謂歐拉方程就是指如下特殊的變系數(shù)方程： （1.8）經(jīng)變換，則： （1.9）方程（1.9）有形如y=的解，則方程（1.8）有形如的解，將代入（1.8），得特征方程：（1.10）至此，對(duì)于方程（1.8）的求解方法可參照方程（1.6）的求解1.2.2非齊線性方程的初等解法常數(shù)變易法 在求解一階非齊線性方程的通解時(shí)，我們使用了常數(shù)變易法，這一方法同樣適用于求解非齊線性方程（1.1）。其具體方法與步驟如下：1）寫出方程（1.2）的通解：2）常數(shù)

5、變易，即令 （1.11）3）把（1.11）及其一階到n階導(dǎo)數(shù)（在附加了n-1個(gè)條件 ）代入方程（1.1）,可得個(gè)確定的方程組（A）：（A）解方程組（A）得,4）逐個(gè)積分，得5）寫出方程（1.1）的通解：=, 為任意常數(shù)例3. 求方程于域的通解解：對(duì)應(yīng)齊線性方程 解之得 ，A，B為任意常數(shù)易知基本解組為 1，原方程可改寫為 (*)則運(yùn)用常數(shù)變易法，令代入上式(*)得解得故原方程的通解為為任意常數(shù)比較系數(shù)法現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程（1.5） （1.5）的求特解問題事實(shí)上，當(dāng)方程（1.5）的非齊次項(xiàng)具有某些特殊形狀時(shí)，可采用一種簡(jiǎn)便有效的求特解方法比較系數(shù)法。類型設(shè)，其中及為實(shí)常數(shù)，那么方程（1.

6、5）有特解：，其中k為特征根的重?cái)?shù)，而為待定常數(shù)，可通過比較系數(shù)法來(lái)確定。類型設(shè)，其中為常數(shù)，為帶實(shí)系數(shù)的m次（或不超過m次）多項(xiàng)式，則方程（1.5）有特解：，其中k為特征根的重?cái)?shù),而為待定的帶實(shí)系數(shù)的m次多項(xiàng)式，可通過比較系數(shù)法來(lái)確定。例4. 求的通解解：特征方程 特征根 則對(duì)應(yīng)齊線性方程通解為是特征根，取k=1原方程有特解，代入原方程，得特解為 故原方程的通解為, 為任意常數(shù)例5. 求的通解解：特征方程 特征根 則對(duì)應(yīng)齊線性方程通解為不是特征根，故取k=0原方程有特解，代入原方程，得 則 解得 故特解為 故原方程的通解為 其中為任意常數(shù)至此，關(guān)于方程（1.5）的求解大體可分為兩大步驟：1）

7、先求出對(duì)應(yīng)齊線性方程的基本解組；2）根據(jù)的具體情況，運(yùn)用比較系數(shù)法，求出特解，隨后組合便得方程（1.5）的通解。2 二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法研究 線性微分方程的理論研究已比較完善，應(yīng)用范圍也很廣泛，特別是二階常系數(shù)線性微分方程在力學(xué)、電工學(xué)等方面應(yīng)用最廣泛。根據(jù)前面的知識(shí)，我們知道對(duì)于二階常系數(shù)非齊線性方程的求解，可分為兩大步驟：一是求出對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊線性方程的通解；二是求解出二階常系數(shù)非齊線性方程的一個(gè)特解，隨后組合便得非齊線性方程的通解。二階常系數(shù)非齊線性方程 （2.1）二階常系數(shù)齊線性方程 （2.2） 2.1 特解的解法研究求解齊線性方程（2.2）的方法已經(jīng)趨于完善，因此求得方

