大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理基本方法

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理基本方法實(shí)驗(yàn)必須采集大量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)開(kāi)始到得出最后結(jié)論的整個(gè)加工過(guò)程，它包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計(jì)算與分析等，從而尋找出測(cè)量對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，正確地給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此，數(shù)據(jù)處理是實(shí)驗(yàn)工作不可缺少的一部分。數(shù)據(jù)處理涉及的內(nèi)容很多，這里只介紹常用的四種方法。1 列表法對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量，或者測(cè)量幾個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，往往借助于列表法把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列成表格。其優(yōu)點(diǎn)是，使大量數(shù)據(jù)表達(dá)清晰醒目，條理化，易于檢查數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，避免差錯(cuò)，同時(shí)有助于反映出物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以，設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一個(gè)同學(xué)都要掌握的基本技能。列表沒(méi)有統(tǒng)一的格式，但所設(shè)計(jì)的表

2、格要能充分反映上述優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1 各欄目均應(yīng)注明所記錄的物理量的名稱(符號(hào))和單位；2 欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計(jì)算順序，力求簡(jiǎn)明、齊全、有條理；3 表中的原始測(cè)量數(shù)據(jù)應(yīng)正確反映有效數(shù)字，數(shù)據(jù)不應(yīng)隨便涂改，確實(shí)要修改數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)將原來(lái)數(shù)據(jù)畫(huà)條杠以備隨時(shí)查驗(yàn)；4 對(duì)于函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列，以便于判斷和處理。2 圖解法圖線能夠明顯地表示出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，并且通過(guò)它可以找出兩個(gè)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此圖解法是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的重要方法之一。圖解法處理數(shù)據(jù)，首先要畫(huà)出合乎規(guī)范的圖線，其要點(diǎn)如下：1.選擇圖紙 作圖紙有直角坐標(biāo)紙(即毫米方格紙)、對(duì)數(shù)坐

3、標(biāo)紙和極坐標(biāo)紙等，根據(jù)作圖需要選擇。在物理實(shí)驗(yàn)中比較常用的是毫米方格紙，其規(guī)格多為。2.曲線改直 由于直線最易描繪,且直線方程的兩個(gè)參數(shù)(斜率和截距)也較易算得。所以對(duì)于兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的情形，在用圖解法時(shí)應(yīng)盡可能通過(guò)變量代換將非線性的函數(shù)曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)的直線。下面為幾種常用的變換方法。(1)(為常數(shù))。令，則，即與為線性關(guān)系。(2)(為常數(shù))。令，則，即與為線性關(guān)系。(3)(和為常數(shù))。等式兩邊取對(duì)數(shù)得，。于是，與為線性關(guān)系，為斜率，為截距。(4)(和為常數(shù))。等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，。于是，與為線性關(guān)系，為斜率，為截距。3.確定坐標(biāo)比例與標(biāo)度 合理選擇坐標(biāo)比例是作圖法的關(guān)鍵

4、所在。作圖時(shí)通常以自變量作橫坐標(biāo)(軸)，因變量作縱坐標(biāo)(軸)。坐標(biāo)軸確定后，用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，并注明坐標(biāo)軸所代表物理量的符號(hào)和單位。坐標(biāo)比例是指坐標(biāo)軸上單位長(zhǎng)度(通常為)所代表的物理量大小。坐標(biāo)比例的選取應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應(yīng)是可靠的，即坐標(biāo)軸上的最小分度()對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最后一位準(zhǔn)確數(shù)字。坐標(biāo)比例選得過(guò)大會(huì)損害數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。(2)坐標(biāo)比例的選取應(yīng)以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“11”、“12”、“15”(包括“10.1”、“110”)，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復(fù)雜的比例關(guān)系，如“13”、“17”、“19”等。這樣不但

5、不易繪圖，而且讀數(shù)困難。坐標(biāo)比例確定后，應(yīng)對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行標(biāo)度，即在坐標(biāo)軸上均勻地(一般每隔)標(biāo)出所代表物理量的整齊數(shù)值，標(biāo)記所用的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。標(biāo)度不一定從零開(kāi)始，一般用小于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標(biāo)軸的起始點(diǎn)，用大于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最大值的某一數(shù)作為終點(diǎn)，這樣圖紙可以被充分利用。4.數(shù)據(jù)點(diǎn)的標(biāo)出 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖紙上用“+”符號(hào)標(biāo)出，符號(hào)的交叉點(diǎn)正是數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置。若在同一張圖上作幾條實(shí)驗(yàn)曲線，各條曲線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)該用不同符號(hào)(如×、等)標(biāo)出，以示區(qū)別。5.曲線的描繪 由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪出平滑的實(shí)驗(yàn)曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，

