理論力學(xué)經(jīng)典課件-第五章--動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理

1、 模型:研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與力的作用關(guān)系理論的普遍性: 離散型 松散介質(zhì):連續(xù)型固體、流體、剛體(包括剛體、結(jié)構(gòu)、彈塑性結(jié)構(gòu)、流體等)直接用于一切動(dòng)力學(xué)受力的質(zhì)點(diǎn)系意 義:2.動(dòng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)1.一切動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)分析動(dòng)力學(xué)牛頓力學(xué)、矢量動(dòng)力學(xué)(物理中已闡述)兩個(gè)原理為基礎(chǔ)內(nèi)容:動(dòng)量主矢變化與外力主矢關(guān)系動(dòng)量主矩變化與動(dòng)量主矩關(guān)系任何物體具有慣性；力是改變運(yùn)動(dòng)的原因。 牛頓在地球上發(fā)現(xiàn)，總結(jié)于自然 哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。1.慣性定律 不受力質(zhì)點(diǎn)，保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相對(duì)慣性系)。表明:2. (對(duì)質(zhì)點(diǎn))maF 即 合力與加速度同時(shí)、同向。22ddmtrF 0Ba此時(shí)彈力，摩擦力不變:ABAAAmfm

2、mmFag A與B在F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，已知突然拆去F后，求此時(shí) AB,aa 。ABm ,mf和kBAF0Ba物塊沿斜面運(yùn)動(dòng)， 沿斜面。 a ABAAmgmmacossinRFFG故合力沿斜面，且 已知 求物體所受合力。 0,fG,F,AB,aaABm ,m 已知 懸掛重物，求繩斷時(shí) ?BAkFGm20m xx光滑圓管在水平面勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，管內(nèi)小球如何運(yùn)動(dòng)? 三大定律適應(yīng)慣性系(地球、地心、日心)不僅適應(yīng)用平衡體，也適應(yīng)非平衡體。第3定律可用于非慣性系。3.作用與反作用定律在x方向投影:即 小球沿管向外運(yùn)動(dòng)。2mxmxCa2xx x1.兩種形式imt, ,rFr rxFxm Fsm 投影式 a、直角

3、坐標(biāo)b、 弧坐標(biāo)系矢量式 yFym zFzm 2nsmF0bF坐標(biāo)與坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)正向相同。投影式兩邊正方向相同。還有柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)式等。繞線輪與滑塊，已知，r，m，f0，求 與x的關(guān)系。TFcosAvrABORxAvAa2.兩類問(wèn)題:第二類:第一類: 已知運(yùn)動(dòng)求力微分已知力求運(yùn)動(dòng)積分22cosxrx22Arvr1x4225222Tmr xFxr研究滑塊AcosTAFma由 得為所求AaATF42222Ar xaxr得Axv 注意到:33222AAr avxxr 如何可使 與坐標(biāo)正向一致？Aa建立圖示 坐標(biāo)1x，1xlx1Axa不對(duì)，A、B兩點(diǎn)均運(yùn)動(dòng)。d dABlrt 對(duì)嗎?ABORxAa1x質(zhì)量為

4、m小球在空氣中下落，試求小球的運(yùn)動(dòng)。20000F,y,v2mymgFmgy2 vgvm即myoyvFmgmgc設(shè)22vcvm則2200d dvtvtcvmcth()gvtcdcth()dyt00gyttc2lnch()cgytgcddyt 存在極限速度 ，小球趨于等速運(yùn)動(dòng)；cvm運(yùn)動(dòng)分析:v/cgt/cO12 mmgv即此時(shí) 阻力與重力平衡 mv空中降落傘很快達(dá)到mmgvcddeitpF5-2-1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量5-2-2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理iiCiiCmmmmpvvrryiiCypm ymvxiiCxpm xmvzCzpmv(動(dòng)量系的主矢) 已知m,r, 比較兩環(huán) 大小?21pp ,m2m2o1o

5、mrr5-2-1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量PC 求均質(zhì)桿合動(dòng)量 ， 對(duì)嗎?(與內(nèi)力有關(guān)嗎?)mlp2p3lP 位置不對(duì)! 應(yīng)在 處.(向C簡(jiǎn)化，還有動(dòng)量主矩 )cL3lp123pr mr mmr22prm21 pp 故5-2-1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量ddetpF1.微分式2.積分式3.守恒式0eF 常矢p0eRI21pp (不一定守恒)2121dteeRttppFI5-2-2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理(由對(duì)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，求和得到) 揭示外力主矢與動(dòng)量變化之關(guān)系，形式上與內(nèi)力無(wú)關(guān)。三種形式均有投影式ddxxpFt 21exxxppI 0 xFxp 常量則5-2-2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理2TFmgIImv與 成 角,v 圓錐擺，已

