大學物理上剛體講座

1、主講教師：主講教師：姜海麗姜海麗E-mail：剛體習題dtd22dtddtddRdrRv 2RaRantt02021t2202 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 （2）、角量與線量的關(guān)系 （3）、勻變速轉(zhuǎn)動1、基本物理量（1）、角速度與角加速度FrMJM 2、力矩、力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量 （1）、力矩2iirmJdmrJ22mdJJC（3）、轉(zhuǎn)動慣量：，或 平行軸定理： 決定剛體轉(zhuǎn)動慣量的三要素：（1）剛體的體密度；（2）剛體的幾何形狀；（3）轉(zhuǎn)軸的位置。（2）、轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。典型題形：典型

2、題形：1、已知受力，求轉(zhuǎn)動參數(shù)（、已知受力，求轉(zhuǎn)動參數(shù)（ ）2、已知一些轉(zhuǎn)動參量，求其他轉(zhuǎn)動參數(shù)。、已知一些轉(zhuǎn)動參量，求其他轉(zhuǎn)動參數(shù)。3、已知轉(zhuǎn)動狀態(tài)，求力矩。、已知轉(zhuǎn)動狀態(tài)，求力矩。4、利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律解決問題、利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律解決問題5、力學的綜合問題、力學的綜合問題,質(zhì)點和剛體的對應關(guān)系質(zhì)點和剛體的對應關(guān)系質(zhì)點質(zhì)點剛體剛體Sdtdsv dtd22dtsddtdva22dtddtdatvvt0tt0asvvt22022202tmaF JM 1、一飛輪以、一飛輪以600 rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動慣量為2.5 kgm2，現(xiàn)加，現(xiàn)加一恒定的制動力矩使飛輪在

3、一恒定的制動力矩使飛輪在1 s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，則該恒定制動力矩的內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，則該恒定制動力矩的大小大小M_ 157N.m2、一作定軸轉(zhuǎn)動的物體，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量、一作定軸轉(zhuǎn)動的物體，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J3.0 kgm2，角速，角速度度06.0 rad/s現(xiàn)對物體加一恒定的制動力矩現(xiàn)對物體加一恒定的制動力矩M 12 Nm，當物體的角速度減慢到當物體的角速度減慢到2.0 rad/s時，物體已轉(zhuǎn)過了角度時，物體已轉(zhuǎn)過了角度_4.0 rad3、半徑為、半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細繩，繩的下端掛一質(zhì)具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細繩，繩的下端掛一質(zhì)量為量為m的物體繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對滑動

4、的物體繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對滑動若物體下落的加速度為若物體下落的加速度為a，則定滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量，則定滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量J_ m(ga)R2 / a4、 如圖所示，如圖所示，A、B為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪A滑輪掛一滑輪掛一質(zhì)量為質(zhì)量為M的物體，的物體，B滑輪受拉力滑輪受拉力F，而且，而且FMg設設A、B兩滑輪的兩滑輪的角加速度分別為角加速度分別為A和和bB，不計滑輪軸的摩擦，則有，不計滑輪軸的摩擦，則有 (A) AB (B) AB (C) AB (D) 無法確定無法確定 A M B F 答案：C5、物體、物體A和和B疊放在水平桌面上，由跨過定滑

5、輪的輕疊放在水平桌面上，由跨過定滑輪的輕質(zhì)細繩相互連接，如圖所示今用大小為質(zhì)細繩相互連接，如圖所示今用大小為F的水平的水平力拉力拉A設設A、B和滑輪的質(zhì)量都為和滑輪的質(zhì)量都為m，滑輪的半徑，滑輪的半徑為為R，對軸的轉(zhuǎn)動慣量，對軸的轉(zhuǎn)動慣量JAB之間、之間、A與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦都可以忽略不計，繩與滑輪之間無相對的滑動且都可以忽略不計，繩與滑輪之間無相對的滑動且繩不可伸長已知繩不可伸長已知F10 N，m8.0 kg，R0.050 m求：求：(1) 滑輪的角加速度；滑輪的角加速度；(2) 物體物體A與滑輪之間的與滑輪之間的繩中的張力；繩中的張力；(3)物

6、體物體B與滑輪之間的繩中的張力與滑輪之間的繩中的張力221mR B A F R 221mR各物體受力情況如圖各物體受力情況如圖 FTma Tma (T-T )R aR 由上述方程組解得：由上述方程組解得： 2F / (5mR)10 rad/s2 T3F / 56.0 N T2F / 54.0 N 6、質(zhì)量為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為Mr2/2，繞過盤繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為的邊緣掛有質(zhì)量為m，長為，長為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)圖）設繩與

