微分幾何復(fù)習(xí)學(xué)生用

1、 微分幾何復(fù)習(xí)題 一、填空題1. 向量具有固定方向，則= 。2. 非零向量滿足的充要條件是 。3. 若向量函數(shù)滿足，則具有固定 。4. 曲線的正常點(diǎn)是指滿足 的點(diǎn).5. 曲線在任意點(diǎn)的切向量為 。6. 曲線在點(diǎn)的切向量為 。7. 曲線在點(diǎn)的切向量為 。 8. 設(shè)曲線在P點(diǎn)的切向量為，主法向量為，則過P由確定的平面是曲線在P點(diǎn)的 。9. 若是曲線的正則點(diǎn)，則曲線在的密切平面方程是 。10. 曲線在點(diǎn)的單位切向量是，則曲線在點(diǎn)的法平面方程是 。11. 一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。 12. 曲線在t = 1點(diǎn)處有，則曲線在 t = 1對應(yīng)的點(diǎn)處其撓率= 。13. 曲線x=cost，y

2、=sint, z=t在t=0處的切線方程是 。14. 曲線的主法向量的正向總是指向 。15. 空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量 。16. 曲線的曲率是 。17. 曲線的撓率是 。18. 一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是 。19. 曲率為0的曲線是 , 撓率為0的曲線是 。20. 設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為 。21. 設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為 。22. 曲線在點(diǎn)的單位切向量是，則曲線在點(diǎn)的向量式法平面方程是 。23. 曲線在點(diǎn)的主法向量是，則曲線在P點(diǎn)的從切平面方程是 。24. 設(shè)曲線，其中s為曲線的自然參數(shù)，則 。25. 半徑為1的圓的撓率= 。26. 曲線在P點(diǎn)的撓率0 時(shí)，表明曲線

3、由下往上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)成右旋曲線.27. 向量函數(shù)=(t)對任意t有(t)(t)的充要條件是 。28. 已知曲線=(t)在P點(diǎn)的單位切向量為=(0,1,0)，單位主法向量=(0,0,1)，則曲線在P點(diǎn)的單位副法向量= 。29. 曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都是的 的不變量。31. 若點(diǎn)(u0, v0)為曲面的正則點(diǎn)，則在(u0, v0)滿足 。32. 曲面在點(diǎn)的法線方程是 。33. 如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 。34. 已知曲面的第一類基本量為E、F、G，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是 。35. 對曲面有,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t (t &

4、gt;)的弧長s = 。36. 若曲面在(0，1)點(diǎn)處的第二基本形式，則在(0，1)點(diǎn)處， 。其中為曲面的單位法向量。37. 已知曲面的第二類基本量L、M、N，則曲面上漸近曲線的微分方程是 。38. 撓率 的曲線其副法向量是常向量。 39. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是40. 曲面上一曲線，如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向，則稱該曲線為 。41. 半徑為R的球面的高斯曲率K= 。42在曲面上圓點(diǎn)，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系 。43曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是 。44曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)的充要條件是 。45極小曲面是指 的曲面。46曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向

5、的 的最大值和最小值.47兩個(gè)曲面之間的變換是保角變換的充要條件是 。48設(shè)曲面在點(diǎn)P處有兩個(gè)同號的主曲率，則按高斯曲率的符號分類，此點(diǎn)是曲面的 。49法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.50距離單位球面球心距離為d (0<d<1)的平面與球面的交線的曲率為 ，法曲率為 。51在臍點(diǎn)處曲面的第一、第二類基本量滿足 , 把第二類基本量L=M=N=0的臍點(diǎn)稱為 。52法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是 方向.53平面的第一基本形式為 。54懸鏈面的第一類形式是 。55正螺面的第一基本形式是 。56

6、函數(shù)是主曲率的充要條件是 。57方向是主方向的充要條件是 。58根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則 ，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。59若曲面S為平面,則其第二基本形式= 。60曲面上使 的點(diǎn)叫做曲面上的正常點(diǎn). 61曲面之間的一個(gè)變換，如果使兩曲面間對應(yīng)曲線的交角相等，則稱這個(gè)變換為 。62若曲面在(0, 1)點(diǎn)處的第二基本形式=du2+3dv2, 為曲面的單位法向量，則在(0, 1)點(diǎn)處，= 。二、單項(xiàng)選擇題1曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是 ( )A. 直線； B. 圓； C. 圓柱螺線； D. 平面曲線 2曲線的下列各量中, 不是容許參數(shù)變換下的不變量的是是 ( )A. 曲率； B

7、. 撓率； C. 弧長； D. 切向量3過空間曲線上點(diǎn)（非逗留點(diǎn)）的切線和點(diǎn)的鄰近點(diǎn)的平面，當(dāng)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，平面的極限位置是曲線在點(diǎn)的 ( )A. 法平面； B. 密切平面； C. 從切平面； D. 切線面4. 圓柱螺線在點(diǎn)的切線為 ( )A； B. ；C. ； D.。5. 圓柱螺線的切線與軸 ( ). 平行； . 垂直；. 有固定夾角； . 有固定夾角。6. 設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的基本向量下列敘述錯(cuò)誤的是 ( ) . 為單位向量； . ；. ； . 。7. 直線的曲率k為 ( ). ；. ； .；.。8. 關(guān)于平面曲線的曲率,為自然參數(shù), 不正確的是 ( ). ； . ，為的旋

