企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的主成分分析

1、企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的主成分分析Principal Component Analysis of the Financials Situation of Enterprises 李治 09級信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)（0）班 2009730023指導(dǎo)教師：李清棟內(nèi)容摘要：必須了解企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況水平才能對企業(yè)進(jìn)行有效的企業(yè)綜合評價，了解并熟悉企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況是綜合評價中重要組成部分，通常我們會比通過比較多個企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況。通過比較來鑒定企業(yè)的發(fā)展情況，比較的結(jié)果往往是各個企業(yè)在各項(xiàng)指標(biāo)上的數(shù)值有所不同，不同企業(yè)由于經(jīng)營管理以及其他因素的原因；各指標(biāo)對企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的影響也各不相同，提取并利用一些較穩(wěn)定的指標(biāo)可以對企業(yè)

2、的財(cái)務(wù)狀況做出較為全面的評價。一般我們認(rèn)為數(shù)據(jù)越多全面評估的價值性就越高，就越接近企業(yè)的真實(shí)情況，但是在實(shí)際操作過程中，由于具體指標(biāo)太多，大多數(shù)指標(biāo)的健壯性不夠好，而且操作性較差。每個指標(biāo)都局限于某個確定的方面，不能及時得出綜合的評價信息。所以有必要將側(cè)重于不同財(cái)務(wù)信息的指標(biāo)通過降維的方法，于各種各樣的指標(biāo)中，挑選出具有代表性，最具有意義的數(shù)據(jù)，從而達(dá)到減少變量的目的。鑒于以上的緣由，我們可以通過主成分分析方法將選取的多個評價企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的指標(biāo)進(jìn)行分析處理。用較少的綜合指標(biāo)分析影響企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的各類信息，基于對處理后的數(shù)據(jù)的分析，使得可以用較少的幾個主成分就可以描述各個財(cái)務(wù)指標(biāo)之間的聯(lián)系。關(guān)鍵

3、字： 主成分分析；財(cái)務(wù)指標(biāo)；企業(yè)財(cái)務(wù)狀況；綜合評價Abstract: Only by knowing the level of financial situation of the enterprise, can we have an effective enterprise comprehensive evaluation. Understanding and being familiar with the financial position of the enterprise is the important part of the comprehensive evaluation. U

4、sually, we will compare multiple companies' financial status, so as to identify the companies development situation. The result of the comparison is often that various enterprises differ from the values on the indicators. Because of the different ways on operating and managing and other aspects,

5、 the impact of indicators of the financial situation of enterprises also varies. The extraction and use of some of the more stable indicators can make a more comprehensive assessment of the financial position of the enterprise. In general , we believe that more data mean the higher value of comprehe

6、nsive assessment and it will be more close to the real situation of the enterprise. However , in actual operation , due to there are too many specific indicators and most indicators of robustness is not good enough and with a poor operability , so each index are so limited to a certain aspect that w

7、e can not come to a comprehensive evaluation information in time. Therefore, it is necessary for us to focus on the indicators of the type of financial information through dimensionality reduction method to select a representative and most meaningful data from a variety of indicators, so as to achie

8、ve the object of the variable reduction . In view of the above reasons , we can analysis and processing on the selected multiple indicators evaluating the financial situation of enterprises by principal component analysis, with fewer indicators to analyze the various types of information to affect i

9、ts financial status , then we can analyze the information influencing the enterprises financial situation with less comprehensive indicators. After that, based on the analysis of processed data , we can describe the links among different financial indicators with a relatively small number of princip

10、al components .Keywords: principal component analysis; financial index; financial status; comprehensive evaluation目 錄1.引言12.主成分分析方法介紹13.主成份計(jì)算步驟24.實(shí)例分析54.1數(shù)據(jù)選取及指標(biāo)來源54.2數(shù)據(jù)處理以及計(jì)算結(jié)果64.3 結(jié)果檢驗(yàn)與分析8利用相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行第一主成份得分排名8利用實(shí)對稱矩陣進(jìn)行主成分分析來檢驗(yàn)結(jié)果94.4 多指標(biāo)變量的多重相關(guān)性對策104.5企業(yè)建議與分析的不足之處10參考文獻(xiàn)：12附錄131.引言在研究實(shí)際問題時，往往需要收集多個變量

