實(shí)驗(yàn)2層次分析法

1、項(xiàng)目六 矩陣的特征值與特征向量實(shí)驗(yàn)2 層次分析法實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^(guò)應(yīng)用層次分析法解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,學(xué)習(xí)層次分析法的基本原理與方法;掌握用層次分析法建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟;學(xué)會(huì)用Mathematica解決層次分析法中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.基本原理層次分析法是系統(tǒng)分析的重要工具之一,其基本思想是把問(wèn)題層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學(xué)方法為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量依據(jù). 它特別適用于難以完全量化, 又相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜問(wèn)題. 它把人的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化,是系統(tǒng)分析的一中新型的數(shù)學(xué)方法.運(yùn)用層次分析法建立數(shù)學(xué)模型, 一般可按如下四個(gè)基本步驟進(jìn)行.1.建立層次結(jié)構(gòu)首先對(duì)所面臨的問(wèn)題要掌握足夠的信

2、息, 搞清楚問(wèn)題的范圍、因素、各因素之間的相互關(guān)系,及所要解決問(wèn)題的目標(biāo). 把問(wèn)題條理化、層次化, 構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型. 在這個(gè)模型下,復(fù)雜問(wèn)題被分解為元素的組成部分. 這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次.層次結(jié)構(gòu)一般分三層:第一層為最高層, 它是分析問(wèn)題的預(yù)定目標(biāo)和結(jié)果, 也稱(chēng)目標(biāo)層;第二層為中間層, 它是為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié), 如: 準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則, 也稱(chēng)準(zhǔn)則層;第三層為最底層, 它包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等, 也稱(chēng)方案層.注:上述層次結(jié)構(gòu)具有以下特點(diǎn):(1) 從上到下順序地存在支配關(guān)系, 并用直線(xiàn)段表示;(2) 整個(gè)層次結(jié)構(gòu)中層次數(shù)不受限制.2.構(gòu)造判

3、斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣是建立層次分析模型的關(guān)鍵. 假定以上一層的某元素為準(zhǔn)則,它所支配的下一層次的元素為,這個(gè)元素對(duì)上一層次的元素有影響,要確定它們?cè)谥械谋戎? 采用成對(duì)比較法. 即每次取兩個(gè)元素和, 用表示與對(duì)的影響之比, 全部比較的結(jié)果可用矩陣表示,即 稱(chēng)矩陣為判斷矩陣.根據(jù)上述定義,易見(jiàn)判斷矩陣的元素滿(mǎn)足下列性質(zhì):當(dāng)時(shí),我們稱(chēng)判斷矩陣為正互反矩陣.怎樣確定判斷矩陣的元素的取值呢?當(dāng)某層的元素對(duì)于上一層某元素的影響可直接定量表示時(shí), 與對(duì)的影響之比可以直接確定, 的值也可直接確定. 但對(duì)于大多數(shù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題, 特別是比較復(fù)雜的問(wèn)題, 元素與對(duì)的重要性不容易直接獲得, 需要通過(guò)適當(dāng)?shù)牧炕椒▉?lái)解

4、決.通常取數(shù)字19及其倒數(shù)作為的取值范圍. 這是因?yàn)樵谶M(jìn)行定性的成對(duì)比較時(shí), 通常采用5級(jí)制(表1),在每?jī)蓚€(gè)等級(jí)之間各有一個(gè)中間狀態(tài), 共19個(gè)尺度, 另外心理學(xué)家認(rèn)為進(jìn)行成對(duì)比較的因素太多, 將超出人們的判斷比較能力, 降低精確. 實(shí)踐證明, 成對(duì)比較的尺度以為宜, 故的取值范圍是及其倒數(shù).表1 比較尺度的取值3.計(jì)算層次單排序權(quán)重并做一致性檢驗(yàn)層次單排序是指同一層次各個(gè)元素對(duì)于上一層次中的某個(gè)元素的相對(duì)重要性進(jìn)行排序.具體做法是: 根據(jù)同一層個(gè)元素對(duì)上一層某元素的判斷矩陣,求出它們對(duì)于元素的相對(duì)排序權(quán)重,記為,寫(xiě)成向量形式, 稱(chēng)其為的層次單排序權(quán)重向量, 其中表示第個(gè)元素對(duì)上一層中某元素

