微積分基本定理與應(yīng)用

1、§3.4定積分與微積分基本定理一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1直觀了解微積分基本定理的含義2會求簡單的定積分3會用定積分的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題二建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.定積分的定義如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作和式_當(dāng)時(shí)，上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作_，在中，_ 和_ 分別叫做積分下限和積分上限，_叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，_叫做被積式2定積分的性質(zhì)（1）_（為常數(shù)）；（2）_；（3）_（其中）3微積分基本定理一般地，如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布

2、尼茲公式，可以把記作_，即_4通過定積分的運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0（1）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于_；（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于_；（3）當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形的面積等于當(dāng)位于軸下方的曲邊梯形的面積時(shí)，定積分的值為_；定積分的值等于位于軸上方的曲邊梯形的面積_位于軸下方的曲邊梯形的面積4定積分求曲邊梯形面積如右圖所示，由三條直線：軸及一條曲線圍成的曲邊梯形的面積為_：1 若在 區(qū)間上，則_2 若在 區(qū)間上，在 區(qū)間上，則_5勻變速運(yùn)動的路程公式：作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間

3、區(qū)間上的定積分，即_6變力作功公式 ：一物體在變力（單位：N）的作用下作直線運(yùn)動，如果物體沿著與相同的方向從移動（單位：m ），則力所做的功為_三、雙基題目練練手1.下列值等于的積分是( )2.的值（）3如圖，直線與拋物線相交，則陰影部分面積為（ ）4= （ ）（）ABCD5若，且a1，則a的值為（）A6B4C3D26已知自由落體運(yùn)動的速率，則落體運(yùn)動從到所走的路程為（）A B C D7四、經(jīng)典例題做一做【例1】（1） （2）（3） （4）【例2】求兩曲線和所圍成圖形的面積【例3】一物體在做變速直線運(yùn)動，其曲線如圖所示，求該物體在間的運(yùn)動路程【例4】如圖，陰影部分的面積是 （ ）ABCD【例5

4、】拋物線：，若過原點(diǎn)的直線l與拋物線所圍成的圖形面積為，求直線l的方程五 提煉總結(jié)以為師1用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限要借助于求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動的路程去體會定積分的基本思想2用微積分基本定理求定積分：關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，運(yùn)用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向上求出3利用微積分基本定理求定積分，有時(shí)需先化簡，再積分4在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形的直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限5要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開，定積

5、分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng)時(shí)要通過絕對值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后相加起來，例如：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊梯形的面積，一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖象以及之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方和面積取負(fù)號6體會定積分的化歸和逼近的思想方法同步練習(xí)1下列有定義的定積分為（）ABCD2（2007年山東濰坊）（）A0BCD3設(shè)a>0，a1，若，則a等于（）A B C D4（2007年廣東潮州）已知為偶函數(shù)且，則（）A0B4C8D165的值等

6、于 （ ）ABCD6（2007年廣東汕頭）7使成立的所有可以表示為8（2006年山東濰坊）汽車從A處起以速度（其中均為正的常數(shù)）開始減速度行駛，至B點(diǎn)停止，則A、B之間的距離9由及圍成平面圖形的面積，若選為積分變量，利用定積分應(yīng)表達(dá)為；若選為積分變量，利用定積分應(yīng)表達(dá)為.10求下列定積分的值（1）；（2）；11.已知，求的最大值12.一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻開始以速度運(yùn)動求（1）在的位置；（2）在內(nèi)運(yùn)動的路程§3.3定積分基礎(chǔ)自測1.當(dāng)n無限趨近于+時(shí)，(sin+sin+sin)寫成定積分的形式，可記為.答案sinxdx2.1dx=.答案13.由曲線y=ex,x=0,y=2所圍成的曲邊梯

7、形的面積為（用定積分表示）.答案lnydy或(2-ex)dx4.已知f(x)為偶函數(shù)且f（x）dx=8，則f（x）dx=.答案165.已知-1a1，f（a）=（2ax2-a2x）dx，求f（a）的值域.解f(a)=(2ax2-a2x)dx=(-)|=-+=-(a-)2+.-1a1，-f（a），故f(a)的值域?yàn)槔?計(jì)算下列定積分（1）x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.解（1）x（x+1）=x2+x且(x3)=x2,(x2)=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(×23-0)+(×22-0)=.(2)(lnx

