交大劉迎東微積分習(xí)題87答案

1、8.7 方向?qū)?shù)與梯度習(xí)題8.71. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，單位化得，所以方向?qū)?shù)為2. 求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向微商，并求在這點(diǎn)的梯度和最大的方向微商及最小的方向微商。解：最大的方向微商為，最小的方向微商為3. 求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量解：4. 設(shè)有二元函數(shù)求在點(diǎn)處的絕對(duì)值減少最快的方向。解：其在處梯度向量為所以在點(diǎn)處的絕對(duì)值減少最快的方向是5. 求函數(shù)在點(diǎn)處的最大方向微商與最小方向微商。解：，所以最大方向微商為最小方向微商為6. 設(shè)，求解：7. 求函數(shù)在拋物線上點(diǎn)處，沿此拋物線在該點(diǎn)處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù)。解：拋物線上點(diǎn)處切向量為，單位化為，而，所以方向

2、導(dǎo)數(shù)為8. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：曲線在點(diǎn)處的法線方向，內(nèi)法線方向?yàn)?，單位化為，而，所以方向?qū)?shù)為9. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向角為的方向的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，而，所以方向?qū)?shù)為10. 設(shè)過(guò)橢球面上點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量為。求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解：過(guò)橢球面上點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量為，單位化為，而，所以方向?qū)?shù)為11. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，單位化得，所以方向?qū)?shù)為12. 求函數(shù)在曲線上點(diǎn)處，沿曲線在該點(diǎn)的切線正方向（對(duì)應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，單位化得，所以方向?qū)?shù)為13. 求函數(shù)在球面上點(diǎn)處，沿球面在該點(diǎn)的外法線

3、方向的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，單位化得，所以方向?qū)?shù)為14. 設(shè)在點(diǎn)處可微，在點(diǎn)給定個(gè)單位向量，相鄰兩個(gè)向量之間的夾角為，證明證明：15. 求函數(shù)的梯度。并問(wèn)在何處其梯度（1）垂直于軸；（2）平行于軸；（3）等于零。解：，若垂直于軸，則，即點(diǎn)為。若平行于軸，則，即點(diǎn)。若等于零，則即點(diǎn)。16. 求函數(shù)在點(diǎn)與處兩梯度之間的夾角。解：，所以，其夾角為17. 設(shè)求及。解：18. 設(shè)函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明：（1）為常數(shù)）；證明：（2）證明：（3）證明：（4）證明：19. 求函數(shù)在點(diǎn)處變化最快的方向，并求沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)。解：，增加最快的方向?yàn)?，方向?qū)?shù)為減少最快的方向?yàn)?，方向?qū)?shù)為20. 設(shè)，求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定角，使得此導(dǎo)數(shù)（1）有最大值；（2）有最小值；（3）等于零。解：，。當(dāng)時(shí)取最大值；當(dāng)時(shí)取最小值；當(dāng)時(shí)等于零。21.