帶電粒子在交變電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1、帶電粒子在交變電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)解決帶電粒子在交變電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路多維探究(一)交變磁場(chǎng)典例1(2014·山東高考)如圖8­3­7甲所示，間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。取垂直于紙面向里為磁場(chǎng)的正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示。t0時(shí)刻，一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子(不計(jì)重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場(chǎng)且平行于板面的方向射入磁場(chǎng)區(qū)。當(dāng)B0和TB取某些特定值時(shí)，可使t0時(shí)刻入射的粒子經(jīng)t時(shí)間恰能垂直打在P板上(不考慮粒子反彈)。上述m、q、d、v0為已知量。圖8­3­7(1)若

2、tTB，求B0；(2)若tTB，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度的大?。?3)若B0，為使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。思路點(diǎn)撥甲(1)若tTB時(shí)，試畫(huà)出粒子在PQ板間運(yùn)動(dòng)的軌跡，并確定半徑。提示：如圖甲，半徑R1d(2)若tTB時(shí)，試畫(huà)出粒子在PQ板間運(yùn)動(dòng)的軌跡，并確定半徑。提示：如圖乙，半徑R2乙(3)丙若B0，則半徑為多大？試畫(huà)出粒子在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并說(shuō)明在哪些位置可能擊中B板。提示：如圖丙，由R得Rd在A、B兩點(diǎn)可能擊中B板解析(1)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R1，由牛頓第二定律得qv0B0據(jù)題意由幾何關(guān)系得R1d聯(lián)立式得B0(2)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R2，加速度大小為a，由圓周

3、運(yùn)動(dòng)公式得a據(jù)題意由幾何關(guān)系得3R2d聯(lián)立式得a(3)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，由圓周運(yùn)動(dòng)公式得T由牛頓第二定律得qv0B0由題意知B0，代入式得d4R粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O1、O2為圓心，O1O2連線與水平方向的夾角為，在每個(gè)TB內(nèi)，只有A、B兩個(gè)位置粒子才有可能垂直擊中P板，且均要求0，由題意可知T設(shè)經(jīng)歷完整TB的個(gè)數(shù)為n(n0,1,2,3)若在A點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得R2(RRsin )nd當(dāng)n0時(shí)，無(wú)解當(dāng)n1時(shí)，聯(lián)立式得(或sin )聯(lián)立式得TB當(dāng)n2時(shí)，不滿足0的要求若在B點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得R2Rsin 2(RRsin )nd當(dāng)n0時(shí)，無(wú)解當(dāng)n1時(shí)，

4、聯(lián)立式得arcsin (或sin )聯(lián)立式得TB當(dāng)n2時(shí)，不滿足0的要求答案見(jiàn)解析方法規(guī)律分析周期性變化磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，重點(diǎn)是明確在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，化變?yōu)楹闶撬季S根本，其技巧是畫(huà)出軌跡示意圖，結(jié)合帶電粒子在電磁場(chǎng)和重力場(chǎng)組合與疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)知識(shí)列方程解答。(二)交變電場(chǎng)恒定磁場(chǎng)典例2(2015·合肥模擬)如圖8­3­8甲所示，帶正電粒子以水平速度v0從平行金屬板MN間中線OO連續(xù)射入電場(chǎng)中。MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓UMN，兩板間電場(chǎng)可看作是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)。緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，分界線為CD，EF為屏幕。金屬板間距為d

5、，長(zhǎng)度為l，磁場(chǎng)的寬度為d。已知：B5×103 T，ld0.2 m，每個(gè)帶正電粒子的速度v0105 m/s，比荷為108 C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的。試求：圖8­3­8(1)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑；(2)帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；(3)帶電粒子打在屏幕上的范圍。審題指導(dǎo)第一步：抓關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)獲取信息電場(chǎng)可視作是恒定不變的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，帶電粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)最小半徑當(dāng)加速電壓為零時(shí)，帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率最小，半徑最小最大速度由動(dòng)能定理可知，當(dāng)加速電壓最大時(shí)，粒子的速度最大，但應(yīng)注意粒子能否

6、從極板中飛出第二步：找突破口(1)要求圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑，由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式可知，應(yīng)先求最小速度，后列方程求解。(2)要求粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度，應(yīng)先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出帶電粒子能從極板間飛出所應(yīng)加的板間電壓的范圍，后結(jié)合動(dòng)能定理列方程求解。(3)要求粒子打在屏幕上的范圍，應(yīng)先綜合分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，后結(jié)合幾何知識(shí)列方程求解。解析(1)t0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)qv0B則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑rmin m0.2 m其運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖中曲線所示。(2)設(shè)兩板間電壓為U1，帶電粒子