5、所占的比重, 從而得到層次單排序.層次單排序權(quán)重向量有幾種求解方法,常用的方法是利用判斷矩陣的特征值與特征向量來(lái)計(jì)算排序權(quán)重向量.關(guān)于正互反矩陣A,我們不加證明地給出下列結(jié)果.(1) 如果一個(gè)正互反矩陣滿(mǎn)足則稱(chēng)矩陣具有一致性, 稱(chēng)元素的成對(duì)比較是一致的; 并且稱(chēng)為一致矩陣.(2) 階正互反矩陣的最大特征根, 當(dāng)時(shí), 是一致的.(3) 階正互反矩陣是一致矩陣的充分必要條件是最大特征值 .計(jì)算排序權(quán)重向量的方法和步驟設(shè)是階判斷矩陣的排序權(quán)重向量, 當(dāng)為一致矩陣時(shí), 根據(jù)階判斷矩陣構(gòu)成的定義,有 (2.1)因而滿(mǎn)足 這里是矩陣的最大特征根, 是相應(yīng)的特征向量; 當(dāng)為一般的判斷矩陣時(shí), 其中是的最大特

6、征值(也稱(chēng)主特征根), 是相應(yīng)的特征向量(也稱(chēng)主特征向量). 經(jīng)歸一化(即)后, 可近似作為排序權(quán)重向量, 這種方法稱(chēng)為特征根法.一致性檢驗(yàn)在構(gòu)造判斷矩陣時(shí), 我們并沒(méi)有要求判斷矩陣具有一致性, 這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多樣性所決定的. 特別是在規(guī)模大、因素多的情況下, 對(duì)于判斷矩陣的每個(gè)元素來(lái)說(shuō),不可能求出精確的, 但要求判斷矩陣大體上應(yīng)該是一致的. 一個(gè)經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤. 利用上述方法計(jì)算排序權(quán)重向量, 當(dāng)判斷矩陣過(guò)于偏離一致性時(shí), 其可靠性也有問(wèn)題. 因此,需要對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn), 檢驗(yàn)可按如下步驟進(jìn)行:(1) 計(jì)算一致性指標(biāo) (2.2)當(dāng)即時(shí),

7、 判斷矩陣是一致的. 當(dāng)?shù)闹翟酱? 判斷矩陣A的不一致的程度就越嚴(yán)重.(2) 查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)表2給出了階正互反矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo), 其中數(shù)據(jù)采用了100150個(gè)隨機(jī)樣本矩陣計(jì)算得到. 表2矩陣階數(shù)1234567891011000.580.91.121.241.321.411.451.491.51(3) 計(jì)算一致性比例 (2.3)當(dāng)時(shí), 認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的; 否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正.4. 計(jì)算層次總排序權(quán)重并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算出某層元素對(duì)其上一層中某元素的排序權(quán)重向量后, 還需要得到各層元素, 特別是最底層中各方案對(duì)于目標(biāo)層的排序權(quán)重, 即層次總排序權(quán)重向量,

8、 再進(jìn)行方案選擇. 層次總排序權(quán)重通過(guò)自上而下地將層次單排序的權(quán)重進(jìn)行合成而得到.考慮3個(gè)層次的決策問(wèn)題: 第一層只有1個(gè)元素, 第二層有個(gè)元素, 第三層有個(gè)元素.設(shè)第二層對(duì)第一層的層次單排序的權(quán)重向量為 第三層對(duì)第二層的層次單排序的權(quán)重向量為 以為列向量構(gòu)成矩陣: (2.4)則第三層對(duì)第一層的層次總排序權(quán)重向量為 (2.5)一般地, 若層次模型共有層, 則第層對(duì)第一層的總排序權(quán)重向量為 (2.6)其中是以第層對(duì)第層的排序權(quán)向量為列向量組成的矩陣,是第層對(duì)第一層的總排序權(quán)重向量. 按照上述遞推公式, 可得到最下層(第層)對(duì)第一層的總排序權(quán)重向量為 (2.7)對(duì)層次總排序權(quán)重向量也要進(jìn)行一致性檢

