元高次方程求解方法

1、一元高次方程的漫漫求解路 若有人問(wèn)你：“你會(huì)解一元二次方程嗎？”你會(huì)很輕松地告訴他：會(huì)的，而且非常熟練！任給一個(gè)一元二次方程 由韋達(dá)定理，的根可以表示為. 若進(jìn)一步問(wèn)你，會(huì)解一元三次方程或更高次數(shù)的方程嗎？你可能要猶豫一會(huì)兒說(shuō)，只會(huì)一些簡(jiǎn)單的方程.于是你就會(huì)想：一元三次方程或更高次數(shù)的方程，是否也像一元二次方程的情形一樣，有一個(gè)公式，它可以用方程的系數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)使用加減乘除和開(kāi)方運(yùn)算，把方程的根表示出來(lái)？ 數(shù)學(xué)家們當(dāng)然應(yīng)當(dāng)給出完美的理論來(lái)解決高次方程的求解問(wèn)題.有關(guān)理論至少應(yīng)當(dāng)包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ 次方程的一般表達(dá)式是 而稱為次多項(xiàng)式，其中.當(dāng)系數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱是次實(shí)多項(xiàng)

2、式，當(dāng)系數(shù)中至少有一個(gè)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式.如果存在復(fù)數(shù)，使得，就稱是次方程的一個(gè)根，或稱為次多項(xiàng)式的一個(gè)根. 1799年，年僅22歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在他的博士論文中首先證明了“代數(shù)基本定理”：復(fù)數(shù)域上任一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根. 根據(jù)代數(shù)基本定理可以推出：復(fù)數(shù)域上次多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)數(shù)根，其中重根以個(gè)根計(jì)算.這一結(jié)論也可以用多項(xiàng)式的因式分解語(yǔ)言來(lái)敘述：“復(fù)數(shù)域上任何次多項(xiàng)式都可以分解成個(gè)一次式的乘積.” 代數(shù)基本定理是一個(gè)純粹的多項(xiàng)式根的存在定理，它沒(méi)有給出求根的具體方法. 要求得次方程的根，一般是希望得到次方程 的求解公式，如二次方程的求根公式那樣.眾所周知，方程的解早

3、在古代的巴比倫、埃及、中國(guó)、印度、希臘等國(guó)的數(shù)學(xué)著作中，都有不同的表述方式.一個(gè)次方程的求根公式是指，的根通過(guò)其系數(shù)經(jīng)由加、減、乘、除以及乘方、開(kāi)方的表示式，也稱這種情況為方程有根式解. 三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是說(shuō)，是否有求根公式？經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的研究之路，直到16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（Candano）及其助手才先后給出了三次和四次方程的根式解.這里我們向讀者介紹卡當(dāng)關(guān)于三次方程解的公式，從中可看出他所作的極富技巧的變換.另一方面，這個(gè)與二次方程僅僅相差一次方的三次方程，是中學(xué)時(shí)代愛(ài)好數(shù)學(xué)的青少年向往著解決的問(wèn)題，看看前人是如何解決的，自己又能得到什么啟示？ 不失一般性，可以設(shè)三

4、次方程中的系數(shù)為1，則三次方程為 其中是任意復(fù)數(shù).若令，則三次方程簡(jiǎn)化為 其中， 設(shè)表示簡(jiǎn)化方程的根，則據(jù)根與方程系數(shù)的關(guān)系，得. 若令，.對(duì)于適當(dāng)確定的立方根，卡當(dāng)公式是，求解線性方程組，得到，于是，原三次方程的三個(gè)根為，.其中，（是虛數(shù)單位）. 對(duì)于四次方程求根，就更加復(fù)雜了.但數(shù)學(xué)家們還是找到了一個(gè)解四次方程的辦法.與三次情形類似，用一個(gè)平移，消去方程的這一項(xiàng)，于是可假定四次方程為 然后構(gòu)造方程的預(yù)解式 這是的三次方程.通過(guò)這個(gè)三次方程解出，把得到的代入，可以把原方程化為兩個(gè)二次方程來(lái)求根.因而可以說(shuō)，對(duì)于次數(shù)不超過(guò)4的方程，都可以找到根的計(jì)算公式，使得方程的每個(gè)根可以用方程的系數(shù)經(jīng)過(guò)加