8、程（2.1）的一個(gè)特解便成為求解方程（2.1）的關(guān)鍵。下面介紹幾種求特解的方法。2.1.1升階法對(duì)于方程 （2.1） 當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)，此時(shí)方程（2.1）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)n次，得顯然，方程（2.1）的解存在，且滿足上述方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)時(shí)，情況類似）是：.此時(shí)，由通過倒數(shù)第二個(gè)方程可得 ，依次往上推，一直推到（2.1），即可得方程（2.1）的一個(gè)特解。上面這種方法稱為升階法。此種方法比一般教科書所介紹的比較系數(shù)法更為簡(jiǎn)便。下面舉幾個(gè)例子來(lái)探討比較一下。例1. 求方程 （1）的一個(gè)特解解：方程（1）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 （2）方程（2）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得令將其代入（2），得

9、，再將其代入（1），得因此方程（1）的一個(gè)特解為例2. 求方程（3）的一個(gè)特解 解：方程（3）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 （4）方程（4）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得令，將其代入（4）得 再將其代入（3），得得，解得故方程（3）的一個(gè)特解為當(dāng)時(shí)，令，則代入方程（3），經(jīng)整理得這樣，類型就可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋?。從這里可以看出，升階法不需要討論是否為特征根的問題。因此，求解問題的過程得以簡(jiǎn)化。例3. 求方程 （5）的一個(gè)特解解：令則方程（5）可化為 （6）利用方法，方程（6）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得（7） 令再將代入（6），得解之得方程（6）的一個(gè)特解為 因此方程（5）的一個(gè)特解為 當(dāng)為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)時(shí)，我們首先將其轉(zhuǎn)

10、化為復(fù)指數(shù)的形式，然后按的方法進(jìn)行求解。例4. 求方程（8）的一個(gè)特解解：以方程（8）的非齊次項(xiàng)為虛部作復(fù)指數(shù)，作方程 （9）令，再利用方法，可求得因此方程（9）的特解為故方程（8）的一個(gè)特解為當(dāng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)或余弦函數(shù)某種組合時(shí)，這時(shí)可根據(jù)迭加原理進(jìn)行求解。例5 求方程 （10）的一個(gè)特解解：方程（10）的右端由兩項(xiàng)組成，故根據(jù)迭加原理，可先分別求下列兩個(gè)方程 （11） （12） 的特解，而這兩個(gè)特解之和即為方程（10）的一個(gè)特解由方法，可求得（11）的特解為由方法，可求得（12）的特解為因此方程（10）的一個(gè)特解為公式法對(duì)于方程（2.1），當(dāng)為某些特殊形式時(shí)，可采用比較系數(shù)法

11、求特解，具有一定局限性。下面介紹當(dāng)特征根且無(wú)論為何種形式的情況下的特解公式。定理5 設(shè)二階常系數(shù)非齊線性方程 （2.1）且該微分方程的特征根（實(shí)根或虛根）為，構(gòu)造兩個(gè)一階線性微分方程：且設(shè)它們的特解分別為，若，則方程（2.1）有特解證明：因?yàn)榈母?故 顯然 且 而的左端= +設(shè)則這樣的左端故為方程（2.1）的一個(gè)特解例1. 求方程 的一個(gè)特解解：特征方程 特征根 構(gòu)造微分方程， 由一階微分方程通解公式，可得上兩方程的特解分別為， 故原方程的特解為例2. 求方程的一個(gè)特解 解：特征方程 特征根 ， 構(gòu)造微分方程 由一階微分方程通解公式，可得上兩方程的特解分別為故原方程的特解為積分法對(duì)于方程 （2

12、.1） （2.2） 定理6 設(shè) 是方程（2.2）的一個(gè)非零解，上連續(xù)，則 就是方程（2.1）在區(qū)間0，x上的一個(gè)特解。證明： 利用參變量積分的求導(dǎo)公式，得 故是方程（2.1）的一個(gè)特解，證畢 符合的一個(gè)齊次方程非零解可以和特征值被解出而同時(shí)得到。設(shè)是兩個(gè)特征值，可以這樣選：例1. 求的一個(gè)特解解：特征方程 特征根 故取故特解為例2. 求的一個(gè)特解解：特征方程 特征根 故取 故特解為 2.2 通解的解法研究 從上面所學(xué)的知識(shí)，我們知道對(duì)于方程（2.1）的求解，一般情況下要分兩步來(lái)完成，其過程繁瑣，計(jì)算量大，易出錯(cuò)?，F(xiàn)在我們嘗試兩步并一步走，直接探尋方程（2.1）的通解公式。公式法 設(shè)方程（2.1