6、知 試求半周期內(nèi)繩張力沖量 。TFImvR、 、22()(2)TFRImgmvvmvI2tgmg1 -方向:2mvmgITFIvvmRTFmg5-2-2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理描述了質(zhì)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與外力主矢的關(guān)系。Cmpv1.定理ddtp對(duì)剛體僅描述了隨質(zhì)心平移的一個(gè)側(cè)面。 eCmaF 炮彈在空中爆炸后，其質(zhì)心仍沿拋物線運(yùn)動(dòng)，直到一個(gè)碎片落地。跳水運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心作拋體運(yùn)動(dòng)。Cimmiaa 2.質(zhì)心守恒(不動(dòng))01) 0eCOFv若00CCavCr 常矢02) 0 xC xOFv若00C xC xavCx 常量 對(duì)！ Ciimxm x t，Ciimxm x 有Ciimxmx0iimx對(duì)嗎?Cx 若常量，0ii

7、mx，則則故有0Cx當(dāng)時(shí)，0 xF0mx有 則右移設(shè),SAA()02AABAa bmSmS() ()BAABa b mS2 mm 0Cx,且(左移)BbaBAABm ,m ,a,b,90AS 已知 力偶使B轉(zhuǎn) 后，求 。MCAB均質(zhì)桿在鉛垂面內(nèi)滑倒，f=0,求桿端A運(yùn)動(dòng)軌跡? 0 0 xCF,x,2cossinAAlxyl22224 1AAxyll故桿質(zhì)心C沿鉛直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)任意時(shí)刻t，狀態(tài)如圖yxCvCAB 物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)已知 。B在2s內(nèi)前移5m，不計(jì)B與地面摩擦。試求A在B內(nèi)移動(dòng)距離(B足夠長(zhǎng))。20kg30kg120NABm,m,FFAB研究整體: A

8、ABBFm am a ,由有1202030 (1) ABaa212BBSa t ,而 有(1),代入式得21 4.5(m)2AASa t故54.50.5(m)ABBASSS ,aB2521525(m/s )2B a故 29(m/s )4Aa FAB無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí):經(jīng)時(shí)間t1，發(fā)生第1次碰撞。 為什么 =常量?BaBABmmFa A對(duì)B的摩擦力 大小為是常量。 Am gf2591m/s244ABBAaaa 若給定B長(zhǎng)4m, 完全彈性碰撞以后情形?（有向后與向前之區(qū)別）,taAB21214 18 44 2(s)t Am gfFAB有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí):水平管繞軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，A，B兩球細(xì)繩相連，22kg0.5kg

9、0.2kg mABCm,m,J,40cm/sArv,求 (不計(jì)摩擦和繩重)。100cml,圖示瞬時(shí)，測(cè)得60cmAr,0.5rad/s, ArAlBzddzzJtJ d0dzLt0zzM,L常數(shù)，22() zzCA ABALJJm rml r而ddzzJJ 0t代入上式，得d22()()0.8dzA AArBAArJm r vml rvt而20.4rad/s 故不變， 變化， 變zLzJ則ArAlBz 曲柄滑槽機(jī)構(gòu)。已知 ，G為導(dǎo)桿 重心。曲柄、滑塊、導(dǎo)桿質(zhì)量分別為 試求支 座O動(dòng)約束力。 2,lBGlOA123m ,m ,m 。OABGC xiiOxmam xF 123coscos( cos

10、)22Cllmxmtm ltmlt而 2123(2)cos2OxClFmxmm2mt 故 2max123(22)2Ox lFmmm212 (2)sin2O yClFmymmt 同理2max12 (2)2O ylFmm由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理t 當(dāng)時(shí)，2t 當(dāng)時(shí)，OABGyxOxFOyF偏心電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，支座動(dòng)約束力多大？OxCFmx22d( cos)dmettOyCFmytme sin22cosmet me1OCOOxFOyF炮車放炮。已知 （對(duì)地）求反沖速度 。u1m ,m, ,v,rvuvcoscossinsinrrvv u vv上式在x，y方向投影urvvu1mmv22211() tgmvummm