5、減乘除和開(kāi)方運(yùn)算表示出來(lái).做這件事就叫做根式求解. 由四次方程根式可解的突破，使當(dāng)時(shí)許多著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵枷嘈湃我獾奈宕畏匠桃惨欢梢愿角蠼?，并以極大的熱情和自信尋找五次或更高次數(shù)方程的求根公式.從16世紀(jì)中葉到19世紀(jì)初，為了獲得五次方程解的類似結(jié)果，最杰出的數(shù)學(xué)家，如歐拉、拉格朗日，都曾做過(guò)一些嘗度，但都沒(méi)有成功.1771年，拉格朗日，才開(kāi)始懷疑這種求根公式的存在性.他通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，次數(shù)低于5的代數(shù)方程求根，都可以經(jīng)過(guò)變量替換，先解一個(gè)次數(shù)較低的預(yù)解式，再代入求原方程的解.到了五次方程，情況完全變了，預(yù)解式的次數(shù)不是降低了，而是升高了.1801年，高斯也意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題也許是不能解決的.直

6、到1813年，拉格朗日的學(xué)生魯非尼（Ruffini）終于證明了，通過(guò)找預(yù)解式的辦法來(lái)求解五次方程是行不通的.魯非尼的結(jié)果只是說(shuō)用拉格朗日的辦法解五次方程是不可能的，并不能說(shuō)不存在其他的解決辦法.1826年阿貝爾發(fā)表了五次方程代數(shù)解法不可能存在一文，第一個(gè)正式從否定的角度來(lái)談求根公式的存在.他證明了“具有未定系數(shù)的、高于4次的方程是不能用根式求解的”.不過(guò)他的思想當(dāng)時(shí)是有很多人（包括高斯在內(nèi)）表示不理解，而且他的證明也還不很清楚，有一些漏洞.他也沒(méi)有給出一個(gè)準(zhǔn)則來(lái)判定一個(gè)給定的高次代數(shù)方程是否可以根式求解.阿貝爾的結(jié)論具有廣泛性，但并不排除對(duì)一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，就有根式

7、解.于是更深刻的問(wèn)題被提出了：一個(gè)方程有根式解的充要條件是什么？這個(gè)在代數(shù)方程中至關(guān)重要的問(wèn)題被法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅華（Galois）徹底解決（但伽羅華理論在他死后約15年，1846年才發(fā)表）.伽羅華的天才思想促使了今天我們稱之為抽象代數(shù)這門(mén)學(xué)科的蓬勃發(fā)展.要了解伽羅華的理論，需要群、環(huán)和域等抽象代數(shù)的理論知識(shí).伽羅華的思想就是把方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定對(duì)應(yīng)的伽羅華群是否為所謂的可解群的問(wèn)題.當(dāng)對(duì)應(yīng)的伽羅華群是可解群，則方程就是可以根式求解的，否則就不可以根式求解.可解群是群的理論中一個(gè)重要內(nèi)容，也有許多方法來(lái)確定一個(gè)群是否為可解群.曾經(jīng)有一個(gè)著名的猜測(cè)，叫做伯恩賽（Burnside）猜測(cè)，它說(shuō)

