專升本高等數(shù)學二答案

1、2006年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考高等數(shù)學（二）試卷（A）參考答案及評分標準一、 填空題：（只需在橫線上直接寫出答案，不必寫出計算過程。本 題共有8小題，每小題5分，共40分。）1. 若 在連續(xù)，則 1 .2. 曲線在處的切線方程為 .3. 設(shè)函數(shù)，則其導數(shù)為 .4. 4 .5. 設(shè)，則 .6. 曲線與直線，及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體體積為 .7. 微分方程 的通解為 .8. 若級數(shù)收斂，則的取值范圍是 .二、選擇題：（本題5個小題，每小題4分，共20分.每小題給出的4個選項中，只有一項符合要求.）1（ B ）. (A) (B) (C) 1 (D) 不存在2. 當時， 是比

2、的（ ）. 高階無窮小 等價無窮小 同階無窮小 低階無窮小3. 級數(shù) 為（ ）. 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 無法判斷4.曲線與直線所圍成的圖形的面積是 （ ）. 5.廣義積分為（ ）. 0 三、 計算題：（計算題必須寫出必要的解題過程，只寫答案的不給分.本題共10個小題，每小題6分，共60分）.1. 計算極限 .解： （5分） （6分）2計算函數(shù) 的導數(shù) .解1： 兩邊取對數(shù)，得 （1分） 兩邊求導數(shù) （4分） （6分）解2： 由于，所以 （4分） （6分）3 計算由隱函數(shù) 確定的函數(shù) 的微分.解： 方程兩邊關(guān)于求導數(shù)，把 看成的函數(shù). （3分）解得 （4分）所以函數(shù)的微分 （6分）4. 判別

3、正項級數(shù)的斂散性.解1： 由于，所以 （3分）已知級數(shù)收斂 （5分）由比較判別法知級數(shù) 收斂. （6分）解2： 取，1 （4分） 因為級數(shù)收斂 （5分） 所以原級數(shù)收斂。 （6分）5. 計算不定積分 解1： （4分） （6分）解2： 設(shè) ，則，于是 （4分） = = （5分） = （6分）6. 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂區(qū)間.解： 當 時， （2分 ） 所以當 ，即 時，冪級數(shù) 收斂；當 ，即時，冪級數(shù) 發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂半徑 （3分）由于 時，級數(shù) 成為 發(fā)散。 （5分）因此冪級數(shù)收斂區(qū)間為 （6分）7. 計算定積分 解： 由于公式 ，所以 （2分） （ 3分） （5分） （6分）8.

4、計算微分方程 滿足初始條件 的特解.解： 分離變量得 （2分） 兩邊積分 于是有 即 （4分） 或 將初始條件代入得 （5分） 所求特解是 （6分）9. 計算函數(shù) 的二階導數(shù) .解： （3分） （6分）10. 將函數(shù) 展成的冪級數(shù)并指出收斂區(qū)間.解： 因為 （1分） 根據(jù)冪級數(shù)展開式 ， （2分）于是 （5分） 收斂區(qū)間是 （6分）四、綜合題（本題4個小題，共30分）1. 本題7分 設(shè)，證明不等式 證明： 設(shè)， （ 2分 ）則 在閉區(qū)間上滿足 Lagrange定理條件， 于是存在一點，使 （3分）即 （4分）因為且，所以 ， （5分）因此 ,從而. （7分）2本題7分設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值

5、與最小值.解： 由于定積分是一確定的實數(shù)，設(shè) （1分）對的等式兩邊積分有 于是 （2分）由上式解得 （3分）令得駐點 （4分） 當時，恒有 ，表明在區(qū)間內(nèi)嚴格增加， （5分）所以 是函數(shù)在的最小值 （6分） 是函數(shù)在的最大值. （7分）3 3. 本題8分 設(shè)， （為實數(shù)）試問在什么范圍時（1）在點連續(xù)；（2）在點可導.解： （1）當時，是時的無窮小量，而是有界變量， （2分） 所以當時， （3分） 即當時，在點連續(xù)。 （4分） （2）當時，由導數(shù)定義及有界變量乘無窮小量是無窮小量，得 （6分） （7分）所以當時，在點可導. （8分）4本題8分 若函數(shù)，求.解： 上式兩邊關(guān)于求導數(shù)， （1分） （ 2分）記 ，則上式是二階常系數(shù)非齊次微分方程 ，即 （I）的通解是，為任意常數(shù)。 （3分）由于是的特征方程 的單根，所以設(shè)是方程 （I）的一個特解， 于是