導函數(shù)大題集錦

1、1、已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意的，都有成立，求的取值范圍解：（1）當時，（2）當恒成立，函數(shù)的遞增區(qū)間為當時，令0+減極小值增（3）對任意的，使成立，只需對任意的，當時，在上是增函數(shù)，只需，而，滿足題意；當時，在上是增函數(shù)，只需，而滿足題意；當時，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)只需即可，而，不滿足題意；綜上，2、已知函數(shù)。（）求的極小值和極大值； （）當曲線的切線的斜率為負數(shù)時，求在軸上截距的取值范圍。3、已知函數(shù)（1）若x=2為的極值點，求實數(shù)a的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當時，方程有實根，求實數(shù)b的最大值。(1)解

2、： 1分因為x = 2為f (x)的極值點，所以2分即，解得：a = 03分又當a = 0時，從而x = 2為f (x)的極值點成立4分(2)解：f (x)在區(qū)間3，+)上為增函數(shù)，在區(qū)間3，+)上恒成立5分當a = 0時，在3，+)上恒成立，所以f (x)在3，+)上為增函數(shù)，故a = 0符合題意6分當a0時，由函數(shù)f (x)的定義域可知，必須有2ax + 1 0對x3恒成立，故只能a 0，所以在區(qū)間3，+)上恒成立7分令，其對稱軸為8分a 0，從而g (x)0在3，+)上恒成立，只要g (3)0即可，由，解得：9分a 0，綜上所述，a的取值范圍為0， 10分(3)解：時，方程可化為，問題轉(zhuǎn)

3、化為在(0，+)上有解 11分令，則 12分當0 x 1時，h (x)在(1，+)上為減函數(shù)故h (x)h (1) = 0，而x 0，故 即實數(shù)b的最大值是0 14分4、已知函數(shù)，其中（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；（3）當a1時，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值解：(1)x2(1a)xa(x1)(xa)由0，得x11，x2a0.當x變化時，的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)00極大值極小值故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)（2

4、）由(1)知在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當且僅當，解得0a.所以a的取值范圍是.（3）a1時，x3x1.由(1)知在3，1上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，在t，1上單調(diào)遞增，在1，t3上單調(diào)遞減因此在t，t3上的最大值M(t)f (1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調(diào)遞增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3

5、，2上的最小值為g(2).當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由在2，1，1,2上單調(diào)遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.5、（本小題滿分13分）已知函數(shù)，（）.（1）若有最值，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若存在、，使得曲線在與處的切線互相平行，求證：.解：（1），由知，當時，在上遞增，無最值；當時，的兩根均非正，因此，在上遞增，無最值；當時，有一正根，在上

6、遞減，在上遞增；此時，有最小值；所以，實數(shù)的范圍為. 7分（2）證明：依題意：，由于，且，則有. 13分考點：1.導數(shù)的計算；2.利用導數(shù)求曲線的切線方程；3.利用導數(shù)求函數(shù)的最值；4.基本不等式.6、（本小題滿分13分） 已知函數(shù) (為實常數(shù))（1）若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)； （2）求函數(shù)在上的最小值及相應的值； （3）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）當時，當，故函數(shù)在上是增函數(shù)（2），當，若，在上非負（僅當，時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時若，當時，；當時，此時是減函數(shù)； 當時，此時是增函數(shù)故若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時綜上可知，當時，的最小值為

7、1，相應的x值為1；當時，的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，相應的x值為（3）不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當時，從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是 7（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中mR且m0（）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）當時，求函數(shù)在區(qū)間2，2上的最值；（）設函數(shù)，當時，若對于任意的2，+），總存在唯一的（，2），使得成立，試求m的取值范圍解：（）依題意，當時，解得2x2，解得或；所以在2，2上單調(diào)遞增，在（，2），（2，+）上單調(diào)遞減；當時，解得2x2，得或；所以在2，2上單調(diào)遞減；在（，2），（2，+）上單調(diào)遞增（）當，2x2時，在2，2上單調(diào)遞減，由（）知，在2，2上單調(diào)遞減，所以在2，2上單調(diào)遞減；（）當m2，2，+）時，由（）知在2，+