微積分05無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程

1、項(xiàng)目四 無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程 實(shí)驗(yàn)1 無(wú)窮級(jí)數(shù)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)） 實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察無(wú)窮級(jí)數(shù)部分和的變化趨勢(shì),進(jìn)一步理解級(jí)數(shù)的審斂法以及冪級(jí)數(shù)部分和對(duì)函數(shù)的逼近. 掌握用Mathematica求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和, 求冪級(jí)數(shù)的收斂域, 展開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù)以及展開(kāi)周期函數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)的方法. 基本命令 1. 求無(wú)窮和的命令Sum 該命令可用來(lái)求無(wú)窮和. 例如,輸入 Sum1/n2,n,l,Infinity則輸出無(wú)窮級(jí)數(shù)的和為 命令Sum與數(shù)學(xué)中的求和號(hào)相當(dāng). 2. 將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的命令Series 該命令的基本格式為 Seriesfx,x,x0,n它將展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù). 冪級(jí)數(shù)的最高次冪為余項(xiàng)用表示. 例如,輸

2、入 Seriesyx,x,0,5則輸出帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林級(jí)數(shù) 3. 去掉余項(xiàng)的命令Normal在將展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)后, 有時(shí)為了近似計(jì)算或作圖, 需要把余項(xiàng)去掉. 只要使用Normal命令. 例如,輸入 SeriesExpx,x,0,6 Normal%則輸出 4. 強(qiáng)制求值的命令Evaluate如果函數(shù)是用Normal命令定義的, 則當(dāng)對(duì)它進(jìn)行作圖或數(shù)值計(jì)算時(shí), 可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題. 例如,輸入fx=NormalSeriesExpx,x,0,3Plotfx,x,-3,3則只能輸出去掉余項(xiàng)后的展開(kāi)式 而得不到函數(shù)的圖形. 這時(shí)要使用強(qiáng)制求值命令Evaluate, 改成輸入 PlotEvaluatef

3、x,x,-3,3則輸出上述函數(shù)的圖形.5. 作散點(diǎn)圖的命令ListPlot ListPlot 為平面內(nèi)作散點(diǎn)圖的命令, 其對(duì)象是數(shù)集,例如,輸入ListPlotTablej2,j,16,PlotStyle->PointSize0,012則輸出坐標(biāo)為的散點(diǎn)圖(圖1.1).圖1.1.6. 符號(hào)“/；”用于定義某種規(guī)則,“/；”后面是條件. 例如,輸入Clearg,gf;gx_:=x/;0<=x<1gx_:=-x/;-1<=x<0gx_:=gx 2/;x>=1則得到分段的周期函數(shù)再輸入 gf=Plotgx,x,-1,6則輸出函數(shù)的圖形1.2.圖1.2注:用Whic

4、h命令也可以定義分段函數(shù), 從這個(gè)例子中看到用“(表達(dá)式)/; (條件)”來(lái)定義周期性分段函數(shù)更方便些. 用Plot命令可以作出分段函數(shù)的圖形, 但用Mathematica命令求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分時(shí)往往會(huì)有問(wèn)題. 用Which定義的分段函數(shù)可以求導(dǎo)但不能積分. Mathematica內(nèi)部函數(shù)中有一些也是分段函數(shù). 如:Modx,1,Absx,Floorx和UnitStepx.其中只有單位階躍函數(shù)UnitStepx可以用Mathematica命令來(lái)求導(dǎo)和求定積分. 因此在求分段函數(shù)的傅里葉系數(shù)時(shí), 對(duì)分段函數(shù)的積分往往要分區(qū)來(lái)積. 在被積函數(shù)可以用單位階躍函數(shù)UnitStep的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)

5、算表達(dá)時(shí), 計(jì)算傅里葉系數(shù)就比較方便了. 實(shí)驗(yàn)舉例 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例1.1 (教材 例1.1)(1) 觀察級(jí)數(shù)的部分和序列的變化趨勢(shì).(2) 觀察級(jí)數(shù)的部分和序列的變化趨勢(shì).輸入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n,100;ListPlotdata;NSum1/k2,k,InfinityNSum1/k2,k,Infinity,40則輸出(1)中級(jí)數(shù)部分和的變化趨勢(shì)圖1.3.圖1.3級(jí)數(shù)的近似值為1.64493.輸入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata,PlotStyle->PointSize0.02;則輸出(2)中級(jí)

