隨機(jī)過程2012B27卷及問題詳解

1、河北科技大學(xué)2012 2013學(xué)年第一學(xué)期應(yīng)用隨機(jī)過程試卷（B '）學(xué)院理學(xué)院班級(jí)姓名學(xué)號(hào)得分概念簡答題（每題5分，共40分）1.寫出ARMA （p,q ）模型的定義2.寫出卡爾曼濾波的算法公式題號(hào)-一一二二二總分得分3. 一書亭用郵寄訂閱銷售雜志，訂閱的顧客數(shù)是強(qiáng)度為6的一個(gè)泊松過程，每111 一位顧客訂閱1 年, 2 年, 3年的概率分別為彼此如何訂閱是相互獨(dú)立的， 2 3 6每訂閱一年，店主即獲利5元，設(shè)Y(t)是0,t)時(shí)段內(nèi)，店主從訂閱中所獲得總收入。試求：(1) EY(t)(即0,t)時(shí)段內(nèi)總收入的平均收入)；(2) DY(t)。4. 已知平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度為Sx

2、(w) 嚴(yán) £，試求其自相關(guān)函數(shù)w 10w9Rx()。5. 設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維修一次，試求在使用期限內(nèi)只維修過一次的概率2d6設(shè) X(t)為二階矩過程，RX(t1,t2) e (t1 t2)，若 Y(t) X(t) X(t)，試求 dtR (t1, t2) 07.隨機(jī)過程X(t) A (t),t T,A: N( , 2)是否為正態(tài)過程，試求其有限維分 布的協(xié)方差陣。8什么是隨機(jī)過程，隨機(jī)序列?10分，共60分)1. 設(shè)X(n),n 0是具有3個(gè)狀態(tài)1,2,3的齊次馬爾可夫鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣1/ 4 1/ 21/4為P 1/

3、21/41/4 ，初始分布為01/ 4 3/4P1(0) PX(0) 1 1/2, p2(0) 1/3, p3(0) 1/6(1) 試求 PX(0)1,X(2)3;(2) 試求 P X (2)2;(3) 此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性？(4) 試求其平穩(wěn)分布。2. 設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為匸0,1,步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.50.4 0.1P= 0.30.4 0.3，求其相應(yīng)的極限分布。0.20.3 0.53. 設(shè)隨機(jī)過程X(t) Xcos2t,t (,),X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試求數(shù)學(xué)期望E(Xt)，方差D(Xt)，相關(guān)函數(shù)Rx(ti,t2)，協(xié)方差Cx(ti,t2)。n4. 一維對(duì)稱流動(dòng)隨機(jī)過程Yn,

4、Y。0,YnXk, Xk具有的概率分布為k 11p(Xk1) p(Xk 1)-，且Xi,X2,.是相互獨(dú)立的。試求Yi與Y2的概率分布及其聯(lián)合概率分布。5. 設(shè)到達(dá)某圖書館的讀者組成一泊松流，平均每30min到達(dá)10位。假定每位1讀者借書的概率為-，且與其它讀者是否借書相互獨(dú)立，若令Y(t),t 0是借書3讀者流，試求：(1 )在0,t) (t 0)內(nèi)到達(dá)圖書館的讀者數(shù)N(t)的概率分布；(2 )平均到達(dá)圖書館的讀者人數(shù)；(3) 借書讀者數(shù)Y(t)的概率分布。6.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)=2 x y,00,其他x 1,0 y 1試求 px<3y河北科技大學(xué)20

5、12 2013學(xué)年第一學(xué)期應(yīng)用隨機(jī)過程試卷(B ')答案一 概念簡答題(每題5分，共40分)1. 寫出ARMA (p,q )模型的定義答：自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)模型為Xt iXti 2Xt 2 L pXt p 1 t 12 t 2 L q tq，其中，P 和 q 是模型的自回歸階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)；，是不為0的待定系數(shù)；t是獨(dú)立的誤差項(xiàng)；Xt是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列。2. 寫出卡爾曼濾波的算法公式答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)仆)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A' +Q (2)X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)

