學(xué)案18理直線與圓錐曲線位置關(guān)系

1、學(xué)案18 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(理)一、要點(diǎn)整合1.圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）統(tǒng)一定義：三種圓錐曲線均可看成點(diǎn)集（點(diǎn)的軌跡）：，其中F為定點(diǎn)，d為P到定直線的距離，F(xiàn)。當(dāng)0e1時(shí)，點(diǎn)P軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P軌跡是拋物線。（2）橢圓及雙曲線第一定義：橢圓：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F(xiàn)1、F2為定點(diǎn)，雙曲線P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為定點(diǎn)。注意：（1）第一定義中要重視常數(shù)與的大小限制；（2）雙曲線定義中的“絕對(duì)值”； （3）統(tǒng)一定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。2.圓

2、錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的曲線方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）；焦點(diǎn)在軸上時(shí)1（）。（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1；焦點(diǎn)在軸上：1（）。（3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí)；開(kāi)口向左時(shí)；開(kāi)口向上時(shí)；開(kāi)口向下時(shí)。注意：（1）焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。（3）求標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟：定位（判斷它的中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上）；定型（確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型）；定量（建立基本量的方程或方程組，解基本量）。3.焦半徑：焦半徑公式如下圖： 4.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。5.圓

3、錐曲線的幾何性質(zhì)：（圓錐曲線的對(duì)稱性、范圍、特殊點(diǎn)線、變化趨勢(shì)）（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：=， ，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：=， ，等軸雙曲線，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾

4、何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率： 。注意：重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)”6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解. 注意：直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必“”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題時(shí)，必須先有“”.直線與拋物線(相交不一定交于兩點(diǎn))、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.7弦長(zhǎng)公式：若直線與圓

5、錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。注意：焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和，或統(tǒng)一（第二）定義求解。8圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率。注意：如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.9.常見(jiàn)的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等),

6、以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)，這是解析幾何的兩類基本問(wèn)題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn).注意：如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.學(xué)案18 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系二、 典例講解.【例1】已知雙曲線 與點(diǎn)（1）求過(guò)點(diǎn)的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交

7、點(diǎn).（2）是否存在過(guò)P點(diǎn)的弦AB，使AB中點(diǎn)為P.（3）若Q（1,1），試判斷以Q點(diǎn)為中點(diǎn)的弦是否存在.【例2】給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與相交與兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）設(shè)，當(dāng)三角形OAB的面積時(shí)，求的取值范圍.【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由ABxyNCO【例4】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，同時(shí)滿足以下條件：離心率經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，

8、且線段AB的中點(diǎn)在直線上；橢圓C上存在一點(diǎn)，與其右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱。求直線l及橢圓C的方程.三、 高考題型總結(jié).（分析2008年高考命題趨勢(shì)，對(duì)命題難度，內(nèi)容，熱點(diǎn)等作總結(jié)）（一）方法總結(jié)1求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認(rèn)識(shí)橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān). 2涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對(duì)于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為

9、一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證明.4對(duì)于軌跡問(wèn)題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說(shuō)明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5與圓錐曲線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，利用中心對(duì)稱以及軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)來(lái)求解或證明.（二）2008年高考預(yù)測(cè)1求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法等）。2掌握綜合運(yùn)用直線的基礎(chǔ)知識(shí)和圓的性質(zhì)，解答直線與圓的位置關(guān)系的思想方法。3解析幾何是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點(diǎn)。綜觀近幾年的全國(guó)和部分省高考數(shù)學(xué)試題，本專題列出高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)；（4）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題是高考解析幾何問(wèn)題的熱中之熱。（三）復(fù)習(xí)建議1加強(qiáng)直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，初步掌握了解決直線與圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題的基本技能和基本方法。2由于直線與圓錐曲線是高