專題五：均值不等式與最值、放縮法

1、 專題五：均值不等式與最值、放縮法基礎(chǔ)梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（1） 當(dāng)且僅當(dāng)取“”號(hào)； （2）；（3），則。2均值不等式：兩個(gè)正數(shù)的均值不等式：； 三個(gè)正數(shù)的均值不等式：；個(gè)正數(shù)的均值不等式：。3四種均值的關(guān)系：（1）兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)之間的關(guān)系是：（2）三個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)：小結(jié)：“算數(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)”的多種表達(dá)形式：整式形式根式形式分式形式 倒數(shù)形式4.均值不等式求最值：（1）如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有_；如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有_；（2）如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有_；如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有

2、_。利用均值不等式求最值必須注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！能力鞏固考點(diǎn)一：均值不等式與最值1.已知，則的最小值_。2設(shè)，最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 3.已知，且，若，則的最大值為_。4.已知都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是（ ）A B C D5.若是與的等比中項(xiàng)，則的最大值為（ ）A. B. 1 C. D.6設(shè)是定義其中分別是的面積，的最小值是_。7若a,b均為正實(shí)數(shù)，且恒成立，則m的最小值是_。變式：（1）若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)、都成立，則的最大值是（ ）A1B2C3D5（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_。8. 設(shè)都是整數(shù)，且滿足，則的最大可

3、能值為（ ）A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D.練習(xí)：使關(guān)于的不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值是（ ）A B C D10已知且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 練習(xí)：若且，則的最小值為_。考點(diǎn)二：放縮法與不等式例1. （1）求證： ；變式：。（2）；（3）；（4）；（5）（其中）。（6）求證：；（7）證明：當(dāng)時(shí)，。例2設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足：令()求()求證：例3.在數(shù)列中，已知，。（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：，。例4在數(shù)列中，設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和為。（1）若對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)任意的整數(shù)，；（3）是否存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任何的，恒成立，如果存在求出最小的，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。例5.已知數(shù)列滿足=-1，