11、，但這樣會使多個變量間存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，即這些變量間存在較多的信息重復(fù)，直接利用他們進(jìn)行分析，不但模型復(fù)雜，還會因?yàn)樽兞恐g存在多重共線性而引起較大的誤差，為能夠充分利用數(shù)據(jù)，通常希望用較少的新變量代替原來較多的舊變量，同時要求這些新變量盡可能反應(yīng)原變量信息，這樣問題也就簡單了，這是一種數(shù)學(xué)上的降維方法，我們稱之為主成分分析。找出彼此互不相關(guān)的幾個綜合變量，使這些綜合變量代表原來的信息量，就是將原來變量的線性組合作為新的綜合變量，這是通常數(shù)學(xué)上的處理方法。2.主成分分析方法介紹主成分分析的主要思想就是是把分散在一組變量上的信息集中到幾個綜合指標(biāo)(主成分)上，用原來變量的線性組合來代替的綜合指

12、標(biāo)，以便于利用主成分來描述數(shù)據(jù)集內(nèi)部結(jié)構(gòu)。主成分分析通過降維的方法，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)(即主成分)的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法，即用維的空間代替維的空間，從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。現(xiàn)在我們假定有個樣本，每個樣本共有個變量描述，這樣就構(gòu)成了一個階的地?fù)?jù)矩陣： (1)目前的問題就是如何從這么多變量的數(shù)據(jù)中找出相關(guān)事物的內(nèi)在規(guī)律呢？為了解決這一問題，需要在維空間中去檢驗(yàn)，由于各種各樣的數(shù)據(jù)比較繁多，在實(shí)際操作中將數(shù)據(jù)全部利用起來時比較困難的，為了克服這一難題，就需要我們隊(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，所謂的降維處理就是用較少的幾個綜合指標(biāo)來代替原來較多的變量指標(biāo)，這樣做使得那些較少的綜合指標(biāo)既

13、能夠最大化地反映原來較多指標(biāo)所反映的信息，同時數(shù)據(jù)之間又是彼此相互獨(dú)立的。那么，這些綜合指標(biāo)（即新變量)應(yīng)如何選取呢？顯然，其最簡單的形式就是取原來變量指標(biāo)的線性組合，適當(dāng)調(diào)整組合系數(shù)，使新的變量指標(biāo)之間相互獨(dú)立并且最具有代表性。假設(shè)原來的變量為，它們的綜合變量指標(biāo)新變量指標(biāo)便，()。 (2)在（2）式中，系數(shù)由下面的性質(zhì)來決定：1)與（；i，j=1，2，m)相互關(guān)，即 ,2)是的所有線性組合中方差最大的；是和不相關(guān)的中所有線性組合中方差最大的； 是和都不相關(guān)的,的線性組合之中方差最大的。這樣定義的的新的變量指標(biāo)分別被稱為原變量指標(biāo)的第一，第二，第m個主成分。其中，在總的方差中占有的比例是最大

14、的,的方差依次遞減。在實(shí)際問題的分析中，常挑選前幾個最大的主成分，這樣既減少了變量的數(shù)目，又抓住了主要矛盾，簡化了變量之間的關(guān)系。在研究多指標(biāo)時就輕易捉住主要矛盾，簡化工作量，并且可以利用主成分的得分分別算出各研究對象的得分，進(jìn)行排名比較，這樣就比較客觀、公道而全面3.主成份計(jì)算步驟（1）若各指標(biāo)的屬性不同（成本性、利潤型、適度型），則將原始數(shù)據(jù)矩陣A統(tǒng)一趨勢化，假設(shè)樣本觀測數(shù)據(jù)矩陣為：令 ， ，其中 ，利用上述的公式可以得到屬性一致的指標(biāo)矩陣。（2）計(jì)算的協(xié)方差矩陣，或相關(guān)系數(shù)矩陣(當(dāng)?shù)牧烤V不同或矩陣主對角元素差距過大時，用相關(guān)系數(shù)矩陣)，為方便，假定原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后仍用表示，則經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理