9、驗(yàn). 具體方法是從最高層到最低層逐層進(jìn)行檢驗(yàn).如果所考慮的層次分析模型共有層. 設(shè)第()層的一致性指標(biāo)與隨機(jī)一致性指標(biāo)分別為(是第層元素的數(shù)目)與, 令 (2.8) (2.9)則第l層對(duì)第一層的總排序權(quán)向量的一致性比率為 (2.10)其中為由(2.3)式計(jì)算的第二層對(duì)第一層的排序權(quán)重向量的一致性比率.當(dāng)最下層對(duì)第一層的總排序權(quán)重向量的一致性比率時(shí), 就認(rèn)為整個(gè)層次結(jié)構(gòu)的比較判斷可通過(guò)一致性檢驗(yàn).應(yīng)用舉例問(wèn)題 在選購(gòu)電腦時(shí), 人們希望花最少的錢(qián)買(mǎi)到最理想的電腦. 試通過(guò)層次分析法建立數(shù)學(xué)模型,并以此確定欲選購(gòu)的電腦.1. 建立選購(gòu)電腦的層次結(jié)構(gòu)模型圖2-2該層次結(jié)構(gòu)模型共有三層:目標(biāo)層(用符號(hào)表

10、示最終的選擇目標(biāo)); 準(zhǔn)則層(分別用符號(hào)表示“性能”、“價(jià)格”、“質(zhì)量”、“外觀”、“售后服務(wù)”五個(gè)判斷準(zhǔn)則); 方案層(分別用符號(hào)表示品牌1, 品牌2, 品牌3三種選擇方案).2.構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣(1) 建立準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較判斷矩陣根據(jù)表1的定量化尺度, 從建模者的個(gè)人觀點(diǎn)出發(fā), 設(shè)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較判斷矩陣為 (2.11)(2) 建立方案層對(duì)準(zhǔn)則層的成對(duì)比較判斷矩陣3.計(jì)算層次單排序權(quán)重向量并做一致性檢驗(yàn)先利用Mathematica計(jì)算矩陣A的最大特征值及特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.輸入<<MiscellaneousRealOnly.m(*調(diào)用只求實(shí)數(shù)運(yùn)算的軟件包

11、*)A=1.0,5,3,9,3,1/5,1,1/2,2,1/2,1/3,2,1,3,1,1/9,1/2,1/3,1,1/3,1/3,2,1,3,1;(*以小數(shù)形式1.0輸入進(jìn)行近似計(jì)算, 可避免精確解太長(zhǎng)、太復(fù)雜*)T=EigensystemA/Chop(*輸入/Chop, 把與零非常接近的數(shù)換成零*)則輸出5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0,0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonrea

12、l,Nonreal,-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555,-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742(輸出中的Nonreal表示復(fù)數(shù))從中得到A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量輸入Clearx;x=T2,1;ww2=x/ApplyPlus,x則得到歸一化后的特征向量 計(jì)算一致性指標(biāo),其中 故查表得到相應(yīng)的隨機(jī)一致性指標(biāo)從而得到一致性比率因 通過(guò)了一致性檢驗(yàn),即認(rèn)為的一致性程度在容許的范圍之內(nèi), 可以用歸一化后的特征向量作為排序權(quán)重向量.下面再求矩陣的最大特征值及特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量, 輸入B1=B3=1.0,1/3,

13、1/5,3,1,1/2,5,2,1;B2=TransposeB1;B4=1.0,5,3,1/5,1,1/2,1/3,2,1;B5=1.0,3,3,1/3,1,1,1/3,1,1;T1=EigensystemB1/ChopT2=EigensystemB2/ChopT3=EigensystemB3/ChopT4=EigensystemB4/ChopT5=EigensystemB5/Chop則輸出3.00369,Nonreal, Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal, 0.8711