13、）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為，連續(xù)，由韋達(dá)定理，從而可化為：，即，則解方程組得故方程（2.1）的通解為由此可得：定理7 若對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為（包括共軛復(fù)根），則方程的通解可表示為：（定理證明參考文獻(xiàn)11）推論 若相應(yīng)的特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，則方程的通解為.例1. 求解方程解：特征方程 特征根 由定理7得，所求通解為例2. 求解方程解：特征方程 特征根 作輔助方程 故所求輔助方程的通解為：故所求通解利用定理7，在某些特殊情況（當(dāng)積分為可積時(shí)），可求得通解，但須進(jìn)行二次積分，有一定局限性。我們不妨利用該通解公式，令積分常數(shù)均為0，即得原方程的一個(gè)特解，然后根據(jù)非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)求出通解。

14、定理8 若對(duì)應(yīng)齊次方程特征根（1）當(dāng)時(shí)，原方程特解為特別地，當(dāng)且為共軛復(fù)根時(shí)，特解（2）當(dāng)時(shí)，原方程特解為 （定理證明參考文獻(xiàn)11，12）例3. 求的通解解：特征方程 特征根 由定理8，原方程有特解：， 取故所求通解為： ，為任意常數(shù)例4. 求的通解解：特征方程 特征根定理8，由原方程有特解：故所求通解為例5. 求的通解解：特征方程 特征根 定理8，由原方程有特解：= =故所求通解為常數(shù)變易法通過對(duì)常微分方程的學(xué)習(xí)，我們知道常數(shù)變易法廣泛應(yīng)用于非齊次線性微分方程的求解。下面將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)線性微分方程的求解，同樣適用有效，簡(jiǎn)捷。對(duì)于方程 （2.1） （2.2）對(duì)方程（2.2）的特征

15、方程 （2.3）有實(shí)根和復(fù)根的情形分別加以考慮：若r為方程（2.3）的一實(shí)根，則是（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為，則，（2.4）將（2.4）和代入（2.1），得，這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為，從而方程（2.1）的通解公式為（2.5）若為（2.3）的一復(fù)根，則是方程（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為，與情形的推導(dǎo)類似，可得方程（2.1）的通解公式為： （2.6）例1. 求的通解解：特征方程 有解 ，且由公式（2.5），得通解為：例2. 求的通解解：特征方程 有解 ，且由公式（2.6），得通解為： =結(jié)束語(yǔ)本文對(duì)教科書上有關(guān)線性微分方程的求解方法進(jìn)行了一

16、些總結(jié)，并在此基礎(chǔ)上，嘗試運(yùn)用幾種新的方法去探尋方程的特解，同時(shí)介紹了求方程通解的新方法。文中所介紹的這些方法為我們求解微分方程提供了新的思路和途徑，具有一定參考意義。參考文獻(xiàn)1 王高雄等. 常微分方程M. 北京：高等教育出版社,1983.2 林武忠等. 常微分方程M. 北京：科學(xué)出版社. 2003.3梅宏.常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種方法升階法J.高等數(shù)研究.2003.6（2）：22-23.4 朱靈. 用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解J. 高等數(shù)學(xué)研究.2002.5 黃蘭德. 常系數(shù)非齊次線性微分方程特解求法的改進(jìn). 工科數(shù)學(xué). 1994.（02）6 季紅蕾. 求特解的一種新方法J.鹽城工學(xué)院學(xué)報(bào).1999.9（3）：32-33.7 湯光宋. 某類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的簡(jiǎn)捷求法J. 南都學(xué)壇.1994.（06）.8 吳曉平. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一特解的積分求法J. 工科數(shù)學(xué).1996.6（2）：123-124.9 秦軍. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一些求法J. 皖西學(xué)院學(xué)報(bào).2005.10 王德利.常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法研究J. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版. 1995.4（2）：26-28.11 梁俊奇，王慶東.常系