6、數(shù)部分和的的變化趨勢(shì)圖1.4.圖1.4例1.2 畫(huà)出級(jí)數(shù)的部分和分布圖.輸入命令Clearsn,g;sn=0;n=1;g=;m=3;While1/n>10-m,sn=sn+(-1)(n-1)/n;g=Appendg,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showg,PlotRange->-0.2,1.3,Axes->True;則輸出所給級(jí)數(shù)部分和的圖形,從圖中可觀察到它收斂于0.693附近的一個(gè)數(shù).例1.3 設(shè) 求. 輸入Cleara;an_=10n/(n!);vals=Tablean,n,1,25;ListPlotva

7、ls,PlotStyle->PointSize0.012則輸出的散點(diǎn)圖,從圖中可觀察的變化趨勢(shì). 輸入 Suman,n,l,Infinity則輸出所求級(jí)數(shù)的和.求冪級(jí)數(shù)的收斂域 例1.4 求的收斂域與和函數(shù). 輸入Cleara;an_=4(2n)*(x-3)n/(n+1);stepone=an+1/an/Simplify則輸出 再輸入 steptwo=Limitstepone,n->Infinity則輸出 這里對(duì)an+1和an都沒(méi)有加絕對(duì)值. 因此上式的絕對(duì)值小于1時(shí), 冪級(jí)數(shù)收斂; 大于1時(shí)發(fā)散. 為了求出收斂區(qū)間的端點(diǎn), 輸入ydd=Solvesteptwo=1,xzdd=So

8、lvesteptwo=-1,x則輸出 由此可知,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散. 為了判斷端點(diǎn)的斂散性, 輸入 Simplifyan/.x->(49/16)則輸出右端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因此,在端點(diǎn)處,級(jí)數(shù)發(fā)散. 再輸入 Simplifyan/.x->(47/16)則輸出左端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因此,在端點(diǎn)處, 級(jí)數(shù)收斂. 也可以在收斂域內(nèi)求得這個(gè)級(jí)數(shù)的和函數(shù). 輸入 Sum4(2n)*(x-3)n/(n+1),n,0,Infinity則輸出 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 例1.5 求的6階麥克勞林展開(kāi)式. 輸入 SeriesCosx,x,0,6則輸出 注:這是帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展開(kāi)式.

9、 例1.6 求在處的6階泰勒展開(kāi)式.輸入 SeriesLogx,x,1,6則輸出例1.7 求的5階泰勒展開(kāi)式.輸入serl=SeriesArcTanx,x,0,5;Poly=Normalserl則輸出的近似多項(xiàng)式 通過(guò)作圖把和它的近似多項(xiàng)式進(jìn)行比較. 輸入PlotEvaluateArcTanx,Poly,x,-3/2,3/2,PlotStyle->Dashing0.01,GrayLevel0,AspectRatio->l則輸出所作圖形, 圖中虛線為函數(shù),實(shí)線為它的近似多項(xiàng)式.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.求下列級(jí)數(shù)的和:(1) (2) (3) (4) 2. 求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù). 3. 求函數(shù)的

10、6階麥克勞林多項(xiàng)式. 4. 求的6階麥克勞林多項(xiàng)式.5. 設(shè),求的5階和10階麥克勞林多項(xiàng)式,把兩個(gè)近似多項(xiàng)式和函數(shù)的圖形作在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi).實(shí)驗(yàn)2 微分方程（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)） 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?理解常微分方程解的概念以及積分曲線和方向場(chǎng)的概念,掌握利用Mathematica求微分方程及方程組解的常用命令和方法. 基本命令 1. 求微分方程的解的命令DSolve對(duì)于可以用積分方法求解的微分方程和微分方程組,可用Dsolve命令來(lái)求其通解或特解.例如,求方程的通解, 輸入 DSolvey ''x+3y 'x+2yx=0,yx,x則輸出含有兩個(gè)任意常數(shù)C1和C2的通解: 注:在上述命令中,

