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1、北大附中2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元綜合測試:數(shù)列一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,1等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S1,S3,S2成等差數(shù)列,則an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差數(shù)列的前n項和,且,則的值為 ( )A44B22CD88【答案】A3已知等比數(shù)列中,且有,則( )A1B2CD【答案】A4 已知為等差數(shù)列,其公差為-2,且的等比中項,的前n項和,則S10的值為( )A-110B-90C90D110【答案】D5等差數(shù)列an滿足a2a9a6,則S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差數(shù)列中,則此數(shù)列前13項的和( )A13B26C52D15
2、6【答案】B7已知等比數(shù)列an中,a12,且a4a64a,則a3()A B1C2D【答案】B8已知數(shù)列為等差數(shù)列,若且它們的前n項和有最大值,則使得的n的最大值為( )A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ,由它們的前n項和Sn有最大可得a100,a11+a100,a110從而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100,從而可求滿足條件的n的值由 可得由它們的前n項和Sn有最大可得數(shù)列的d0a100,a11+a100,a110a1+a19=2a100,a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故選B9在正項等比數(shù)列an中,a1和a19為方程
3、x210x160的兩根,則a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比數(shù)列an中,已知an>0,那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C11an為等差數(shù)列,若<1,且它的前n項和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值時,n的值為()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三邊長成等比數(shù)列,則( )A三邊長之比為3:4:5B三邊長之比為3:1C較大銳角的正弦為D較小銳角的正弦為【答案】D二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確
4、答案填在題中橫線上)13已知數(shù)列為等比數(shù)列,且.,則=_.【答案】1614定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列,且a12,公和為5,那么a18的值為_,且這個數(shù)列的前21項的和S21的值為_【答案】3,5215等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,給出下列四個命題:數(shù)列()an為等比數(shù)列;若a2a122,則S133;Snnand;若d>0,則Sn一定有最大值其中真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)【答案】16已知an是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,nN*,若a31
5、6,S2020,則S10的值為_【答案】110三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17 已知數(shù)列an的前n項和Snn2,求的值【答案】當n2時,an=Sn-Sn-1=2n-1,當n=1時,a1=S1=1=2´1-1,故an=2n-1(nN*),an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在數(shù)列中,若函數(shù)在點處切線過點()(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式和前n項和公式.【答案】(1)因為,所以切線的斜率為,切點(1,2), 切線方程為 又因為過點(),所以, 即 所以, 即數(shù)列為一等比數(shù)列,公比
6、.(2)由(1)得為一公比為的等比數(shù)列, 則 , 19設(shè)數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)記證明:Sn1.【答案】(1)由題意,當時,兩式相減,得所以,當時,當n1時,也滿足上式,所求通項公式(2) 1.20已知等差數(shù)列an中,公差d>0,其前n項和為Sn,且滿足:a2a345,a1a414.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)通過公式bn構(gòu)造一個新的數(shù)列bn若bn也是等差數(shù)列,并求非零常數(shù)c;(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)數(shù)列an是等差數(shù)列a2a3a1a414.又a2a345,或公差d>0,a25,a39.da3a24,a1a2d1.ana1(n1)d4n3
7、.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n,bn數(shù)列bn是等差數(shù)列,2b2b1b3,2·,解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值為21某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M,M的價值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年,每年初M的價值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價值an的表達式;(2)設(shè)An,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對M更新證明:須在第9年初對M更新【答案】(1)當n6時,數(shù)列an是首項為120,公差為10的等差數(shù)列,an12010(n1)13010n;當n
8、6時,數(shù)列an是以a6為首項,公比為的等比數(shù)列,又a670,所以an70×()n6.因此,第n年初,M的價值an的表達式為an(2)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得當1n6時,Sn120n5n(n1),An1205(n1)1255n;當n7時,由于S6570,故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×()n6.An因為an是遞減數(shù)列,所以An是遞減數(shù)列又A882>80,A976<80,所以須在第9年初對M更新22設(shè)數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),點在直線上() 求數(shù)列的通項公式;(