14、37;3.00369,Nonreal, Nonreal,0.928119,0.328758,0.174679,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.928119, Nonreal, Nonreal3.00369, Nonreal, Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.8711373.00369, Nonreal, Nonreal,0.928119,0.174679,0.328758,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.92811

15、9, Nonreal, Nonreal3,0,0,0.904534,0.301511,0.301511,-0.973329,0.162221,0.162221,-0.170182,-0.667851,0.724578從上面的輸出可以分別得到的最大特征值 以及上述特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量其中 為求出歸一化后的特征向量, 輸入Clearx1,x2,x3,x4,x5;x1=T12,1;w1=x1/ApplyPlus,x1x2=T22,1;w2=x2/ApplyPlus,x2x3=T32,1;w3=x3/ApplyPlus,x3x4=T42,1;w4=x4/ApplyPlus,x4x5=T52,1;w5

16、=x5/ApplyPlus,x5則輸出計(jì)算一致性指標(biāo),其中 輸入lamda=T11,1,T21,1,T31,1,T41,1,T51,1CI=(lamda-3)/(3-1)/Chop則輸出查表得到相應(yīng)的隨機(jī)一致性指標(biāo) 計(jì)算一致性比率,輸入 CR=CI/0.58則輸出 因 通過(guò)了一致性檢驗(yàn). 即認(rèn)為的一致性程度在容許的范圍之內(nèi), 可以用歸一化后的特征向量作為其排序權(quán)重向量.4. 計(jì)算層次總排序權(quán)重向量并做一致性檢驗(yàn)購(gòu)買(mǎi)個(gè)人電腦問(wèn)題的第三層對(duì)第二層的排序權(quán)重計(jì)算結(jié)果列于表3.表3123450.1094520.6483290.1094520.6483290.60.3089960.2296510.308

17、9960.122020.20.5815520.122020.5815520.2296510.23.003693.003693.003693.003693以矩陣表示第三層對(duì)第二層的排序權(quán)重計(jì)算結(jié)果為 即是第三層對(duì)第二層的權(quán)重向量為列向量組成的矩陣. 最下層(第三層)對(duì)最上層(第一層)的總排序權(quán)向量為 為了計(jì)算上式, 輸入 W3=Transposew1,w2,w3,w4,w5;ww3=W3.ww2則從輸出結(jié)果得到 為了對(duì)總排序權(quán)向量進(jìn)行一致性檢驗(yàn), 計(jì)算 輸入 CI.ww2則從輸出結(jié)果得到 再計(jì)算,輸入 RI=Table0.58,j,5;RI.ww2則從輸出結(jié)果得到 最后計(jì)算,可得 因?yàn)?所以總排序權(quán)重向量符合一致性要求的范圍.根據(jù)總排序權(quán)重向量的分量取值, 品牌3的電腦是建模者對(duì)這三種品牌機(jī)的首選.實(shí)驗(yàn)報(bào)告1.根據(jù)你的設(shè)想購(gòu)置一臺(tái)計(jì)算機(jī), 需考慮什么樣的判斷準(zhǔn)則? 利用層次分析法及數(shù)學(xué)軟件做出最佳的決策.2.根據(jù)你的經(jīng)歷設(shè)想如何報(bào)考大學(xué), 需要什么樣的判斷準(zhǔn)則? 利用層次分析法及數(shù)學(xué)軟件做出最佳的決策.3.假期到了, 某學(xué)生打算做一次旅游, 有四個(gè)地點(diǎn)可供選擇, 假定他要考慮5個(gè)因素: 費(fèi)用、景色、居住條件、飲食以及旅游條件. 由于該學(xué)生沒(méi)有固定收入, 他對(duì)費(fèi)用最為看重, 其次是旅游點(diǎn)的景色, 至于旅游條件、飲