11、20 xp,由有1cos0mumv解之得:11tgtgmmm可見(jiàn)當(dāng)時(shí)1mm 11tgmmm 不計(jì)空氣阻力， ?射程最遠(yuǎn)。 炮臺(tái)放炮（高h(yuǎn)） ?射程最遠(yuǎn)。45時(shí)，射程最遠(yuǎn)，此時(shí)2202ttv vvgh,，設(shè)炮彈落地速度為(能量守恒)tv可見(jiàn) 一定時(shí)。 大小一定，且0vh，0tvvgt0cosxvt要使水平射程 最大。1mmh002t0tg2vvvvgh 01cos22gxgtv只要 最大。即圖示矢量三角形面積最大。0tv ,v因 邊長(zhǎng)一定。0tvv必有 即代入上式01210tgvmmmv2gh得 時(shí)，水平射程最大。gt0vtv)(ddeo0FMLt2. 對(duì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A1. 對(duì)固定點(diǎn)OiiiOLrm

12、v AOLLAOPxxiixOxLL (m)L 或vL0Av(1)對(duì)兩個(gè)固定點(diǎn)A,O 之關(guān)系(2)對(duì)固定軸x (1)絕對(duì)動(dòng)量矩(數(shù)學(xué)上完全類似力矩) P 動(dòng)量Aiiim Lrv絕對(duì)速度iv(2)相對(duì)動(dòng)量矩(在A點(diǎn)固連平移系)Aiiim Lrv()AiiAim LrvviAivvv() AAAmLLACvCCLLAmACvAiiAmvrL相對(duì)速度iv(3)兩者關(guān)系故C為質(zhì)心，0，AC當(dāng)即動(dòng)點(diǎn)為質(zhì)C時(shí)對(duì)質(zhì)心得絕對(duì)與相對(duì)動(dòng)量矩相等3.剛體的動(dòng)量矩(對(duì)固定點(diǎn)A)iCvv(對(duì)動(dòng)點(diǎn)A， 形式同上，但 為一般運(yùn)動(dòng)矢) ACAL()AiiCCmm LrvACvACP(1)平移且有Ar設(shè)rvk ,kjirzyx

13、(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)O:dOxzyzzMmJJJLr vijkkij0LOddxzyzMMJxz m,Jyzm,可見(jiàn):(可以證明任意點(diǎn)存在 三根主軸)0 xzyzJJ OzJ有L d22zMJxym,其中稱為慣性積；為對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。;O不沿 方向L一般情形, 當(dāng)轉(zhuǎn)軸z為主軸時(shí)， 212CJmR2112CJml常見(jiàn)主軸質(zhì)量對(duì)稱面對(duì)稱軸常見(jiàn)剛體均質(zhì)輪均質(zhì)桿CO平行軸定理:2OCJJOC m2OJm工程中:(只能從質(zhì)心移動(dòng))慣性半徑或迴轉(zhuǎn)半徑CO 在剛體上建立質(zhì)心平移系 ,且使 運(yùn)動(dòng)平面，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，已知 對(duì)兩固定點(diǎn)A、C C x y zCz CzCv,ACCmLLACv CCx

14、 zz yzLLJJJ ijk(3)平面運(yùn)動(dòng)a)一般情形Czxyb)主軸情形若 為主軸，則C z0;x zy zJJ CCJ LAC,LL()ACCmLLACv則故方位相同，可視為代數(shù)量。CzxyAm,r,L求。ACLJ mr r-h 均質(zhì)輪滾動(dòng)，已知ccvrAhrCCv()OCCLmvR rJ vCOCCm,R,r,v ,L ,L ,L求。 均質(zhì)輪純滾，已知vvvCCCCvLJ Jr 212CCLLmr ROvCCvrccvrrCCv 各構(gòu)件質(zhì)量均為m，求 。OL a1rO2rC br2lrCO2r12222122211()32OrrLml m rrmrrOCLLOCP21rrl22211(

15、2 )(2 )212mrmrmr0圖(a):圖(b):2296mr a1rO2rC br2lrCO2r br2lrCO2r2222112(2 )212OLmr rmrmrmrmr 2OCLJ mr rmrmr22629)3423(2C(亦可按平面運(yùn)動(dòng)剛體計(jì)算!)(分別對(duì)各質(zhì)點(diǎn)，再求和，內(nèi)力矩抵消)ddeOOt LMeOuM幾何解釋，類比ddddO,ttLrvu 矢端速度等于外力系對(duì)O點(diǎn)的主矩OL2121dteeOOOOtt LLMMI沖量矩定理外沖量矩(賴柴定理)1.微分式:2.積分式:3. 守恒式:0eO,若Md0dLLOO,t常矢則4 .投影式:ddexxLMt2211dteOxOxxtL