11、一階導(dǎo)數(shù)符號(hào) ' 是通過(guò)鍵盤(pán)上的單引號(hào) ' 輸入的,二階導(dǎo)數(shù)符號(hào) '' 要輸入兩個(gè)單引號(hào),而不能輸入一個(gè)雙引號(hào).又如,求解微分方程的初值問(wèn)題: 輸入Dsolvey''x+4 y'x+3yx=0,y0=6, y'0=10,yx,x (*大括號(hào)把方程和初始條件放在一起*)則輸出 2. 求微分方程的數(shù)值解的命令NDSolve對(duì)于不可以用積分方法求解的微分方程初值問(wèn)題,可以用NDSolve命令來(lái)求其特解.例如要求方程的近似解, 輸入 NDSolvey'x=yx2+x3,y0=0.5,yx,x,0,1.5 (*命令中的x,0,1.5

12、表示相應(yīng)的區(qū)間*)則輸出 y->InterpolatingFunction0.,1.5,< >注:因?yàn)镹DSolve命令得到的輸出是解的近似值. 首先在區(qū)間0,1.5內(nèi)插入一系列點(diǎn), 計(jì)算出在這些點(diǎn)上函數(shù)的近似值, 再通過(guò)插值方法得到在區(qū)間上的近似解.3. 一階微分方程的方向場(chǎng)一般地,我們可把一階微分方程寫(xiě)為的形式,其中是已知函數(shù). 上述微分方程表明:未知函數(shù)在點(diǎn)處的斜率等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值. 因此,可在平面上的每一點(diǎn), 作出過(guò)該點(diǎn)的以為斜率的一條很短的直線(即是未知函數(shù)的切線). 這樣得到的一個(gè)圖形就是微分方程的方向場(chǎng). 為了便于觀察, 實(shí)際上只要在平面上取適當(dāng)多的點(diǎn),作

13、出在這些點(diǎn)的函數(shù)的切線. 順著斜率的走向畫(huà)出符合初始條件的解,就可以得到方程的近似的積分曲線. 例如,畫(huà)出的方向場(chǎng).輸入<<GraphicsPlotFieldg1=PlotVectorField1,1-y2,x,-3,3,y,-2,2, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->20,25;則輸出方向場(chǎng)的圖形,從圖中可以觀察到, 當(dāng)初始條件為時(shí), 這個(gè)微分方程的解介于和1之間, 且當(dāng)x趨向于或時(shí), 分別趨向于與1. 下面求解這個(gè)微

14、分方程, 并在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出方程的解與方向場(chǎng)的圖解. 輸入sol=DSolvey'x=1-yx2,y0=0,yx,x;g2=Plotsol1,1,2,x,-3,3,PlotStyle->Hue0.1,Thickness0.005;Showg2,g1,Axes->None,Frame->True;則輸出微分方程的解,以及解曲線與方向場(chǎng)的圖形. 從中可以看到, 微分方程的解與方向場(chǎng)的箭頭方向相吻合.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 用Dsolve命令求解微分方程例2.1 求微分方程 的通解. 輸入Clearx,y;DSolvey 'x+2x*yx=x*Exp-x2,yx,x或 DSol

15、veDyx,x+2x*yx=x*Exp-x2,yx,x則輸出微分方程的通解: 其中C1是任意常數(shù). 例2.2 求微分方程在初始條件下的特解. 輸入Clearx,y;DSolvex*y ' x+yx-Expx=0,y1=2 E,yx,x則輸出所求特解: 例2.3 求微分方程的通解. 輸入DSolvey ''x-2y 'x+5yx=Expx*Cos2 x,yx,x/Simplify則輸出所求通解: 例2.4 求解微分方程, 并作出其積分曲線.輸入g1=TablePlotEx+x3/3+c1+x*c2,x,-5,5,DisplayFunction->Identi

16、ty,c1,-10,10,5,c2,-5,5,5;Showg1,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出積分曲線的圖形.例2.5 求微分方程組在初始條件下的特解. 輸入Clearx,y,t;DSolvex' t+xt+2 yt=Expt, y't -xt- yt=0,x0=1,y0=0,xt,yt,t則輸出所求特解: 例2.6 求解微分方程并作出積分曲線.輸入<<GraphicsPlotFieldDSolvey' x-2yx/(x+1)=(x+1)(5/2),yx,x則輸出所給積分方程的解為 下面在同一坐標(biāo)系中作出這個(gè)

17、微分方程的方向場(chǎng)和積分曲線(設(shè)輸入t=Table2(1+x)(7/2)/3+(1+x)2c,c,-1,1;g1=PlotEvaluatet,x,-1,1,PlotRange->-1,1,-2,2,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity;g2=PlotVectorField1,-2y/(x+1)+(x+1)(5/2),x,-0.999,1,y,-4,4,Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01