15、后的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為: （3）求的特征根為，相應(yīng)的特征向量為；（4）根據(jù)特征值計(jì)算累計(jì)貢獻(xiàn)率，確定主成分的個數(shù)，而特征向量就是主成分的系數(shù)向量，對各種成分進(jìn)行成分分析可以得到個主成分，但是，由于每個主成分方差是遞減的，所以包含的信息量亦是遞減的，實(shí)際分析的時候時，一般無法選取個主成分，而是依照每個主成貢獻(xiàn)率之和的大小選取前個主成分，這里所說的貢獻(xiàn)率就是指某個主成分的方差與全部方差的比值，實(shí)際也就是某個特征值占全部特征值合計(jì)的比重。即貢獻(xiàn)率=主成分所包含的原始變量的信息是由貢獻(xiàn)率來決定的，貢獻(xiàn)率越大信息量越強(qiáng)。主成分的個數(shù)的選取，主要是根據(jù)各個主成分的貢獻(xiàn)率的累積之和來決定，即一般要求累計(jì)貢獻(xiàn)率

16、達(dá)到百分之八十五以上，只有這樣才能保證綜合變量能包括原始變量的大部分重要信息。（5）主成分?jǐn)?shù)值的計(jì)算（即主成分得分）參照標(biāo)準(zhǔn)化后的原始數(shù)據(jù)，按照每個樣品，分用主成分表達(dá)式來計(jì)算，就可以得到各主成分下的各個樣品的新數(shù)據(jù)，即為主成分得分。具體形式可如下。若利用協(xié)方差矩陣計(jì)算特征值與特征向量，則主成分得分為若利用相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值與特征向量，則主成分得分為：其中，是特征向量矩陣，是將矩陣標(biāo)準(zhǔn)化以后的矩陣（即）。（6）計(jì)算綜合評價值，進(jìn)行排序。若為有效型矩陣，則評價值越大排名越靠前；若為成本型矩陣，則評價值越小排名越靠前。通常計(jì)算綜合評價的公式為其中是主成分得分矩陣，是將特征值歸一化后得到的權(quán)向量

17、。與主成份分析相關(guān)的幾個定理定理1 若方差矩陣的特征值，則其單位正交向量為，第個主成分 其中，且因此求的的主成分就是求它的的協(xié)方差矩陣的所有特征值及相應(yīng)的正交單位化特征向量。按特征值由大到小所對應(yīng)的正交單位化特征向量為組合系數(shù)的的第一、第二，直至第個主成分，而各主成分的方差等于相應(yīng)的特征值。定理2 設(shè)為總體的主成分向量，則主成分與變量的相關(guān)系數(shù) 顯然，與的相關(guān)系數(shù)反映了主成分與原變量的關(guān)聯(lián)程度，它與標(biāo)準(zhǔn)差成反比，與主成分的標(biāo)準(zhǔn)差成正比。若記,則由代數(shù)學(xué)可以證明：其中表示協(xié)方差矩陣的主對角線元素組成的對角矩陣，是主成分矩陣，是特征值對角矩陣。4.實(shí)例分析4.1數(shù)據(jù)選取及指標(biāo)來源基于上面所介紹的定

18、力與計(jì)算步驟步驟我們對玻璃行業(yè)的8家上市公司某07年度的財(cái)務(wù)狀況進(jìn)行主成分分析。8家企業(yè)為耀皮玻璃 、福耀玻璃 、新華光、三峽新材、方興、金晶科技、南玻集團(tuán)和山東藥玻。每個企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況采用七項(xiàng)指， 為第i個企業(yè)的第j項(xiàng)指標(biāo)，7項(xiàng)財(cái)務(wù)狀況指標(biāo)為成本費(fèi)用利潤率資產(chǎn)負(fù)債率存貨周轉(zhuǎn)率、應(yīng)收賬款周轉(zhuǎn)率、銷售利潤、資本保值增值率和總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率。這7項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值可通過8家玻璃行業(yè)上市公司的年報(bào)計(jì)算得到，見表1。表1 2007年度7項(xiàng)財(cái)務(wù)狀況原始數(shù)據(jù)成本費(fèi)用利用率資產(chǎn)負(fù)債率存貨周轉(zhuǎn)率應(yīng)收賬款周轉(zhuǎn)率銷售利潤率資本保值增值率總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率耀皮玻璃6.07%50.42%3.08%13.18%1.66%1.08%4.