16、LMt0exM,若守恒方向性則xL常數(shù)如圓錐擺:0eO,M0eOC,M而CL守恒不守恒OLOCL守恒0eC,MvCGTFO21d0teOtt,若M12OOLL則211sin12OOLLml 已知 O為均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心， ，求A、B動(dòng)約束力。,mllAB 桿細(xì)長(zhǎng)，可略去 ，方向 22OL eO由uM cosOuL 而2sin224eOABMmlFFl故 方向如圖，右手法則AF1OLBAOl21 BF 若固結(jié)點(diǎn)偏離質(zhì)心O,如圖所示， A,B處動(dòng)約束力又何變化? 類似方法，可求矩形板，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)約束力。2OAB,LF F均減小。相應(yīng)增大。BAO1OOr1m2mm已知 ，求a。1212()m,r,m

17、,mmmddeOOLMt1212()dd()2 mmgt2m2mm r研究整體，受力如圖。由(不用隔離體法)ar故 212d1()d2mmm r t即 12()mmgr1m g2m gOyFOxFamg若不計(jì)繩與滑輪的質(zhì)量，則aavv21AABBOm v rm v rJ BAvv猴子爬繩比賽，已知ABArBrmm ,vv。若考慮繩與滑輪的質(zhì)量，則顯然，ABCBADI221312 (2)3212ABCBDIlml mvlml 兩桿鉸接懸吊，已知 求沖擊后，求m,l,I，ABBD，。設(shè)沖擊后，速度如圖。研究整體，由沖量矩定理，對(duì)A軸(1)12CABBDvll且 BDABCv研究BD桿，對(duì)固定點(diǎn) ，

18、由沖量矩定理有B21212CBDlI lmvml (3) (1)對(duì)固定點(diǎn)A、B，使用沖量矩定理，避免了未知 的約束力沖量. (2)BD桿相對(duì)固定平面作平面運(yùn)動(dòng). (3)懸吊n根桿受沖擊的思考.5-15 5-18 5-33 5-35 5-39 5-40 5-41 類似習(xí)題:(對(duì)固定點(diǎn))(對(duì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)) 123由、 、 得630( )( ) 77ABBDII,mlmld,d2ABLlmgF lt由0,BF 令飛輪角加速度多大時(shí)，F(xiàn)B為零？2OlJmg則BABAmgBF如何設(shè)計(jì)雙足機(jī)器人行走側(cè)向穩(wěn)定方案？由物理，對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)心C，有ddCCLMtAdd?Lt 對(duì)一般運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A imzxyOCA 在A點(diǎn)固連平移

19、系為任一質(zhì)點(diǎn)。,iAx y z m 1 .定理的一般形式Oii iACALrmvLOA mvmAC viri r, iiiArirOArvvv(復(fù)合運(yùn)動(dòng))A為運(yùn)動(dòng)點(diǎn)(已知vA，A)C為質(zhì)點(diǎn)。dd AACCCAAALvmvOA mamvvmACat對(duì)一般動(dòng)點(diǎn)AddAALMtd()()d eAAALMFACmat )(Acvv eei rFOA rF 平移系中， (絕對(duì)導(dǎo)數(shù)相對(duì)導(dǎo)數(shù)) (動(dòng)系單位矢方向不變)ddddAALLtt由于修正項(xiàng)，工程中一般不用，用于非慣性系中。ddOOLMt 代入2. 定理的特殊形式使修正項(xiàng) 的情形()0AACma ddAALMt 10,( ) Aa (A固定，勻速直線，

20、加速度瞬心)(2) 即，A為質(zhì)心C0AC(3) 與 共線， AaAC0AaACddAALMtddCCLMtddCLt 均質(zhì)桿長(zhǎng)l，繩段瞬時(shí) 0 AaAC有d,dAALMt2132lmlmg即如何用最簡(jiǎn)方法求?32gl故BACmgAa 均質(zhì)輪滾動(dòng)，已知 。0, vCvaC C 有dd vvCCLMt即232mrFr23 FmrFr,m,vCaccvrrCCvFvC 均質(zhì)桿長(zhǎng)l,沿墻滑落。cos2vCGlJCvC=常數(shù)時(shí)， 指向CvCacos2 vClJG有AFBFGBACvCvCa 半圓柱，一般位置時(shí)。 0vCvaCC當(dāng)直徑面水平時(shí)， 指向C，有vCaddvvCCLMtddvvCCLMtvCa不