18、, PlotPoints->20,25,DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出積分曲線的圖形.用NDSolve命令求微積分方程的近似解 例2.7 求初值問(wèn)題:在區(qū)間1.2,4上的近似解并作圖. 輸入fl=NDSolve(1+x*yx)*yx+(1-x*yx)*y'x=0,y1.2=1,y,x,1.2,4則輸出為數(shù)值近似解(插值函數(shù))的形式: y->InterpolatingFunction1.2,4

19、.,< >用Plot命令可以把它的圖形畫(huà)出來(lái).不過(guò)還需要先使用強(qiáng)制求值命令Evalu-ate, 輸入 PlotEvaluateyx/.fl,x,1.2,4則輸出近似解的圖形.如果要求區(qū)間1.2,4內(nèi)某一點(diǎn)的函數(shù)的近似值, 例如,只要輸入 y1.8/.fl則輸出所求結(jié)果3.8341例2.8 求范德波爾(Van der Pel)方程在區(qū)間0,20上的近似解. 輸入Clearx,y;NDSolvey''x+(yx2-1)*y'x+yx=0,y0=0,y'0=-0.5,y,x,0,20;PlotEvaluateyx/.%,x,0,20可以觀察到近似解的圖形.

20、例2.9 求出初值問(wèn)題的數(shù)值解, 并作出數(shù)值解的圖形.輸入NDSolvey''x+Sinx2*y'x+yx=Cosx2,y0=1,y'0=0,yx,x,0,10PlotEvaluateyx/.%,x,0,10;則輸出所求微分方程的數(shù)值解及數(shù)值解的圖形例2.10 洛倫茲(Lorenz)方程組是由三個(gè)一階微分方程組成的方程組.這三個(gè)方程看似簡(jiǎn)單, 也沒(méi)有包含復(fù)雜的函數(shù), 但它的解卻很有趣和耐人尋味. 試求解洛倫茲方程組并畫(huà)出解曲線的圖形.輸入Cleareq,x,y,zeq=Sequencex't=16*yt-16*xt,y't=-xt*zt-yt+4

21、5xt,z't=xt*yt-4zt;sol1=NDSolveeq,x0=12,y0=4,z0=0,xt,yt,zt,t,0,16,MaxSteps->10000;g1=ParametricPlot3DEvaluatext,yt,zt/.sol1,t,0,16,PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None;則輸出所求數(shù)值解的圖形. 從圖中可以看出洛倫茲微分方程組具有一個(gè)奇異吸引子, 這個(gè)吸引子緊緊地把解的圖形“吸”在一起. 有趣的是, 無(wú)論把解的曲線畫(huà)得多長(zhǎng), 這些曲線也不相交.改變初值為輸入sol2=NDSolveeq,x0

22、=6,y0=-10,z0=10,xt,yt,zt,t,0,24,MaxSteps->10000;g2=ParametricPlot3DEvaluatext,yt,zt/.sol2,t,0,24,PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None;ShowGraphicsArrayg1,g2;則輸出所求數(shù)值解的圖形. 從圖中可以看出奇異吸引子又出現(xiàn)了, 它把解“吸”在某個(gè)區(qū)域內(nèi), 使得所有的解好象是有規(guī)則地依某種模式纏繞.實(shí)驗(yàn)習(xí)題 1. 求下列微分方程的通解:(1) (2) (3) (4) 2. 求下列微分方程的特解: (1) (2) 3.

23、 求微分方程在初始條件下的特解.分別求精確解和數(shù)值解并作圖. 4. 求微分方程組的通解. 5. 求微分方程組的特解. 6. 求歐拉方程組的通解. 7. 求方程在區(qū)間0,4上的近似解.實(shí)驗(yàn)3 拋射體的運(yùn)動(dòng)（綜合實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?通過(guò)微分方程建模和Mathematica軟件,在項(xiàng)目一實(shí)驗(yàn)5的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究在考慮空氣阻力的情況下拋射體的運(yùn)動(dòng).問(wèn)題 根據(jù)偵察,發(fā)現(xiàn)離我軍大炮陣地水平距離10km的前方有一敵軍的坦克群正以每小時(shí)50km向我軍陣地駛來(lái),現(xiàn)欲發(fā)射炮彈摧毀敵軍坦克群. 為在最短時(shí)間內(nèi)有效摧毀敵軍坦克,要求每門大炮都能進(jìn)行精射擊,這樣問(wèn)題就可簡(jiǎn)化為單門大炮對(duì)移動(dòng)坦克的精確射擊問(wèn)題. 假設(shè)炮彈發(fā)