7、圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)繩長之差為繩長之差為S時，繩的加速度的大小時，繩的加速度的大小 rSMarSMaOx2x112解：選坐標如圖所示，任一時刻圓盤兩側(cè)的繩長解：選坐標如圖所示，任一時刻圓盤兩側(cè)的繩長分別為分別為x1、x2 選長度為選長度為x1、x2的兩段繩和繞著繩的兩段繩和繞著繩的盤為研究對象設的盤為研究對象設a為繩的加速度，為繩的加速度，為盤的為盤的角加速度，角加速度，r為盤的半徑，為盤的半徑， 為繩的線密度，且在為繩的線密度，且在1、2兩點處繩中的張力分別為兩點處繩中的張力分別為T1、T2，則則 = m / l， a = r x2 gT2 = x2 a lMmSmga)21( T

8、1x1 g = x1 a (T1T2 ) r = (1/2M r )r 2 解上述方程，利用解上述方程，利用l = rx1x2，并取并取x2x1 = S得得 7、有一半徑為、有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為，若平板繞，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（18）rrrRmgMd2d2mgRMMR32d0解：在解：在r處的寬度為處的寬度為dr 的環(huán)帶面積上摩擦力矩為的環(huán)帶面積上摩擦力矩為 總摩擦力矩

9、總摩擦力矩 故平板角加速度故平板角加速度 =M /J 設停止前轉(zhuǎn)數(shù)為設停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n，則轉(zhuǎn)角，則轉(zhuǎn)角 = 2 n J/Mn4220gRMJn16/342020由 可得 8、一轉(zhuǎn)動慣量為、一轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為角速度為0設它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動角速度成正設它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動角速度成正比，即比，即Mk (k為正的常數(shù)為正的常數(shù))，求：圓盤的角速，求：圓盤的角速度從度從0變?yōu)樽優(yōu)?21時所需的時間時所需的時間 tJkddttJk02/dd100解：解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律： Jd / dt = -k 兩邊積分： 得 ln2 = kt / J t(J ln2)

10、/ k 3. 力矩的累積效應力矩的累積效應（1）空間累積：）空間累積：力矩的功力矩的功dMW動能定理動能定理21222121JJW221JEkcPmghE轉(zhuǎn)動動能：轉(zhuǎn)動動能：剛體的重力勢能：剛體的重力勢能：4. 角動量守恒定律角動量守恒定律當當 時，有時，有 0MCJLii說明說明：(1) 一個剛體一個剛體 說明說明 是轉(zhuǎn)動是轉(zhuǎn)動 慣性的量度。慣性的量度。 (2)多個剛體多個剛體 CJCJLii（2）時間累積）時間累積12JJdtM角動量定理：角動量定理：(4) 非剛體非剛體JJ00 (3) 質(zhì)點與剛體守恒式為質(zhì)點與剛體守恒式為 210JvmrJvmr質(zhì)點運動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比質(zhì)點運

11、動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比 dtrdvdtd22dtrddtvda22dtddtddmrJ2FFrMamFJM 質(zhì)點的運動質(zhì)點的運動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度速度 角速度角速度 加速度加速度 角加速度角加速度 質(zhì)量質(zhì)量 m 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 力力 力矩力矩 運動定律運動定律 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 vmP動量動量 角動量角動量 vmrLJL dtvmdF)(dtJdM)(0iiF0MiiivmJBAABrdFWBAABdMW221mvEk221JEk動量定理動量定理 角動量定理角動量定理 動量守恒動量守恒 時時 角動量守恒角動量守恒 時時 恒量恒量 恒量恒量力矩的功力矩的功 動能動能 轉(zhuǎn)

12、動動能轉(zhuǎn)動動能 力的功力的功222121ABmvmvW222121ABJJWmghEPCPmghE動能定理動能定理 動能定理動能定理 重力勢能重力勢能 重力勢能重力勢能 1、質(zhì)量為、質(zhì)量為m、長為、長為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固定軸豎直光滑固定軸O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jm l 2 / 12)開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是m，在，在水平面內(nèi)以速度水平面內(nèi)以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌入垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌入后棒的角速度后棒的角速度_ 3v0 / (2l)