7、剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，則有at2·()2代入數(shù)據(jù)，解得U1100 V在電壓低于100 V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，電壓高于100 V時(shí)，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出。帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為vmax，則有mvmvq· 解得vmax×105 m/s1.414×105 m/s(3)由第(1)問(wèn)計(jì)算可知，t0時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rmind0.2 m徑跡恰與屏幕相切，設(shè)切點(diǎn)為E，E為帶電粒子打在屏幕上的最高點(diǎn)，則rmin0.2 m帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度最大時(shí)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，

8、打在屏幕上的位置最低。設(shè)帶電粒子以最大速度射出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rmax，打在屏幕上的位置為F，運(yùn)動(dòng)徑跡如圖中曲線所示。qvmaxB則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑rmax m m由數(shù)學(xué)知識(shí)可得運(yùn)動(dòng)徑跡的圓心必落在屏幕上，如圖中Q點(diǎn)所示，并且Q點(diǎn)必與M板在同一水平線上。則 m0.1 m帶電粒子打在屏幕上的最低點(diǎn)為F，則rmax(0.1)m0.18 m即帶電粒子打在屏幕上O上方0.2 m到O下方0.18 m的范圍內(nèi)。答案(1)0.2 m(2)1.414×105 m/s(3)O上方0.2 m到O下方0.18 m的范圍內(nèi)(三)交變磁場(chǎng)恒定電場(chǎng)典例3電視機(jī)顯像管中需要用變

9、化的磁場(chǎng)來(lái)控制電子束的偏轉(zhuǎn)。圖8­3­9(a)為顯像管工作原理示意圖，陰極K發(fā)射的電子束(初速不計(jì))經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直于圓面(以垂直圓面向里為正方向)，磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r，熒光屏MN到磁場(chǎng)區(qū)中心O的距離為L(zhǎng)。當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過(guò)O點(diǎn)垂直打到屏幕的中心P點(diǎn)。當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間按圖(b)所示的規(guī)律變化時(shí)，在熒光屏上得到一條長(zhǎng)為2L的亮線。由于電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間很短，可以認(rèn)為在每個(gè)電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中磁感應(yīng)強(qiáng)度不變。已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子之間的相互作用及所受的重力。求：圖8­3­

10、9(1)電子打到熒光屏上時(shí)速度的大??；(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B0。解析(1)電子打到熒光屏上時(shí)速度的大小等于它飛出加速電場(chǎng)時(shí)的速度大小，設(shè)為v，由動(dòng)能定理eUmv2；解得v。(2)當(dāng)交變磁場(chǎng)為峰值B0時(shí)，電子束有最大偏轉(zhuǎn)，在熒光屏上打在Q點(diǎn)，PQL。電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度為，由幾何關(guān)系可知，tan ，60°。根據(jù)幾何關(guān)系，電子束在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角，而tan。由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得evB0；解得B0。答案(1)v(2)B0(四)交變電、磁場(chǎng)典例4某空間存在著一個(gè)變化的電場(chǎng)和一個(gè)變化的磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向向右(如圖8­3­10甲中由B到C

11、的方向)，電場(chǎng)變化如圖乙中E­t圖像，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化如圖丙中B­t圖像。在A點(diǎn)，從t1 s(即1 s末)開(kāi)始，每隔2 s，有一個(gè)相同的帶電粒子(重力不計(jì))沿AB方向(垂直于BC)以速度v射出，恰能擊中C點(diǎn)，若A2B且粒子在AB間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于1 s，求：(1)圖線上E0和B0的比值，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向；(2)若第1個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻已知為(1t) s，那么第2個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻是多少？圖8­3­10解析設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R。在第2秒內(nèi)只有磁場(chǎng)。軌道如圖所示。(1)因?yàn)锳2B2d 所以R2d。第2秒內(nèi)，僅有磁場(chǎng)：qvB0mm。第3秒內(nèi)，

12、僅有電場(chǎng)：d··2。所以v。粒子帶正電，故磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。(2)t×··，tt。故第2個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻為 s。答案(1)v，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外(2)第2個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻為3圖3(a)所示的xOy平面處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與xOy平面(紙面)垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的周期為T(mén)，變化規(guī)律如圖(b)所示。當(dāng)B為B0時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向指向紙外。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一帶正電的粒子P，其電荷量與質(zhì)量之比恰好等于。不計(jì)重力。設(shè)P在某時(shí)刻t0以某一初速度沿y軸正方向自O(shè)點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，將它經(jīng)過(guò)時(shí)間T到達(dá)的點(diǎn)記為A。(1)若t00，則直線OA與x

