高中數(shù)學(xué) 關(guān)于界心與五心的距離知識(shí)分析

1、關(guān)于界心與“心”的距離公式 我們先約定：用、分別表示ABC的邊長和半周長；F、K、E、G、O、I、H、I1、I2、I3分別表示ABC的費(fèi)馬點(diǎn)、界心、九點(diǎn)圓的圓心、重心、外心、內(nèi)心、垂心及A、B、C內(nèi)的旁心；m、n、r分別表示KA、KB、KC的長度。于是，我們有定理 1 設(shè)D、E分別為ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)Q，若，則 （1）特別地，當(dāng)點(diǎn)P重合于三角形的界心K時(shí)，有，則=，=，代入公式（1）得ABC的頂點(diǎn)A與界心K的距離為 同理 這就是計(jì)算三角形的頂點(diǎn)與它的界心的距離公式。定理 2 設(shè)D、E分別為ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)Q，若，點(diǎn)P

2、為ABC所在平面上任意一點(diǎn)，則：特別地，當(dāng)點(diǎn)P重合于界心K時(shí)，有 （2）這就是計(jì)算三角形的界心與這個(gè)三角形所在平面上任意一點(diǎn)的距離公式。因此，公式（2）中含有兩個(gè)參數(shù)和，通過對(duì)參數(shù)的選取，分別計(jì)算出三角形的界心與“心”的距離。（1）如果點(diǎn)Q是ABC的重心G，則=1，代入公式（2）得界心K與重心G的距離公式：（2）如果點(diǎn)Q為ABC的內(nèi)心，則=，=，代入公式（2）得界心K與內(nèi)心I的距離為：。（3）如果點(diǎn)Q為ABC的A內(nèi)的旁心I1，則，代入公式（2）即得ABC的A內(nèi)的旁心I1與界心K的距離為：。同理：。（4）如果點(diǎn)Q為ABC的垂心H，則對(duì)于非直角三角形有，代入公式（2）即得ABC的垂心H與界心K的距離為：。（5）如果點(diǎn)Q為ABC的外心O，則對(duì)于非直角三角形有，代入公式（2）即得ABC的外心O與界心K的距離為：。（6）如果點(diǎn)Q為ABC的九點(diǎn)圓的圓心E，則由文3知：點(diǎn)E為線段OH的中點(diǎn)，則在KOH中由中線長度計(jì)算公式可得的距離公式。（7）如果點(diǎn)Q為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)F，則文4中已給出了的計(jì)算公式。由以上討論知：三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到它的重心、內(nèi)心、旁心、垂心、外心、九點(diǎn)圓的圓心以及界心的距離都可以用這個(gè)三角形的邊長表示，并且它們的計(jì)算都可以統(tǒng)一于公式（2）。參考文獻(xiàn)：1 賀功保 計(jì)算三角形頂點(diǎn)與“心”距離的統(tǒng)一公式 湖南數(shù)學(xué)通訊 1（1996） 2 布羅卡點(diǎn)3 賀功保 三角形的五心 哈爾濱工業(yè)大