6、-HX(k|k-1)(3)Kg(k)=P(k|k-1)H' /(HP(k|k-1)H ' +R)(4)P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)(5)3一書亭用郵寄訂閱銷售雜志，訂閱的顧客數(shù)是強(qiáng)度為6的一個(gè)泊松過程，每位 顧客訂閱1年，2年，3年的概率分別為,1,丄，彼此如何訂閱是相互獨(dú)立的，2 3 6每訂閱一年，店主即獲利5元，設(shè)Y(t)是0,t)時(shí)段內(nèi)，店主從訂閱中所獲得總收入。試求:(1) EY(t)(即0,t)時(shí)段內(nèi)總收入的平均收入);(2) DY(t)答:設(shè)X(n)為店主從第n個(gè)訂閱者處的收入，則X( n)51015P1/21/31/6N(t)且 X(n)相

7、互獨(dú)立，EX(n)50/6,EX2(n)500/6，則總收入為 Y(t) X(n)n 1由于Y(t)是復(fù)合泊松過程，故 EY(t)50t, DY(t)500t4已知平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度為Sx(w)42 小w 10w9試求其自相關(guān)函數(shù)Rx()答：因?yàn)镾x(w)2w 442 w 10w95/83/82 - 2 w 9 w 1故有維納一辛欽公式得Rx()SX(w)eiw dw48165.設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維修一次，試求在使用期限內(nèi)只維修過一次的概率。答：因?yàn)榫S修次數(shù)與使用時(shí)間有關(guān)，故此過程是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)為1/2.50 t

8、5(1/25 t 10105110 1則在使用期限內(nèi)平均維修次數(shù)為 m(10)0 (t)dt 0dt 5 -dt 4.500 2.55 2故在使用期限內(nèi)只維修過一次的概率為PN(10) N(0) 1 0.056 .設(shè) X(t)為二階矩過程，Rx(tt2) e®*，若 Y(t) X(t) X(t)，試求 dtR (t1, t2)。答:RY(ti,t2)EY(tJY(t2) E(X(tJ *X(ti)(X(t2)X(t2)dt1dt2pipiHHEX(ti)X(t2)X(t2) X(ti) X(tih-X(t2)-X(tih-X(t2) dt|dt2dt1dt223 4(ti t2)2e

9、 (t1 t2)7 隨機(jī)過程X(t) A (t),t T,A : N( , 2)是否為正態(tài)過程，試求其有限維分 布的協(xié)方差陣。答：由于 X(t) A (t),t T,A: N( , 2), ti t2 L tn T，對(duì)任意常數(shù) ai,L 務(wù)， nn線性組合aiX(ti) ( ai (ti)A服從一維正態(tài)分布，故(X(ti),L,X(tn)服從ni 1i 1維正態(tài)分布，所以X(t)為正態(tài)過程 又對(duì)于任意的ti,tj,X(ti)與X(tj)的協(xié)方差為CijCov(X(ti),X(tj) E(X(ti) mx (ti)(X(tj) mx(tj)2 2 2E(A (ti) (ti) )(A (tj)(

10、tj) ) (ti) (tj)E(A ) (ti) (tj)(ti) (tj)n,X(t)L X(tn)的協(xié)方差矩陣為 C = (Cj)nn ( ' (ti ) (tj)nn8什么是隨機(jī)過程，隨機(jī)序列?答：設(shè)T為0，+ )或(-，+ )，依賴于t(t T)的一族隨機(jī)變量(或隨機(jī) 向量) t通稱為隨機(jī)過程，t稱為時(shí)間。當(dāng)T為整數(shù)集或正整數(shù)集時(shí)，則一般 稱為隨機(jī)序列。綜合題(每題10分，共60分)步轉(zhuǎn)移概率矩陣1. 設(shè)X(n),n0是具有3個(gè)狀態(tài)1,2,3的齊次馬爾可夫鏈,1/ 41/ 21/4為 P 1/ 21/ 41/4，初始分布為01/ 43/4Pi(O) PX(0) 1 1/2,