9、)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,則說明理由【答案】()由題意可得: 時, 得, 是首項為,公比為的等比數(shù)列, ()解法一: 若為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列, 得 又時,顯然成等差數(shù)列,故存在實數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列 解法二: 欲使成等差數(shù)列,只須即便可 故存在實數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列 北大附中2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元綜合測試:數(shù)列一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,1等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S1,S3,S2成等差數(shù)列,則an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差數(shù)列的前n項和,且,則的值為 ( )A44B22CD88【答案
10、】A3已知等比數(shù)列中,且有,則( )A1B2CD【答案】A4 已知為等差數(shù)列,其公差為-2,且的等比中項,的前n項和,則S10的值為( )A-110B-90C90D110【答案】D5等差數(shù)列an滿足a2a9a6,則S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差數(shù)列中,則此數(shù)列前13項的和( )A13B26C52D156【答案】B7已知等比數(shù)列an中,a12,且a4a64a,則a3()A B1C2D【答案】B8已知數(shù)列為等差數(shù)列,若且它們的前n項和有最大值,則使得的n的最大值為( )A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ,由它們的前n項和Sn有最大可得a100,a11+a100
11、,a110從而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100,從而可求滿足條件的n的值由 可得由它們的前n項和Sn有最大可得數(shù)列的d0a100,a11+a100,a110a1+a19=2a100,a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故選B9在正項等比數(shù)列an中,a1和a19為方程x210x160的兩根,則a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比數(shù)列an中,已知an>0,那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C11an
12、為等差數(shù)列,若<1,且它的前n項和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值時,n的值為()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三邊長成等比數(shù)列,則( )A三邊長之比為3:4:5B三邊長之比為3:1C較大銳角的正弦為D較小銳角的正弦為【答案】D二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)13已知數(shù)列為等比數(shù)列,且.,則=_.【答案】1614定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列,且a12,公和為5,那么a18的值為_,且這個數(shù)列的前21項的和
13、S21的值為_【答案】3,5215等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,給出下列四個命題:數(shù)列()an為等比數(shù)列;若a2a122,則S133;Snnand;若d>0,則Sn一定有最大值其中真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)【答案】16已知an是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,nN*,若a316,S2020,則S10的值為_【答案】110三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17 已知數(shù)列an的前n項和Snn2,求的值【答案】當n2時,an=Sn-Sn-1=2n-1,當n=1時,a1=S1=1=2´1-1,故an=2n-1
14、(nN*),an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在數(shù)列中,若函數(shù)在點處切線過點()(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式和前n項和公式.【答案】(1)因為,所以切線的斜率為,切點(1,2), 切線方程為 又因為過點(),所以, 即 所以, 即數(shù)列為一等比數(shù)列,公比.(2)由(1)得為一公比為的等比數(shù)列, 則 , 19設(shè)數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)記證明:Sn1.【答案】(1)由題意,當時,兩式相減,得所以,當時,當n1時,也滿足上式,所求通項公式(2) 1.20已知等差數(shù)列an中,公差d>0,其前n項和為Sn,且滿足:a2a3
15、45,a1a414.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)通過公式bn構(gòu)造一個新的數(shù)列bn若bn也是等差數(shù)列,并求非零常數(shù)c;(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)數(shù)列an是等差數(shù)列a2a3a1a414.又a2a345,或公差d>0,a25,a39.da3a24,a1a2d1.ana1(n1)d4n3.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n,bn數(shù)列bn是等差數(shù)列,2b2b1b3,2·,解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值為21某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M,M的價值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年,每年初M的價值
16、比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價值an的表達式;(2)設(shè)An,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對M更新證明:須在第9年初對M更新【答案】(1)當n6時,數(shù)列an是首項為120,公差為10的等差數(shù)列,an12010(n1)13010n;當n6時,數(shù)列an是以a6為首項,公比為的等比數(shù)列,又a670,所以an70×()n6.因此,第n年初,M的價值an的表達式為an(2)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得當1n6時,Sn120n5n(n1),An1205(n1)1255n;當n7時,由于S6570,故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×
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