上海高一上期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題三：函數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高一(上)數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)三：函數(shù)(1)函數(shù)的有關(guān)概念、函數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)關(guān)系的建立知識(shí)梳理：1、某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x和y,如果對(duì)于x在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值， 按 照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f, y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么 y就是x的函數(shù)，記作y=f (x), x CD , x叫做自變量，y叫做應(yīng)變量。x的取值范圍D叫做函數(shù)的 定義域，y叫做函數(shù) 值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.2、函數(shù)的三大要素：定義域、值域、解析式 3、函數(shù)的和運(yùn)算、積運(yùn)算(注意定義域)4、函數(shù)的表示方法：解析法、列表法和圖像法具體訓(xùn)練：1、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是().A. y=l, y =-

2、 B. y =Jx _1Jx +1, y = “ 1 C. y = x, y =3/x3 D. y=|x|, y=(Tx)2 x2、給出下列兩個(gè)條件：(1) f(57+1)=x+26：。山酎為二次函數(shù)且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別 求出f(x)的解析式|3、求下列函數(shù)的定義域:(x 1)0 .(D y= ),v| x| -X y-1 一丹.5_x2：,x2 -34、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?1) y=f(3x);0, 1,求下列函數(shù)的定義域I(2)y=f(-)；x(3)y=f( x1 f(x -3)(4)y=f(x+a)+f(x-a).5、求下列函數(shù)的值域:(1

3、) y=- x2x -x(2)y=x- .1 -2x .度xe -16、已知函數(shù)1 1+ ,g(x )=Ux+1 ，求 f(x)+g(x)xx作業(yè)附加：1、 .等腰梯形 ABCD的兩底分別為 AD=2a , BC=a, / BAD=45 ,作直線 MN LAD交AD于M, 交折線ABCD于N,記AM=x，試將梯形 ABCD位于直線 MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并 寫出函數(shù)的定義域|2、若函數(shù)f(x)的定義域是0, 1,則f(x+a) f(x-a) (0vav ；)的定義域是()A. 0氏a, 1-aC, -a, 1+aD, 0, 13、求下列函數(shù)的值域：(1)y=三：尸|x J1T712x

4、 5學(xué)案答案:1、 C 2、解：(1)令 t= TX +1, 1-1 k x= (t-1) 2則 f(t)=(t-1) 2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,xC 1, 一).(2)設(shè) f(x)=ax2+bx+c (混0),4a =44 a +2b =2 -f(x+2)=a(x+2)2bx+2)+u,貝U f(x+2)-死%)=4川+琲&+2b=4x+2,a =1 ,又 f(0)=3 = c=3, f(x)=x 2-x+3. b =_13、解：（1）由題意得？x,故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0且x六1.x 0x -二.3 .；5 x 0故函數(shù)的定義域?yàn)閤|- 55 Wxq5且X豐書3人

5、（3）要使函數(shù)有意義，必須有，十0,即J，x1故函數(shù)的定義域?yàn)?, +8）| x -1 0x 14、解：（1） 0W3xt0Wx1： 了一旦3）的定義域?yàn)?, 1 | 33（2）仿（1）解得定義域?yàn)?, 一叫11.（3）由條件，y的定義域是益十）與儀）定義域的交集 33列出不等式組0 _x 1 130 _x - _13-1x233= Lx M2,1,43-x _33故 y=f (x1+f（x&）的定乂域?yàn)? 2 ,3,3 .(4)由條件得0a+a當(dāng)二/.1-a討論：0 _x _a _1a _x _1 a當(dāng)W1r；即0wa2時(shí)，定義域?yàn)閍,1-a；1 -a 1 a,2當(dāng)尸士?；即-1waw時(shí)，定

6、義域?yàn)?a,1+a |-a 1 +a,2綜上所述：當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)閍, 1旬；當(dāng)成時(shí)，定義域?yàn)?a, 1+a |5、解：（1）方法一（配方法）y=1-1z33-x 1 =(x ),244 1.01_4x2 -x 13113 4,值域?yàn)榉椒ǘ?判別式法)2由 y= X-，得(y-1) X2 +(1 _y)x +y. x -x 7,y=1 時(shí)，XW0 二 y#1.又 XWR, .必須 A=(1-y) 2-4y(y-1)心 0.1-3y 1.-.- y#1,，函數(shù)的值域?yàn)?2)方法一(單調(diào)性法)函數(shù) y=x,y=- J1 -2x均在故 y! _ 1 -21- =!. 222二函數(shù)的值域?yàn)镃oq! I.