13、軸的夾角是多少？(2)若t0T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？圖3解析：(1)設(shè)粒子P的質(zhì)量為m，電荷量為q，速度為v，粒子P在洛倫磁力作用下，在xOy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示圓周的半徑，T表示運(yùn)動(dòng)周期，則有：qvB0mR2，v。由上式及已知條件得：TT。粒子P在t0到t時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)x軸上B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t到tT時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)x軸上A點(diǎn)，如圖(a)所示。OA與x軸夾角0。(2)粒子P在t0時(shí)刻開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在t到t時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)個(gè)圓周，到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t到tT時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)

14、B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在tT到t時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)個(gè)圓周，到達(dá)A點(diǎn)，如圖(b)所示。由幾何關(guān)系可知，A點(diǎn)在y軸上，即OA與x軸夾角。答案：(1)OA與x軸夾角0(2)OA與x軸夾角4(2011·江蘇高考)某種加速器的理想模型如圖4甲所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開(kāi)有一小孔 a、b，兩極板間電壓 uab的變化圖像如圖乙所示，電壓的最大值為 U0、周期為 T0，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若將一質(zhì)量為 m0、電荷量為 q 的帶正電的粒子從板內(nèi) a 孔處?kù)o止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間 T0 后恰能再次從 a 孔進(jìn)入電場(chǎng)加速?，F(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了m

15、0。(粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無(wú)電場(chǎng)，不考慮粒子所受的重力)圖4(1)若在 t 0 時(shí)將該粒子從板內(nèi) a 孔處?kù)o止釋放，求其第二次加速后從 b 孔射出時(shí)的動(dòng)能；(2)現(xiàn)要利用一根長(zhǎng)為L(zhǎng) 的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁場(chǎng)中時(shí)管內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)，忽略其對(duì)管外磁場(chǎng)的影響)，使圖甲中實(shí)線軌跡(圓心為 O)上運(yùn)動(dòng)的粒子從 a 孔正下方相距 L 處的 c 孔水平射出，請(qǐng)?jiān)趫D甲中的相應(yīng)位置處畫(huà)出磁屏蔽管；(3)若將電壓 uab 的頻率提高為原來(lái)的 2 倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi) a 孔處?kù)o止開(kāi)始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？解析：(1)質(zhì)量為m0的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qvBm0，T

16、0則T0當(dāng)粒子的質(zhì)量增加m0時(shí)，其周期增加TT0則根據(jù)題圖乙可知，粒子第一次的加速電壓u1U0粒子第二次的加速電壓u2U0射出時(shí)的動(dòng)能Ek2qu1qu2解得Ek2qU0。(2)磁屏蔽管的位置如圖所示。(3)在uab>0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)N25分析可得，當(dāng)粒子在連續(xù)被加速的次數(shù)最多，且uU0時(shí)也被加速時(shí)，最終獲得的動(dòng)能最大。粒子由靜止開(kāi)始加速的時(shí)刻t(n)T0(n0,1,2，)最大動(dòng)能Ekm2×()qU0qU0解得EkmqU0。答案：(1)qU0(2)見(jiàn)解析(3)t(n)T0(n0,1,2，)qU05(2012·山東高考)如圖5甲所示，相隔一定距離的

17、豎直邊界兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，在邊界上固定兩長(zhǎng)為L(zhǎng)的平行金屬極板MN和PQ，兩極板中心各有一小孔S1、S2，兩極板間電壓的變化規(guī)律如圖乙所示，正反向電壓的大小均為U0，周期為T(mén)0。在t0時(shí)刻將一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q(q>0)的粒子由S1靜止釋放，粒子在電場(chǎng)力的作用下向右運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)刻通過(guò)S2垂直于邊界進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)。(不計(jì)粒子重力，不考慮極板外的電場(chǎng))(1)求粒子到達(dá)S2時(shí)的速度大小v和極板間距d。(2)為使粒子不與極板相撞，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足的條件。(3)若已保證了粒子未與極板相撞，為使粒子在t3T0時(shí)刻再次到達(dá)S2，且速度恰好為零，求該過(guò)程中粒子在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。圖5解析：(1)粒子由S1至S2的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得qU0mv2由式得v 設(shè)粒子的加速度大小為a，由牛頓第二定律得qma由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得da(