11、p2(0) 1/3, p3(0) 1/6(1) 試求 PX(0)1,X(2)3;(2) 試求 P X (2)2;(3) 此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性？(4) 試求其平穩(wěn)分布。(1)PX(0)1,X(2)3P X (0)1 P X (2)3| X(0)1316分)(2)PX(2)231965/165/163/8答：根據(jù)已知條件得P1/43/83/81/ 81/ 45/8(2 分)(2 分)(2 分)(3) 因?yàn)镻的腹元均大于0 ,故此鏈具有遍歷性。(4) 平穩(wěn)分布滿足等式11 口12 p213p310.25 10.522 1 p122 p223 p320.5 1 0.2520.25 331 p132 p2

12、33 p330.25 1 0.2520.75 31231解得 11/5, 23/10, 31/2131故平穩(wěn)分布為 (1, 2, 3)(, )5 10 2(2分)2. 設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為匸0,1,2, 步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.50.40.1P=0.30.40.3，求其相應(yīng)的極限分布0.20.30.5（W°,W1,W2）,由W=WP得到方程組0.5W00.3w-i0.2w2w00.4w00.4w-!0.3w2w0.1w00.3w-!0.5w2w?w0w1w21解：設(shè)其極限分布W解方程組得到：w021622362931(5 分)(5 分)3. 設(shè)隨機(jī)過程X(t) Xcos2t,t (）

13、,X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試求數(shù)學(xué)期望E(Xt)，方差D(Xt)，相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)，協(xié)方差Cx(t1,t2)。解：因?yàn)?X(t) Xcos2t,t (,),XN(0,1), E(X) 0, D(X) E(X2)1，(2 分)所以 E(Xt) E(X cos2t) cos2t E(X) 0,(2 分)2 2D(Xt) D(X cos2t) cos 2t D(X) cos 2t,(2 分)Rx(t1,t2) EX(t1)X(t2) EXcos2t X cos2t cos2 2t,( 2分)Cx(t1,t2)Rx(t1,t2)E(tJE(t2)Rx(t1,t2)cos22t.(2 分)

14、n4. 一維對(duì)稱流動(dòng)隨機(jī)過程Yn,Y。0,YnXk, Xk具有的概率分布為k 11p(Xk1) p(Xk 1)-，且XX2， 是相互獨(dú)立的。試求丫!與Y,的概率分布及其聯(lián)合概率分布。解：因?yàn)檠?X!,Y2 X! X2,所以丫的概率分布為:1 1pY 1PX1 1 -,pY11pX11丫2的概率分布為pY2 2 pX1 1,X2 11 1 1pX1 1 X2 1 - - 4，1 p篦2 pX11,X21-,4pY2 0 pX11,X2 1 pX1 1,X21442（2 分）(2 分)(2 分)(2 分)(2分)pY1上12 -,p1,丫2 240,p¥11丫2。 4pY1,丫2120,p¥1,丫22-,4pY 1,丫20寸Y1與Y2的聯(lián)合概率分布:5. 設(shè)到達(dá)某圖書館的讀者組成一泊松流，平均每30min到達(dá)10位。假定每位1讀者借書的概率為1，且與其它讀者是否借書相互獨(dú)立，若令Y(t),t 0是借書3讀者流，試求：(1 )在0,t) (t 0)內(nèi)到達(dá)圖書館的讀者數(shù)N(t)的概率分布;(2 )平均到達(dá)圖書館的讀者人數(shù);(3)借書讀者數(shù)Y(t)的概率分布。1答：設(shè)t的單位為分鐘，則N(t)是強(qiáng)度為丄的泊松過程，故3k(1) N(t):(1t), PN(t) k &et/3,