24、射速度可控制在0.2km/s至0.5km/s之間,問(wèn)應(yīng)選擇怎樣的炮彈發(fā)射速度和怎樣的發(fā)射角度可以最有效摧毀敵軍坦克. 說(shuō)明 本節(jié)我們研究受到重力和空氣阻力約束的拋射體的射程. 用記拋射體的位置, 其中x軸是運(yùn)動(dòng)的水平方向, y軸是垂直方向. 通過(guò)在的約束下最大化x, 可以計(jì)算出使拋射體的射程最大的發(fā)射角. 假設(shè)時(shí)拋射體(炮彈)在原點(diǎn)(0,0)以與水平線夾角為初始速度為發(fā)射出去. 它受到的空氣阻力為 (3.1)重力為 (3.2)在推導(dǎo)和所滿足的微分方程之前, 補(bǔ)充一點(diǎn)說(shuō)明:雖然我們將位置變量?jī)H寫(xiě)作t的函數(shù),但實(shí)際上位置變量還依賴于幾個(gè)其它的變量或參數(shù). 特別是,x和y也依賴于發(fā)射角、阻力系數(shù)k、

25、質(zhì)量m及重力加速度g等.為了推導(dǎo)x和y的方程, 按照牛頓定律并結(jié)合重力的公式(3.2)和空氣阻力的公式(3.1), 得到微分方程 (3.3) (3.4)根據(jù)前面所述假設(shè)知, 滿足下列初始條件, (3.5)先求解,由方程(3.3),令可將其化為一階微分方程易求出其通解 由 得,所以從通過(guò)積分得到x, 即由 得 所以 (3.6)類似地,可從方程(3.4)解出y. 令 方程化為一階微分方程, 兩端除以m,得再在上述方程兩端乘以積分因子得即 兩端積分得 所以 利用初始條件確定其中的常數(shù)C后, 積分v得到y(tǒng),再次利用初始條件確定任意常數(shù)后,則得到 (3.7)下面我們利用公式(3.6)與(3.7)來(lái)描繪炮

26、彈運(yùn)行的典型圖形.假定炮彈發(fā)射的初速度為0.25km/s, 發(fā)射角為, 輸入Cleara,t,x,y,g,m,kxv_,a_,t_:=(m/k)*v*Cosa Pi/180*(1-Exp-(k/m)*t)yv_,a_,t_:=(g*m/k)(m/k)-t-(m/k)*Exp-(k/m)*t)+(m/k)*v*Sina Pi/180*(1-Exp-(k/m)*t)g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮彈飛行的時(shí)間由炮彈落地時(shí)的條件所確定. 輸入 FindRooty350,55,t=0,t,50則輸出炮彈飛行的時(shí)間 t->57.4124當(dāng)發(fā)射角時(shí), 輸入x350,55, 57.4124/N

27、則輸出炮彈的最大射程為 10888.5 現(xiàn)在我們可以畫(huà)出炮彈運(yùn)行的典型軌跡了. 輸入 ParametricPlotx350,55,t,y350,55,t,t,0,57.4124,PlotRange->0,11000,AxesLabel->x,y則輸出圖3-1. 圖3-1實(shí)驗(yàn)報(bào)告在上述假設(shè)下,進(jìn)一步研究下列問(wèn)題: (1) 選擇一個(gè)初始速度和發(fā)射角,利用Mathematica畫(huà)出炮彈運(yùn)行的典型軌跡.(2) 假定坦克在大炮前方10km處?kù)o止不動(dòng),炮彈發(fā)射的初速度為0.32km/s,應(yīng)選擇什么樣的發(fā)射角才能擊中坦克?畫(huà)出炮彈運(yùn)行的幾個(gè)軌跡圖,通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖形來(lái)說(shuō)明你的結(jié)論的合理性.(3)