8、)=,(e2x)=e2x·(2x)=2e2x,得e2x=(e2x)所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)=cos2x·(2x)=2cos2x,得cos2x=（sin2x）,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2 -sin0）=.例2計(jì)算下列定積分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解（1）（-cosx）=sinx，|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cos

9、x|+cosx|=-（cos-cos0）+（cos2-cos）=4.（2）0x2，于是|x2-1|=|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（×23-2）-（-1）=2.例3求函數(shù)f(x)=在區(qū)間0，3上的積分.解由積分性質(zhì)知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4（14分）求定積分dx.解設(shè)y=,即(x-3)2+y2=25 (y0).5分dx表示以5為半徑的圓的四分之一面積.10分dx=.14分1.求(cosx+ex)dx.解(cosx+ex)dx=cosxd

10、x+exdx=sinx|+ex|=1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解設(shè)y=|x-1|+|x-3|=(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函數(shù):f(x)=求f(x)dx.解f(x)dx=2(x+1)-1 dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+ =2ln2+(2-1)+.4.（-x）dx=.答案一、填空題1.定積分dx=.答案62.若y=f(x)與y=g(x)是a,b上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成的平面

11、區(qū)域的面積為（用定積分表示）.答案|f(x)-g(x)|dx3.定積分(32x+3)dx=.答案4.設(shè)函數(shù)f（x）=則f（x）dx=.答案5.定積分2(x3+5x5)dx=.答案06.根據(jù)sinxdx=0推斷，直線x=0，x=2，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，曲邊梯形在x軸上方的面積在x軸下方的面積.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案等于7.若f(x)dx=1,f(x)dx=-1,則f(x)dx=.答案-28.定積分dx的值是.答案ln2二、解答題9.求下列定積分的值(1)dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解（1）dx表示以y=與x=0,x=3所圍

12、成圖形的面積，而y=與x=0,x=3圍成的圖形為圓x2+y2=9在第一象限內(nèi)的部分，因此所求的面積為.（2）f（x）=f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，f（0）=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解由f（-1）=2，得a-b+c=2，又f(x)=2ax+b,由f(0)=0得b=0,f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2，由得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解(2ax2-a2x)dx=(ax3-

13、a2x2)|=a -a2即f(a)=a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以當(dāng)a=時(shí)，f(a)有最大值.12.(2009·青島模擬)對于函數(shù)f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3處取得極值，且f(x)的圖象上每一點(diǎn)的切線的斜率均不超過2sintcost-2cos2t+,試求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若f(x）為實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且b-1,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,b)，試求出點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積S.解（1）由f(x)=bx3+ax2-3x,則f(x)=3bx2+2ax-3,f（x）在x=1和x=3處取得極值，x=1和x=3是f(x)=0的兩個(gè)根

14、且b0.f(x)=-x2+4x-3.f(x)的圖象上每一點(diǎn)的切線的斜率不超過2sintcost-2cos2t+,f(x)2sintcost-2cos2t+對xR恒成立，而f(x)=-(x-2)2+1,其最大值為1.故2sintcost-2cos2t+12sin(2t-)12k+2t-2k+,kZk+tk+,kZ.（2）當(dāng)b=0時(shí)，由f(x)在R上單調(diào)，知a=0.當(dāng)b0時(shí)，由f(x)在R上單調(diào)f(x)0恒成立，或者f(x)0恒成立.f(x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b0可得b-a2.從而知滿足條件的點(diǎn)P（a,b)在直角坐標(biāo)平面aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線b=-a2與直線b=

15、-1所圍成的封閉圖形，其面積為S=(1-a2)da=4.§3.4 定積分的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)自測1.將由y=cosx,x=0,x=,y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為.答案cosxdx+|cosxdx|2.一物體沿直線以v=3t+2 (t單位：s,v單位：m/s）的速度運(yùn)動，則該物體在3 s6 s間的運(yùn)動路程為 m.答案46.53.用力把彈簧從平衡位置拉長10 cm,此時(shí)用的力是200 N，變力F做的功W為 J.答案104.曲線y=cosx（ 0x）與坐標(biāo)軸所圍成的面積是.答案35.有一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)棒，已知其線密度為（x）=x3（取細(xì)棒的一端為原點(diǎn)，所在直線為x軸），棒長為1，則棒