13、2、一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，每、一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，每10 s轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺對軸的轉(zhuǎn)動慣量為對軸的轉(zhuǎn)動慣量為1200 kgm2質(zhì)量為質(zhì)量為80kg的人，開始的人，開始時站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當人離轉(zhuǎn)臺時站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當人離轉(zhuǎn)臺中心中心2m時，轉(zhuǎn)臺的角速度為時，轉(zhuǎn)臺的角速度為_ 0.496 rads13. 如圖所示，已知彈簧的倔強系數(shù)為如圖所示，已知彈簧的倔強系數(shù)為k=20N/m，滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量M=2kg，半徑為，半徑為R=0.1m，物體質(zhì)量，物體質(zhì)量m=1kg。開始時系統(tǒng)靜止，彈簧處于自然狀態(tài)。開始時系統(tǒng)靜止，彈簧處于自然狀態(tài)。求：當

14、物體下落求：當物體下落 h=0.2m 時，物體速度的大小時，物體速度的大?。ㄔO繩與輪間不打滑，忽略滑輪的摩擦阻力）。（設繩與輪間不打滑，忽略滑輪的摩擦阻力）。（17）s/m25. 11042/122/12/12/12/122222MmkhmghvRvMRJJmvkhmgh解得：能量守恒：4、在光滑水平桌面上有個彈簧（其倔強系數(shù)為、在光滑水平桌面上有個彈簧（其倔強系數(shù)為k），彈簧），彈簧一端固定，另一端連接一個質(zhì)量為一端固定，另一端連接一個質(zhì)量為m的小球，如圖。的小球，如圖。開始時，小球最初靜止于開始時，小球最初靜止于A點，彈簧處于自然狀態(tài)點，彈簧處于自然狀態(tài)l0?，F(xiàn)有一質(zhì)量為現(xiàn)有一質(zhì)量為m1的

15、子彈以速度的子彈以速度v0射入小球而不復出。射入小球而不復出。求：此后當彈簧的長度為求：此后當彈簧的長度為l時，小球速度大小和它的時，小球速度大小和它的方向與彈簧軸線的夾角。方向與彈簧軸線的夾角。 （19）0101)(vmmvmsin)()(1001v lmmvlmm解：子彈射入小球過程動量守恒，所以有解：子彈射入小球過程動量守恒，所以有 此后角動量守恒有此后角動量守恒有機械能守恒有機械能守恒有2120201)(21)(21)(21vmmllkvmm2/1120212021)()(mmllkmmvmv解得：解得：lllmmkvmlvm212022021001)(arcsin5、在半徑為、在半徑

16、為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10開始時盤開始時盤載人對地以角速度載人對地以角速度0勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運動，如圖所示沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運動，如圖所示 求：（求：（1） 圓圓盤對地的角速度（盤對地的角速度（2） 欲使圓盤對地靜止，人應沿著欲使圓盤對地靜止，人應沿著R/2圓周對圓盤圓周對圓盤的速度的大小及方向？的速度的大小及方向？6、一根放在水

17、平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸的豎直固定光滑軸O轉(zhuǎn)動。棒的質(zhì)量為轉(zhuǎn)動。棒的質(zhì)量為m=1.5kg，長度，長度為為l=1.0m，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=ml2/3。初始時棒靜止。初始時棒靜止。今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如圖所示。子彈的質(zhì)量為在棒中，如圖所示。子彈的質(zhì)量為m=0.020kg，速率，速率為為v=400m/s。試問：（。試問：（1）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動時）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動時角速度角速度有多大？（有多大？（2）若棒轉(zhuǎn)動時受到大小為

18、）若棒轉(zhuǎn)動時受到大小為Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過多大角度？（的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過多大角度？（21）rad4 .1552. 04)31(2s/rad4 .15)31(1002222解得則：）（量守恒：）子彈射入的過程角動解：（ddddmllmMmllmvlmr 7、質(zhì)量為、質(zhì)量為M，長度為，長度為l的均勻細棒，可繞垂直于棒的一端的的均勻細棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上?，F(xiàn)有無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上。現(xiàn)有一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的彈性小球沿水平方向飛來，正好垂直與細棒的彈性小球沿水平方向飛來，正好垂直與細棒的下端相撞。相撞后，使棒從水平位置擺到最大角度的下端相撞。相撞后，使棒從水平位置擺到最大角度=30處。處。（1）設碰撞為彈性碰撞，試計算小球的初速）設碰撞為彈性碰撞，試計算小球的初速v0的值的值（2）相碰時，小球受到的沖量有多大？（）相碰時，小球受到的沖量有多大？（22）2031Mlmvllmv2222031212121Mlmvmv)30cos1 (2312122lMgMlmglmMv)33(4)3(0所以所以glmmMv)33(4)21312(glmmvmvI32130