7、,2方法二(換元法)令 J1 -2x =t,則 t 且 x= 12y=- 1 (t+1) 2+1 0,即30,解得-1丫,e F1 -y1 y，函數(shù)的值域?yàn)閥卜1 vyv7、f x g x = . 1 - x . x 1, x 1-1,0 一 0,1 1作業(yè)附加答案：1、解：作BHAD, H為垂足，CGXAD, G為垂足,依題意，則有 AH= - , AG= -1 22(1)當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，NCAB,由于 AM=x , / BAD=45C, -MN=x| .y=SAAMN = -x2 (0WxW ) |22(2)當(dāng) M 位于 HG 之間時(shí)，由于 AM=x , MN= - , BN=x-

8、a I 222 1a,_/ a、r 1aa3, , y=S amnb = x+ (x ) = ax -( 0.7 .已知函數(shù)f(x)是(一8, +8止的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x= 1對(duì)稱，當(dāng)xC 0,1時(shí)，f(x)= 2x1, (1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)xC 1,2時(shí)，求f(x)的解析式； (3)計(jì)算 f(0) + f(1)+f(2)+ +f(2013)的值.8 .設(shè) f(x)是(一8, 十 oo止的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x),當(dāng) 0aW1 時(shí)，f(x)=x.(1)求出兀的值；(2)當(dāng)一4蟲W4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(一8, + oo內(nèi)

9、函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間.9 .已知函數(shù) f(x)=ex 1, g(x)=x2+4x3.若有 f(a) = g(b),則 b 的取值范圍為().A. 2-V2, 2 + V2B. (2-V2, 2 + V2) C. 1,3 D. (1,3)ax10、討論函數(shù)f(x)=(aw 璉(一1,1)上的單倜性.x 1x2+ a11、已知函數(shù)f(x)=(a0)在(2, + 8止遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.x12、已知函數(shù) f(x)對(duì)于任意 x, yCR,總有 f(x) + f(y)=f(x+y),且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0, f(1)2=0.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3

10、,3上的最大值和最小值.313、 當(dāng)xC (1,2)時(shí)，不等式x2+mx + 4Q|Jx+ 3|3WQ得2土0,或 00 時(shí)，2x1,2 10,所以 f(x)= x,x1 + 1 | 0.當(dāng)xv 0時(shí)，一x0,所以f(-x) 0,又f(x)是偶函數(shù)， f(-x)=f(x),所以 f(x)0.綜上，均有f(x)0.方法總結(jié)根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.所以對(duì)具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性即可.7.審題視點(diǎn)(1)只需證明f(x+T)=f(x),即可說(shuō)明f(x)為周期函數(shù)；(2)由f(x)

11、在0,1上的解析式及f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值.(1)證明 函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)= - f(x),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x= 1對(duì)稱，則f(2 + x) = f(-x)=-f(x),所以 f(4 + x)=f(2 + x) + 2 = f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 為周期的周期 函數(shù).(2)解 當(dāng) xC 1,2時(shí)，2 xC0,1,又 f(x)的圖象關(guān)于 x= 1 對(duì)稱，則 f(x)=f(2-x) = 22 x- 1 , xC 1,2.(3)解 .f(0) = 0, f(1)=1, f(2) = 0,f(3)

12、= f(-1) = -f(1)=-1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù). f(0) + f(1)+f(2)+f(2013)=f(2 012) + f(2 013) = f(0) + f(1) = 1.方法總結(jié)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=f(x)(Tw聯(lián)可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問(wèn)題.8.思維突破第(1)問(wèn)先求函數(shù)f(x)的周期，再求f(兀;)第(2)問(wèn)，推斷函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問(wèn)，由圖象觀察寫出.解答示范(1)由f(x + 2) = f(x)得，f(x+ 4)

13、=f(x+ 2)+2 = - f(x+ 2) = f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，(2分) .f(兀 f(1X4+ 兀4 f( l 4) = f(4兀)=一(4 一兀甘兀一4.(4分)(2)由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x+2)=f(x),得：f(x-1)+2 = - f(x-1) = f-(x- 1),即 f(1 + x) = f(1 -x).j. A1故知函數(shù)y = f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱.(6分)又0技wi時(shí)，f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示.(8分)當(dāng)一4蟲W4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則，1S= 4S