8、有奇數(shù)個(gè)元素的有限群是可解群.這個(gè)問(wèn)題在1963年已被數(shù)學(xué)家費(fèi)特(Feit)與湯卜松（Thompson）解決，證明很長(zhǎng)，太平洋數(shù)學(xué)雜志用了整整一期來(lái)發(fā)表他們的研究結(jié)果，不可解群也有很多，例如時(shí)，個(gè)文字的對(duì)稱群就是不可解群.對(duì)，我們完全可以構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式，使得它所對(duì)應(yīng)的伽羅華群不是可解群.因此對(duì)每個(gè)，都存在一個(gè)不是根式可解的次多項(xiàng)式.這樣就徹底解決了一般五次以上方程的根式不可解性.，根式可解，一般就不可解了，真是“一步之遙，天壤之別”. 下篇 怎樣得到高次方程的近似根 盛松柏伽羅華找到了一個(gè)一元高次方程能否根式求解的判別方法，但是他還是沒(méi)有給出高次程的具體求解方法.那么，如何求得高次方程的根呢

9、？在一般情況下，求出精確根是很困難的，而且科學(xué)研究、工程技術(shù)季實(shí)際應(yīng)用中，也沒(méi)有必要求出精確根，只要求出根的近似值.那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？設(shè)是的一個(gè)精確根，即，假設(shè)問(wèn)題所要求的精確度為，也就是滿足的，或滿足的，稱為的一個(gè)近似根. 下面我們介紹一下求近似根的幾個(gè)常用方法：方法一：牛頓切線法取一個(gè)初始值，然后使用下述迭代公式 ，xyOx*f(xk-1)xk-1f(xk)xk其中是的一階導(dǎo)數(shù). 牛頓切線法有明顯的幾何意義，如右圖，因?yàn)榈母鶟M足，在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)恰是的曲線與Ox軸的交點(diǎn)，于是每次迭代所得的點(diǎn)正好是曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo).牛頓切線法其實(shí)就是過(guò)曲線上的一列點(diǎn)所作曲線的切線與

10、Ox軸的交點(diǎn).方法二：牛頓割線法 在方法一中，只要給定一個(gè)初始點(diǎn).而方法二中，我們給定兩個(gè)初始點(diǎn).然后在每次迭代時(shí)，把作為下一次迭代的始值. 這類方法都是從已知的點(diǎn)通過(guò)相同的計(jì)算公式，求得下一個(gè)新點(diǎn).數(shù)學(xué)上稱為迭代法.迭代法很適合于計(jì)算.只要初始值選取得好，以上兩種方法產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列. 均能收斂于的根.方法三：二分法 先將分成N等份，得到N個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間，顯然每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度.記第一個(gè)小區(qū)間為，其中，第個(gè)小區(qū)間為，則， 若對(duì)其中某些，有，則在中必有的一個(gè)根.然后對(duì)這些再分別用二分法，便能求出的一個(gè)近似根. 二分法很簡(jiǎn)便，是工程師們喜歡的一種求全部相異近似單實(shí)根的方法.問(wèn)題在于如何合適地確定N，

11、因?yàn)镹太大，則工作量也會(huì)太大，而N太小時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某個(gè)小區(qū)間內(nèi)包含多個(gè)根，從而二分法會(huì)將這個(gè)小區(qū)間的根漏掉.方法四：劈因子法 先用求單實(shí)根的方法，求出的一個(gè)根，利用因式分解有，其中是（）次多項(xiàng)式.然后求的一個(gè)根，依次計(jì)算下去就有可能求出的所有實(shí)根.這里所說(shuō)的有可能求出的所有實(shí)根，而不是一定，是因?yàn)樵谝话闱闆r下，我們只能求得等的近似值，所以有可能會(huì)影響到后面所得根的精確性.方法五：林士諤趙訪熊法 林士諤與趙訪熊是我國(guó)兩位著名的數(shù)學(xué)家，在計(jì)算數(shù)學(xué)方面都有卓越的貢獻(xiàn).林士諤趙訪熊法是求的復(fù)數(shù)根的一種好方法. 我們知道，二次多項(xiàng)式的根由給出，林士諤趙訪熊法就是求的二次因式的方法.該方法建立了一套求和的迭代方法，且可以避免復(fù)數(shù)運(yùn)算.一旦求得和之后，就得到了的兩個(gè)根，且當(dāng)時(shí)，可得到的一對(duì)共軛復(fù)根，然