16、的質(zhì)量M為.答案例1求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.解由方程組解出拋物線和直線的交點(diǎn)為（2，2）及(8,-4).方法一選x作為積分變量，由圖可看出S=A1+A2在A1部分：由于拋物線的上半支方程為y=,下半支方程為y=-x，所以S=-(-)dx=2xdx=2·x|=，S=4-x-(-)dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二選y作積分變量，將曲線方程寫為x=及x=4-y.S=（4-y）-dy=(4y-)|=30-12=18.例2（14分）如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.解拋物線y=x-x2與

17、x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=0,x2=1,所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S=（x-x2）dx=()|=-=.6分拋物線y=x-x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0,x2=1-k,9分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)，12分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-.14分例3一輛汽車的速度時(shí)間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程.解由速度時(shí)間曲線易知，v（t）=由變速直線運(yùn)動的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1 350 (m).答此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.1.求拋物線y2

18、=x與直線x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積S.解方法一由得拋物線與直線的交點(diǎn)為P（1，-1），Q（9，3）（如圖）.S=-(-)dx+(-)dx=2dx+(-+)dx= |+（x-+|=+=.方法二若選取積分變量為y，則兩個(gè)函數(shù)分別為x=y2,x=2y+3.由方法一知上限為3，下限為-1.S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如圖所示,陰影部分的面積是.答案3.一物體按規(guī)律x=bt3做直線運(yùn)動，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，試求物體由x=0運(yùn)動到x=a時(shí)，阻力做的功.解物體的速度v=x(t)=(bt3)=3bt

19、2,媒質(zhì)阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.(其中k為比例常數(shù)，k0)當(dāng)x=0時(shí)，t=0，當(dāng)x=a時(shí)，t=t1=,阻力做的功是：W阻=f阻dx=kv2·vdt=kv3dt=k（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、填空題1.如圖所示，陰影部分面積為.答案g(x)-f(x)dx+f(x)-g(x)dx2.設(shè)f（x）=則f（x）dx=.答案3.設(shè)f(x)=sintdt,則f（f（）=.答案1-cos14.一物體在力F（x）= (單位：N）的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運(yùn)動到x=4（單位：m)處，則力F（x）做的功為J.答案465.一物體在變力F(x)

20、=5-x2(力單位:N,位移單位:m)作用下,沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動,則由x=1運(yùn)動到x=2時(shí)F(x)做的功為J.答案6.函數(shù)F(x)=t(t-4)dt在-1,5上的最大值為，最小值為.答案0-7.汽車以v=3t+2 (單位：m/s）作變速直線運(yùn)動時(shí)，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是 m.答案6.58.若f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx=5,xf(x)dx=,那么函數(shù)f(x)的解析式是.答案f(x)=4x+3二、解答題9.證明：把質(zhì)量為m（單位：kg）的物體從地球的表面升高h(yuǎn)(單位：m)處所做的功W=G·，其中G是地球引力常數(shù)，M是地球的質(zhì)量，k是

21、地球的半徑.證明根據(jù)萬有引力定律：知道對于兩個(gè)距離為r,質(zhì)量分別為m1、m2的質(zhì)點(diǎn)，它們之間的引力為f（r）=G·，其中G為引力常數(shù).則當(dāng)質(zhì)量為m的物體距地面高度為x(0xh)時(shí)，地心對它的引力f（x）=G·.故該物體從地面升到h高處所做的功為W=f（x）dx=G··dx=GMmd（k+x）=GMm|=GMm=G·.10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在點(diǎn)x=1處有極值-2.（1）求常數(shù)a,b的值；（2）求曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積.解（1）由題意知f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2且f(1)=0,即，解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-3x.(2)作出曲線y=x3-3x的草圖，所求面積為陰影部分的面積，由x3-3x=0得曲線y=x3-3x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.所以(-,0)的陰影