19、60%福耀玻璃23.20%62.73%2.78%7.47%18.62%1.25%14.93%新華光1.29%57.01%2.95%4.58%0.27%1.02%2.23%三峽新材1.24%61.27%4.14%18.88%0.96%1.01%3.47%方興科技5.41%66.25%6.18%5.36%4.68%1.27%8.64%金品科技23.54%45.04%5.42%33.77%17.93%3.21%11.98%南玻集團(tuán)17.98%49.30%9%13.70%15.35%1.52%10.23%山東玻璃18.53%30.17%3.33%3.78%15.28%1.41%13.08%4.2數(shù)據(jù)處

20、理以及計(jì)算結(jié)果（1）指標(biāo)統(tǒng)一趨勢化依據(jù)公式對各指標(biāo)的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行指標(biāo)的無量綱化處理。B = 0.6319 4.3072 1.4251 1.3087 0.2038 1.4879 0.9710 2.4152 5.3588 1.2863 0.7417 2.2858 1.7221 3.1515 0.1343 4.8701 1.3649 0.4548 0.0331 1.4052 0.4707 0.1291 5.2341 1.9155 1.8747 0.1178 1.3914 0.7325 0.5632 5.6595 2.8594 0.5322 0.5745 1.7496 1.8238 2.4506 3.

21、8476 2.5078 3.3531 2.2011 4.4222 2.5288 1.8718 4.2115 4.1642 1.3603 1.8844 2.0940 2.1594 1.9291 2.5773 1.5408 0.3753 1.8758 1.9425 2.7610（2）建立R矩陣R矩陣的定義如下計(jì)算結(jié)果R = 1.0000 0.4484 0.7265 0.7482 0.9926 0.8364 0.9344 0.4484 1.0000 0.7235 0.4680 0.4104 0.6732 0.6245 0.7265 0.7235 1.0000 0.7378 0.7026 0.8821

22、 0.8382 0.7482 0.4680 0.7378 1.0000 0.7104 0.8695 0.7007 0.9926 0.4104 0.7026 0.7104 1.0000 0.7938 0.9133 0.8364 0.6732 0.8821 0.8695 0.7938 1.0000 0.8928 0.9344 0.6245 0.8382 0.7007 0.9133 0.8928 1.0000 對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算特征值、方差貢獻(xiàn)率以及各指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，各指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)數(shù)據(jù)矩陣的各項(xiàng)數(shù)據(jù)如下所示。v = 0.7687 -0.1402 0.1288 -0.1731 0.2197 0.37

23、22 0.3951 0.0004 -0.0257 0.1745 -0.4762 0.2749 -0.7630 0.2905 0.0696 -0.0626 0.3621 0.7894 -0.0760 -0.2887 0.3845 -0.0441 0.3247 0.2244 -0.2958 -0.7863 0.0791 0.3609 -0.6189 -0.2906 0.3399 -0.1322 0.2796 0.4168 0.3842 -0.0663 -0.5181 -0.7009 0.0296 -0.2429 -0.0930 0.4092 -0.1220 0.7194 -0.4059 0.119

24、4 0.3390 0.0858 0.4079d = 0.0035 0 0 0 0 0 0 0 0.0270 0 0 0 0 0 0 0 0.0767 0 0 0 0 0 0 0 0.1700 0 0 0 0 0 0 0 0.4125 0 0 0 0 0 0 0 0.7942 0 0 0 0 0 0 0 5.5162d1 = 0.0035 0.0270 0.0767 0.1700 0.4125 0.7942 5.5162q =0.0005 0.0039 0.0110 0.0243 0.0589 0.1135 0.7880將數(shù)據(jù)整理后并入表2中。(3) 特征值、特征向量以及貢獻(xiàn)率表 2 特征值，特

25、征向量以及貢獻(xiàn)率特征值特征向量貢獻(xiàn)率5.5162 0.7942 0.4125 0.1700 0.0767 0.0270 0.00350.3951 0.2905 0.3845 0.3609 0.3842 0.4092 0.4079 0.3722 -0.7630 -0.2887 0.0791 0.4168 -0.0930 0.0858 0.2197 0.2749 -0.0760 -0.7863 0.2797 -0.2429 0.3390 -0.1731 -0.4762 0.7894 -0.2958 -0.13220.0296 0.1194 0.1288 0.1745 0.3621 0.2244 0

26、.3399 -0.7009 -0.4059 -0.1402 -0.0257 -0.0626 0.3247 -0.2906 -0.5181 0.7194 0.7687 0.0004 0.0696 -0.0441 -0.6189 -0.0663 -0.1220 0.7880 0.1135 0.0589 0.0243 0.0110 0.0039 0.0005表 3 綜合排名公司得分排名耀皮玻璃3.60447福耀玻璃6.14173新華光2.93668三峽新材3.8986方興科技4.83875金品科技7.94711南玻集團(tuán)6.51672山東玻璃4.880544.3 結(jié)果檢驗(yàn)與分析利用相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行第一

