高中空間立體幾何典型例題

1、精選文檔1 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF平面ABCD.證明 方法一 分別過E，F(xiàn)作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)NBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 過E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，F(xiàn)GB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面AB

2、CD.2 已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，G1、G2、G3分別是PAB、PCB、PAC的重心.（1）求證：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.（1）證明 如圖所示，連接PG1、PG2、PG3并延長(zhǎng)分別與邊AB、BC、AC交于點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、FD，則有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又由于G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解 由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，其相像比為13，S

3、SABC=19.3如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試推斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并賜予證明.解 SG平面DEF，證明如下：方法一 連接CG交DE于點(diǎn)H，如圖所示.DE是ABC的中位線，DEAB.在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DHAG.H為CG的中點(diǎn).FH是SCG的中位線，F(xiàn)HSG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，SG平面DEF.方法二 EF為SBC的中位線，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可證，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB

4、，SG平面DEF.5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn).求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.證明 （1）如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OE DC，又D1G DC，OE D1G，四邊形OEGD1是平行四邊形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B

5、1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.6如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.（1）證明 四邊形EFGH為平行四邊形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可證，CD平面EFGH. (2) 解 設(shè)EF=x（0x4），由于四邊形EFGH為平行四邊形， .則=1-.從而FG=6-.四邊形EFGH的周長(zhǎng)l=2(x+6-)=12-x.又0x4,則有8l12,

6、四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是（8，12）.7如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO？解 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPA.P、O為DD1、DB的中點(diǎn)，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.8正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ.求證：PQ平面BCE.證明 方法一 如圖所示，作PMAB交BE于M，作QNA

7、B交BC于N，連接MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN，PM QN，四邊形PMNQ為平行四邊形，PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二 如圖所示，連接AQ，并延長(zhǎng)交BC于K，連接EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ，=又ADBK，=由得=，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三 如圖所示，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PMBE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.PMBE，PM平面BCE，即PM平面BCE，=又AP=DQ，PE=BQ，=由得=，MQAD，MQBC，又MQ平面BCE，M

8、Q平面BCE.又PMMQ=M，平面PMQ平面BCE，PQ平面PMQ，PQ平面BCE.8如下的三個(gè)圖中,上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和左視圖在下面畫出(單位:cm).(1)在正視圖下面,依據(jù)畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(2)依據(jù)給出的尺寸,求該多面體的體積;(3)在所給直觀圖中連接BC,證明:BC平面EFG.(1)解 如圖(1)所示.圖（1）(2)解 所求多面體體積V=V長(zhǎng)方體-V正三棱錐=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3). (3)證明 如圖(2),在長(zhǎng)方體ABCDABCD中,連接AD,則

9、ADBC. 由于E,G分別為AA,AD的中點(diǎn),所以ADEG,從而EGBC. 又BC平面EFG, 圖（2）所以BC面EFG.9.如圖所示，正四棱錐PABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M，N分別為PA，BD上的點(diǎn)，且PMMA=BNND=58.（1）求證：直線MN平面PBC；（2）求線段MN的長(zhǎng).（1）證明 連接AN并延長(zhǎng)交BC于Q，連接PQ，如圖所示.ADBQ，ANDQNB，=，又=，=，MNPQ，又PQ平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC.（2）解 在等邊PBC中，PBC=60°，在PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcosPBQ=132+-2×1

10、3××=，PQ=，MNPQ，MNPQ=813，MN=×=7.10 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN平面PAD 證明：方法一，取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，MACD，E是PD的中點(diǎn)，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四邊形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中點(diǎn)F，連接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD11 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求證：A1CBC1

11、 【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過BC1的平面即可證明：連接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，側(cè)面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC112 在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求證：平面PAC平面PBC【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又A

12、PPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC13如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn) ()求證：直線EF平面A1ACC1；()在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG平面ABC，并給出證明證明：()連接A1C，A1E側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點(diǎn)，E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1(2)解：當(dāng)時(shí)，平面EFG平面ABC，證明如下：連接EG，F(xiàn)G側(cè)面A1ABB1是菱形，且A1AB60

13、76;，A1AB是等邊三角形E是A1B的中點(diǎn)，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC14 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)()求證：平面BEC1平面ACC1A1；()求證：AB1平面BEC1證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，設(shè)BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1

14、，AB1平面BEC115 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8， ()設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC

15、，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故16如圖，三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)()求MN的長(zhǎng)；()求證：PABC()解：連接MB，MC三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，且底面ABC也是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形N為BC的中點(diǎn)，MNBC在RtMNB中，()證明：M是PA的中點(diǎn)，PAMB，同理PAMCMBMCM，PA平面MBC，又BC平面MBC，PABC17如圖，在四周體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：()直線EF平面ACD；()平面EFC平面BCD證明：()E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，EF是ABD的中位線，EFAD又EF平面ACD，AD平面ACD，直線EF平面ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，CFBDCFEFF，BD平面CEFBD平面BCD，平面EFC平面BCD18如圖，平面ABEF平