28、 假定坦克在大炮前方10km處?kù)o止不動(dòng),探索降低或調(diào)高炮彈發(fā)射的初速度的情況下,應(yīng)如何選擇炮彈的發(fā)射角?從上述討論中總結(jié)出最合理有效的發(fā)射速度和發(fā)射角. (4) 在上題結(jié)論的基礎(chǔ)上,繼續(xù)探索,假定坦克在大炮前方10km處以每小時(shí)50km向大炮方向前進(jìn),此時(shí)應(yīng)如何制定迅速摧毀敵軍坦克的方案? 注:在研究過(guò)程中,還要包括適當(dāng)改變阻力系數(shù)k與炮彈的質(zhì)量m所帶來(lái)的變化.實(shí)驗(yàn)4 蹦極跳運(yùn)動(dòng)（綜合實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?利用Mathematica軟件,通過(guò)微分方程建模,研究蹦極跳運(yùn)動(dòng).問(wèn)題 在不考慮空氣阻力和考慮空氣阻力等多種情況下,研究蹦極跳運(yùn)動(dòng)中,蹦極者與蹦極繩設(shè)計(jì)之間的各種關(guān)系.說(shuō)明 蹦極繩相當(dāng)于一根粗橡皮

29、筋或有彈性的繩子. 當(dāng)受到張力使之超過(guò)其自然長(zhǎng)度,繩子會(huì)產(chǎn)生一個(gè)線性回復(fù)力, 即繩子會(huì)產(chǎn)生一個(gè)力使它恢復(fù)到自然長(zhǎng)度, 而這個(gè)力的大小與它被拉伸的長(zhǎng)度成正比. 在一次完美的蹦極跳過(guò)程中, 蹦極者爬上一座高橋或高的建筑物, 把繩的一頭系在自己身上, 另一頭系在一個(gè)固定物體如橋欄桿上, 當(dāng)他跳離橋時(shí), 激動(dòng)人心的時(shí)刻就到來(lái)了. 這里要分析的是蹦極者從跳出那一瞬間起他的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.首先要建立坐標(biāo)系. 假設(shè)蹦極者的運(yùn)動(dòng)軌跡是垂直的, 因此我們只要用一個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定他在時(shí)刻t的位置. 設(shè)y是垂直坐標(biāo)軸, 單位為英尺, 正向朝下, 選擇為橋平面, 時(shí)間t的單位為秒, 蹦極者跳出的瞬間為 則表示t時(shí)刻蹦極者的位置

30、. 下面我們要求出的表達(dá)式.由牛頓第二定律, 物體的質(zhì)量乘以加速度等于物體所受的力. 我們假設(shè)蹦極者所受的力只有重力、空氣阻力和蹦極繩產(chǎn)生的回復(fù)力. 當(dāng)然, 直到蹦極者降落的距離大于蹦極繩的自然長(zhǎng)度時(shí), 蹦極繩才會(huì)產(chǎn)生回復(fù)力. 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 假設(shè)空氣阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為1, 蹦極繩回復(fù)力的比例系數(shù)為0.4. 這些假設(shè)是合理的, 所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果與研究所做的蹦極實(shí)驗(yàn)非常吻合. 重力加速度現(xiàn)在我們來(lái)考慮一次具體的蹦極跳. 假設(shè)繩的自然長(zhǎng)度為 蹦極者的體重為160lb,則他的質(zhì)量為斯. 在他到達(dá)繩的自然長(zhǎng)度(即前, 蹦極者的墜落滿足下列初值問(wèn)題: 利用Mathematica求解上述問(wèn)

31、題. 輸入g=32; m=5; L=200; v1t_,y1t_=vt,yt/.DSolvev't=-g-vt/m,y't=vt,v0=0,y0=0,v,y,t則輸出 蹦極者墜落L英尺所用的時(shí)間為t1=t/.FindRooty1t=-L,t,24.00609現(xiàn)在我們需要找到當(dāng)蹦極繩產(chǎn)生回復(fù)力后的運(yùn)動(dòng)初始條件. 當(dāng)時(shí), 蹦極者的墜落滿足方程初始條件為解初值問(wèn)題:v2t_,y2t_=vt,yt/.DSolvev't=-g-vt/m-0.4*(L+yt)/m,y't=vt,vt1=v1t1,yt1=-L,v,y,t則輸出所求解, 這個(gè)解是用復(fù)指數(shù)函數(shù)來(lái)表示的.現(xiàn)在蹦極者的位置由命令bungeeyt_=Ift<t1,y1t,y2t給出, 輸入命令Plotbungeeyt,t,0,40,PlotRange-