27、主成份得分排名相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算公式為： 編輯程序求解相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值與對應(yīng)的特征向量及貢獻(xiàn)率，得到結(jié)果見表由表2可以知道, 最大特征值對應(yīng)的特征向量為正向量，同時，第一貢獻(xiàn)率為78.80%，所以可用第一主成分排名,即其中由表3可得到得到各上市公司的得分與排名并與顧倍蓁的企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的模糊聚類分析3顧倍蓁：企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的模糊聚類分析J2008 16期3一文的聚類分析結(jié)果對比如下：表 4 主成分與聚類對比 編號公司排名分類6金品科技1一類7南玻集團(tuán)2二類2福耀玻璃38山東玻璃45方興科技5三類4三峽新材61耀皮玻璃73新華光8利用實(shí)對稱矩陣進(jìn)行主成分分析來檢驗(yàn)結(jié)果表 5特征值特征向量貢獻(xiàn)率3.

28、80561.4194 0.9440 0.6688 0.1174 0.0385 0.00350.4904 -0.2694 0.1713 0.2444 0.4860 0.4096 0.4904 0.1933 -0.1655 -0.3765 0.6724 0.2124 -0.4138 0.3537 0.0473 0.5843 0.7019 -0.2453 0.1417 -0.2056 0.2028 -0.1383 -0.7351 0.5761 -0.2328 -0.09290.1172 0.1791 0.2387 -0.0790 0.0138 0.5460 0.1946 -0.7646 -0.126

29、3 -0.4320 -1090 0.0216 0.2730 -0.3458 -0.1424 0.76690.6773 0.0100 0.0609 -0.0346 -0.7297 -0.0091 0.0612 0.5437 0.2028 0.1349 0.09550.0168 0.0055 0.0009表 6公司得分排名耀皮玻璃0.84956福耀玻璃3.34624新華光-0.10238三峽新材0.38937方興科技1.17025金品科技5.40891南玻集團(tuán)3.55232山東玻璃3.53023通過將表3分別與表4、表6比較可以看出，主成分分析的結(jié)果和聚類分析的結(jié)果一致，說明模型可靠，同時在表6中

30、新華光的得分為負(fù)說明了新華光的水平低于平均水平。4.4 多指標(biāo)變量的多重相關(guān)性對策指標(biāo)變量的多重相關(guān)性的一大弊端是，在運(yùn)用主成分計(jì)算個樣本績效的總評得分時，各樣本點(diǎn)的評分值：為了更完整的描述評價對象，盡可能不遺漏一些舉足輕重的關(guān)系特征，評價人員往往傾向于盡可能更全面的選取有關(guān)指標(biāo)，對于同一個評價洗點(diǎn)（如完成研發(fā)項(xiàng)目的數(shù)量）從多個不同的角度進(jìn)行評價。運(yùn)用PCA進(jìn)行企業(yè)績效的綜合評價，可以消除變量的多重相關(guān)性，克服變量間重疊信息的不良影響。 4 張運(yùn)生：主成分分析法在企業(yè)績效綜合評價中的改進(jìn)，山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)，第26卷第4期,第80-82頁。4.5企業(yè)建議與分析的不足之處 綜上分析 ，企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況分析主要根據(jù)是一定時期的企業(yè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)。而企業(yè)財(cái)務(wù)分析的目標(biāo)主要針對企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況、資產(chǎn)治理水平、獲利能力及其發(fā)展趨勢。基于以上分析，各企業(yè)可以明顯地從財(cái)務(wù)實(shí)力看到彼此之間的差距，企業(yè)的治理層能清楚地估算本企業(yè)在市場競爭中的地位，并可依此評估本企業(yè)的競爭力，可以減少以后的不確定性，能更好的為企業(yè)的發(fā)展謀劃方向。 對企業(yè)的財(cái)務(wù)指標(biāo)的分析只是反映了該企業(yè)的生存能力。由于財(cái)務(wù)指標(biāo)評價系統(tǒng)很難提取全部的，同時財(cái)務(wù)比較偏重短期財(cái)