21、指向C，COvCmgvCa 均質(zhì)環(huán)滾而不滑，A球固結(jié)環(huán)上，求 繩段瞬時(shí) 。有 00Ba ,cos30BJmgr0OOCa再思考: 滾至OA水平時(shí)，再求 。O指向質(zhì)心CmmrO030AmgmgBCOrAFB0JmgrFr有d,dAALMt即2222ddmrmrmrmrmgrt2()Fmrm rr而222111()2222mgrmrmrmR又由能量守恒可求4gr故24mrmgr對(duì)固定點(diǎn)A，COrAFB另解:若 則貓?jiān)谙侣溥^(guò)程中如何翻身？跳水時(shí)如何產(chǎn)生多周旋轉(zhuǎn)？轉(zhuǎn)椅上的人如何能自轉(zhuǎn)動(dòng)180 ？3. 動(dòng)量矩相對(duì)守恒0CMCL 常矢對(duì)質(zhì)心軸:若 則0CMCL 常量可解釋:4 . 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,

22、eCmaF有CCJM與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理數(shù)學(xué)上等價(jià)。ddczCZLMt 由 有 分解為隨質(zhì)心C平移繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng) CxCymxFmyF由常與動(dòng)量定理結(jié)合，求解時(shí)間相關(guān)問(wèn)題。靈活選矩心，嚴(yán)格守條件。結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。5 . 典型問(wèn)題 圓輪問(wèn)題mRFhf， ， ， ， ，已知sCaF、 。求ChF1)解題要點(diǎn) 受力與加速度分析如圖。由剛體平面運(yùn)動(dòng)方程，有:假設(shè)輪滾動(dòng)，即聯(lián)立解之得ChF124()3 ( ) ( ) () ( )CsNsCmaFFFmgF hRF RJ未知量 4 ( )CaR2(32 ),33 CsFhFRhaFmRRmgSFCaNF當(dāng)h3R/2時(shí)， 向右sF h3R/2時(shí)， 0sFCh

23、FmgSFCaNF可見(jiàn):不聽(tīng)話的繞線輪。已知m, r, R, f, F, 求 。caarccosrR當(dāng)時(shí)，(前滾)0arccosrR當(dāng)時(shí)，(后滾)0arccosrR當(dāng)時(shí)，(平移)0CrFR 如圖所示，長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB，重量為G，從靜止于直角墻角且傾角為 的初始位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。若不計(jì)摩擦，求任意 角位置時(shí)桿的角速度與角加速度。2.00GBAClcos2 (1)vCJG3cos(2)2 gl221124 vCGG lJlgg而ddddddddtt又故 當(dāng)桿端A沒(méi)離開(kāi)墻角時(shí)，AB桿的速度瞬心在Cv點(diǎn)， ，在任意 角位置時(shí)，有l(wèi)2vC C GBACBFAFvC003dcosd2gl 03(sin-si

24、n) gl 故 舍去正值代入式(2),并積分得1) 如何求任意位置時(shí)FA,FB大??？2) A端在何位置離開(kāi)墻面？3) 考慮摩擦?xí)r，如何求解？GBACAFBFvC 水平管繞軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，A，B兩球細(xì)繩相連， 圖示瞬時(shí)，測(cè)得 ,求 (不計(jì)摩擦 和繩重)100cml,60cm40cm/s0.5(rad/s)AArr,v,22kg0.5kg0.2kg mABCm,m,JArlzAB0zzM,L常量22() zzCA ABALJJm rml rd0dzzJ J td22()()0.8dzA AArBAArJm r vml rvt 20.4(rad/s ) ddzzJtJ d0dzLt則而代入上式，有而故zL不變， 變化，變zJArlzAB 穩(wěn)定流體的動(dòng)約束力。圖示變截面彎管中的穩(wěn)定流體各處速度不變）。已知 重力G，入、出口相鄰流體壓力 ，試求流體對(duì)管壁引起的附加動(dòng)約束力。21FF ,21vv ,G2F1F2v1v21 將流體段所受動(dòng)約束力向某定點(diǎn)O簡(jiǎn)化。先求其動(dòng)約束力主矢量。考察該質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化，在 t內(nèi):121 2iiiimmpppvv122 21 112()()iiiiiiiimmmmvvvv因?yàn)槭欠€(wěn)定流，故有1212iiiimm vv(a