14、aOAB = 4X2X2X1 尸 4.(10 分)(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4 k- 1,4k+1(kCZ)，單調(diào)遞減區(qū)間4k+1,4k+3(k C Z). (12 分)題后反思關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題.9.解析 函數(shù)f(x)的值域是(1, 十 )要使得f(a) = g(b),必須使得x2+4x31.即 x2-4x+20,解得 2V2vxv2+V2.答案 B10、解設(shè)一1XiX20 時(shí)，f（Xi）-f（X2）0,即 f（Xi）f（X2）, 函數(shù)f（X）在（1,1）上遞減;11、解當(dāng) a0 時(shí)，f（X1）-f

15、（X2）0,即 f（X1）f（X2）, 函數(shù)f（X）在（1,1）上遞增.審題視點(diǎn)求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為不等式恒成時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性. 22X1+ a X2+ aX2- X1法一 設(shè) 2X1 X2,由已知條件 f(X1) f(X2) =-=(X1 X2) + a=(X1 X1X2 - aX2）=T0恒成立.即當(dāng)X1X2X1X22X1a 恒成立.又 X1X24,貝U 0 0 得 f(X)的遞增區(qū)間是(一00,他)，(, +),根據(jù)已知條件解得0x2,則x1一x20,f(X1) f(X2) = f(X1) + f( X2) = f(X1 X2).又X0 時(shí),f(x)0,f(X1-X2)0,即 f(X1

16、)X2,則 f(X1) - f(X2) = f(X1 - X2 + X2) - f(X2)=f(x1 x2) + f(X2) f(X2) = f(X1 x2).又X 0 時(shí),f(x)v0,而 x1一 X20, f(X1-X2) 0,即 f(X1) f(X2), f(x)在R上為減函數(shù).(2)解f(x)在R上是減函數(shù)， f(x)在3,3上也是減函數(shù)， f(x)在 3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3).而 f(3)= 3f(1) = 2, f(- 3) = - f(3) = 2. f(x)在 3,3上的最大值為2,最小值為一2.對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目

17、所給性質(zhì)和相f X1應(yīng)的條件，對(duì)任息X1, X2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(X1) f(x2)與0的大小，或f x 與1的大小.有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鏧1 = X24或X=X2+X1一 X2等.X213、解析 法一 當(dāng)xC (1,2)時(shí)，不等式x2+mx+ 40可化為：m-5,則 m0)f(x) = ax2 + bx+ c( a 10V a 1圖象邛口-1 W0yi 定義域R值域（0, 十 00）性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(GJ)x0 時(shí)，0vyv1 x 1. 在L00, + 8止是減函數(shù)當(dāng) x0 時(shí)，0vyv1;當(dāng) x 0 時(shí)，y 1;在（00, + 00止是增函數(shù)【X】一個(gè)關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與根式的關(guān)系根

18、式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)募進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.兩個(gè)防范：(1)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按：0vav 1和a1進(jìn)行分類討論.(2)換元時(shí)注意換元后 新元”的范圍.三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：畫指數(shù)函數(shù) y=ax(a0,且aw)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1, a), (0,1),抽象函數(shù)的解題技巧：換元法、方程組法、待定系數(shù)法、賦值法、轉(zhuǎn)化法、遞推法。具體訓(xùn)練：1.若函數(shù)f(x)=(x+ a)(bx+2a)(常數(shù)a、bCR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?, 4,則該函數(shù)的解析式 f(x) =.12,若函數(shù)f(x)=27，則該函數(shù)

19、在(8, + 00止是().A.單調(diào)遞減無(wú)最小值B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無(wú)最大值D.單調(diào)遞增有最大值1133、已知函數(shù) f(x)= gx_ 1 + 2 x (a0 且 aw 1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范圍，使f(x) 0在定義域上恒成立.4、已知方程10x=10x, lg x+x= 10的實(shí)數(shù)解分別為“和3,則 計(jì)3的值是.5、設(shè)函 數(shù)y = f(x)在(一十 )內(nèi)有定義.對(duì)于給定 的正 數(shù)K,定義函 數(shù)fK(x)=f x , f x 米，一皿-x一,， 一、一一取函數(shù) f(x) = 2 + x+ e ,右對(duì)任息的 xC (8,