6、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)均勻分布在曲線兩側(cè)，與曲線的距離盡可能小。個(gè)別偏離曲線較遠(yuǎn)的點(diǎn)，應(yīng)檢查標(biāo)點(diǎn)是否錯(cuò)誤，若無(wú)誤表明該點(diǎn)可能是錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，在連線時(shí)不予考慮。對(duì)于儀器儀表的校準(zhǔn)曲線和定標(biāo)曲線，連接時(shí)應(yīng)將相鄰的兩點(diǎn)連成直線，整個(gè)曲線呈折線形狀。6.注解與說(shuō)明 在圖紙上要寫(xiě)明圖線的名稱、坐標(biāo)比例及必要的說(shuō)明(主要指實(shí)驗(yàn)條件)，并在恰當(dāng)?shù)胤阶⒚髯髡咝彰?、日期等?.直線圖解法求待定常數(shù) 直線圖解法首先是求出斜率和截距，進(jìn)而得出完整的線性方程。其步驟如下：(1)選點(diǎn)。在直線上靠近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)兩端點(diǎn)內(nèi)側(cè)取兩點(diǎn)、），并用不同于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的符號(hào)標(biāo)明，在符號(hào)旁邊注明其坐標(biāo)值(注意有效數(shù)字)。若選取的兩點(diǎn)距離較近，計(jì)算斜率時(shí)會(huì)減少有

7、效數(shù)字的位數(shù)。這兩點(diǎn)既不能在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍以外取點(diǎn)，因?yàn)樗褵o(wú)實(shí)驗(yàn)根據(jù)，也不能直接使用原始測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算斜率。(2)求斜率。設(shè)直線方程為，則斜率為 (1-5-1)(3)求截距。截距的計(jì)算公式為 (1-5-2)【例7】金屬電阻與溫度的關(guān)系可近似表示為，為時(shí)的電阻，為電阻的溫度系數(shù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，試用圖解法建立電阻與溫度關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。1234567()10.526.038.351.062.875.585.710.42310.89211.20111.58612.02512.34412.67912. 70012. 50012. 30012. 10011. 90011. 70011. 50011. 3

8、0011. 10010. 90010. 70010. 50010. 30010. 020. 030. 040. 050. 060. 070. 080. 090. 0Rt圖坐標(biāo)比例：5.0/cm，0.100/cmA(13.0,10.500)B(83.5,12.600)+0101101班 陳建軍2001年3月15日?qǐng)D1-5-1 銅絲電阻與溫度關(guān)系曲線【解】溫度起點(diǎn)，電阻起點(diǎn)。比例測(cè)算，軸：，故取為；軸：，故取為。對(duì)照比例選擇原則知，選取的比例滿足要求。所繪圖線見(jiàn)圖1-5-1。在圖線上取兩點(diǎn)和，斜率和截距計(jì)算如下：所以，銅絲電阻與溫度的關(guān)系為3 逐差法當(dāng)兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系，且自變量為等差級(jí)數(shù)變

9、化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測(cè)量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別相減，然后再求平均值。例如，在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長(zhǎng)量與所受的載荷(拉力)滿足線性關(guān)系實(shí)驗(yàn)時(shí)等差地改變載荷，測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：砝碼質(zhì)量(Kg)1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000彈簧伸長(zhǎng)位置(cm)求每增加1Kg砝碼彈簧的平均伸長(zhǎng)量。若不加思考進(jìn)行逐項(xiàng)相減，很自然會(huì)采用下列公式計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)除和外，其它中間測(cè)量值都未用上，它與一次增加7個(gè)砝碼的單次測(cè)量等價(jià)。若用多項(xiàng)間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成前后兩組，前一組，后一組，

10、然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減求平均，即這樣全部測(cè)量數(shù)據(jù)都用上，保持了多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，減少了隨機(jī)誤差，計(jì)算結(jié)果比前面的要準(zhǔn)確些。逐差法計(jì)算簡(jiǎn)便，特別是在檢查具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)時(shí)，可隨時(shí)“逐差驗(yàn)證”，及時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律或錯(cuò)誤數(shù)據(jù)。4 最小二乘法由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，從而準(zhǔn)確地求出兩個(gè)物理量之間的線性函數(shù)關(guān)系，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量和之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為最小二乘法就是要用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定方程中的待定常數(shù)和，即直線的斜率和截距。+圖1-5-2 的測(cè)量偏差我們討論最簡(jiǎn)單的情況，即每個(gè)測(cè)量值都是等精度的，且假定和值中只有有明顯的測(cè)量隨機(jī)誤差。如果和均有誤差，只要把誤差相對(duì)較小的變量作為即可

11、。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到一組數(shù)據(jù)為，其中時(shí)對(duì)應(yīng)的。由于測(cè)量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結(jié)為的測(cè)量偏差，并記為，見(jiàn)圖1-5-2。這樣，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入方程后，得到我們要利用上述的方程組來(lái)確定和，那么和要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的和是使，數(shù)值上都比較小。但是，每次測(cè)量的誤差不會(huì)相同，反映在，大小不一，而且符號(hào)也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即令 使為最小的條件是，由一階微商為零得解得 (1-5-3) (1-5-4)令，則 (1-5-5) (1-5-6)如果實(shí)驗(yàn)是在已知和滿足線性關(guān)系下進(jìn)行的，那么用上述最小二乘法線性擬合(又稱一元線性回歸)可解得斜率和截距,從而得出回歸方程。如果實(shí)驗(yàn)是要通過(guò)對(duì)、的測(cè)量來(lái)尋找經(jīng)驗(yàn)公式，則還應(yīng)判斷由上述一元線性擬合所確定的線性回歸方程是否恰當(dāng)。這可用下列相