20、+ 8),恒有 fK(x)=f(x), Ik, f x 0,nCN;f(n i+n2)=f(n i)f(n2),ni,n2 c N* ;f(2)=4同時(shí)成立？若存在，求出函數(shù)f(x)的解析式；若不存在，說(shuō)明理由 作業(yè)課一練 P80-82】學(xué)案答案：1.解析f(x)=bx2+(ab+2a)x+ 2a2由已知條件 ab+2a=0,又f(x)的值域?yàn)?8, 4,awQ則，b= 2, 因此 f(x)= 2x2+4.：2a2= 4.答案2x2+ 42.解析設(shè) y= f(x), t=2x+1,1則 y=t=2 + i, xe(8, 十 oo)t= 2x+ 1 在(, + 8)上遞增，值域?yàn)?1 , + O

21、O).一 .1 ,因此y=,在(1, 十 比遞減，值域?yàn)?。,1).答案 a3、審題視點(diǎn)對(duì)解析式較復(fù)雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當(dāng)變形；恒成立問(wèn)題可通過(guò)求最值 解決.解(1)由于ax 1wq且axw,所以xw0.，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xC R,且xw 0.(2)對(duì)于定義域內(nèi)任意 x,有f(-x)=x_ 1 + 2 j-x)3x=卷 +2Ax)3= T-口 +2,(-x)3=.x_ 1 + 2 產(chǎn)3 = f(x),，f(x)是偶函數(shù).當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ax1,x .一 11 一 a 1 0, a*_ 1 + 2 0.-331,1又 x0 時(shí)，x30,x3x_ 1 + 2 |0

22、,即當(dāng) x0 時(shí),f(x)0.又由(2)知f(x)為偶函數(shù)，即f(-x) = f(x),則當(dāng) x 0,有 f(x)=f(x)0 成立.綜上可知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)0在定義域上恒成立.“I rax+1 x3當(dāng) 0vav1 時(shí)，f(x)=-.二 a當(dāng) x0 時(shí)，1ax0, ax+ 1 0,ax-10,此時(shí)f(x)0,不滿足題意；當(dāng)x0, f( x) = f(x)1.以達(dá)到所需要的形式，另外,方法總結(jié)(1)判斷此類函數(shù)的奇偶性，常需要對(duì)所給式子變形,f x還可利用f( x)f(x), f二x來(lái)判斷.(2)將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題，是解決恒成立問(wèn)題的常用方法.ex- e xx 小y=2,

23、 y=lg(10x1)等.4、 解析 作函數(shù)y=f(x)=10x, y=g(x)=lg x, y= h(x)= 10 x的圖象如圖所示，由于 y = f(x)與y= g(x)互為反函數(shù)，它們的圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的.又直線y=h(x)與y=x垂直，y=f(x)與y=h(x)的交點(diǎn)A和y=g(x)與y=h(x)的交點(diǎn)B是關(guān)于直線 y=x對(duì)稱的.而同理,y = x與y=h(x)的交點(diǎn)為(5,5).又方程10x=10 x的解a為A點(diǎn)橫坐標(biāo), 坐標(biāo).， 5,即 a+ 3= 10.答案 10.九(丁)=/(父)恒成立/(上)K對(duì)任意的*：工 R恒成立*由K 恒成立得RGmin何題意得K產(chǎn).G =2

24、H I亡工對(duì)H R恒成立,出小H)= - 2 =或F = 3得- 1. j = 0. 且5V0 時(shí),fY父) 0：附，* G 0,所以Kn = *0) = 3,所以KW3，K的最大值為3I5、一此題較好地體現(xiàn)廣化歸思想【抽象函數(shù)】1 .換元法解:令 u=1+sinx,則 sinx=u-1(0 u 2),貝U f(u尸-u 2+3u+1 (0 u 2)故 f(x)=-x 2+3x+1(0u2)2 .方程組法1 119_解:用一代換 x,得f (一) 2f (x)=,與已知得 x2 +3xf (x) +2=0 xxx由至0得 9f 2(x) -4X2 至0,.|f(x)戶2 J2.3 .待定系數(shù)法解：由已知得f(x)是二次多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c (aw。)代入比