8、轉(zhuǎn)角；. ； . 。9. 設(shè)曲線在P(s)點(diǎn)的基本向量是,則下列論述不正確的是( ). 均為單位向量； . ；. ； . 。10. 曲線在點(diǎn)的切線與軸關(guān)系為 ( ). 垂直；. 平行； . 成的角；. 成的角。11. 曲線在P(s)點(diǎn)的基本向量是，曲率k(s)，撓率，則下式 ( )不正確。A. ； B. ； C. ； D. 。12. 平面曲線的密切平面與曲線所在平面 （ ） A. 相交； B. 平行； C. 重合； D. 垂直。13. 下面曲線中是一般螺線的是 （ ） A. 平面曲線； B. 圓柱螺線； C. 直線； D. 球面曲線。14. 曲線在P(t)點(diǎn)的曲率為k , 撓率為，則下列式子(

9、 )不正確。A. ； B. ； C. ； D. 。15. 對于向量函數(shù)，若，則( )A是定長向量； B. 定長向量；C是定向向量； D. 是定向向量。16. 空間曲線的形狀由( )決定A 由曲率和撓率； B. 僅由曲率；C 僅由撓率； D. 由參數(shù)的選取.17. 曲率等于零的曲線 ( )A 一定是直線； B. 一定是圓；C 一定是球面上的曲線； D. 一定是平面曲線.18. 圓柱螺線 在任一點(diǎn)的切線與軸的夾角( )A為； B. ； C. 與有關(guān)； D. 與有關(guān)。19. 曲線在P點(diǎn)的基本向量為；在P點(diǎn)的曲率k(s)，撓率為(s)，則k(s)是 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。20.

10、曲面的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是 （ ） A. ； B. ； C. ； D. 。21. 曲面上一點(diǎn)處的兩個(gè)主方向之間的夾角為 ( )A. ； B. ； C. ；D. 不確定。22. 設(shè)曲面的第一、二基本形式分別為 則曲面的兩個(gè)主曲率分別是 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。23. 曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是 ( )A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0；D. F = 0。24. 下面關(guān)于曲面上主方向的說法，不正確的一項(xiàng)是 ( ) A. 臍點(diǎn)處，任何方向都是主方向； B. 非臍點(diǎn)處，主方向垂直；C. 臍點(diǎn)處，無主方向； D. 非臍點(diǎn)處，有

11、且僅有兩個(gè)主方向。25. 在選取曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)時(shí)，曲面的兩個(gè)主曲率k1, k2為 （ ）A. ； B. ； C. ； D. 。26. 設(shè)曲面的第一、二類基本量為和，則曲面的面積為 ( ) A. ； B. ；C. ； D. 27. 在橢圓點(diǎn)處，曲面的第二類基本量滿足 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。28. 在不含臍點(diǎn)的曲面上，坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是（ ）A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0；D. F = 0。29. 反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐拉(Euler)公式是 （ ）A. ； B. ； C. ； D. 。30. 對

12、于曲面的第一基本形式 ( )。A. ； B. ； C. ； D. 。31. 曲面上每一點(diǎn)處的主方向 ( )A. 只有一個(gè)；B. 至少兩個(gè)； C. 只有兩個(gè)；D. 也可能不存在。32. 曲面的第一、第二基本形式分別為，曲面上曲線(C)在P點(diǎn)的曲率k、沿切方向的法曲率為，(C )在P點(diǎn)的主法向量與曲面的單位法向量的夾角為，則下面正確的是 ( )A. ； B. ；C. ； D. 。33. 若在曲面上一點(diǎn), 則曲面在該點(diǎn)的高斯曲率K ( )A. >0； B. < 0； C. = 0； D. 符號不確定。34. 曲面是其單位法向量，下列第二類基本量的計(jì)算中，不正確的是 ( )A. ； B.

13、； C. ；D. 。35. 下列選項(xiàng)中不是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量的是 ( ) A. 兩曲線的夾角； B.曲線的弧長；C. 曲面域的面積； D.在一點(diǎn)沿一方向的法曲率。36. 若在曲面上某點(diǎn)處有EFG=LMN，且L、M、N不全為零，則這點(diǎn)叫曲面的 ( )A. 拋物點(diǎn)； B. 平點(diǎn)； C. 圓點(diǎn)； D. 雙曲點(diǎn)。37. F=M=0的充要條件是曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為 ( )A. 正交網(wǎng)； B. 共軛網(wǎng)； C. 曲率線網(wǎng)； D. 漸近網(wǎng)。38. 若在曲面上一點(diǎn)處有，則這點(diǎn)是曲面的 ( )A. 橢圓點(diǎn)； B. 平點(diǎn)； C. 圓點(diǎn)； D. 臍點(diǎn)。三、判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“×”。1. 曲線上

14、的正常點(diǎn)是指曲率不為零的點(diǎn)。 ( )2. 空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀. ( )3. 向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是 ( )4. 在幾何上副法向量總是指向曲線的凹側(cè). ( )5. 曲線的主法向量正向總是指向曲線的凹側(cè). ( )6. 曲線=(s)為一般螺線的充要條件為. ( )7. 一般螺線的主法線與固定直線一定垂直. ( )8. 空間曲線穿過密切平面和從切平面, 不穿過法平面. ( )9. 空間曲線總穿過法平面和密切平面, 但從不穿過從切平面. ( )10. 空間曲線穿過法平面和從切平面, 不穿過密切平面. ( )11. 圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù). ( )12. 平面曲

15、線的曲率一定為零. ( )13. 圓的曲率和撓率特征是k=常數(shù)，=0. ( )14. 球面曲線的法平面通過球的中心. ( )15. 平面曲線的密切平面一定存在唯一. ( )16. 在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一. ( )17. 若曲線的主法線與固定方向成定角,則該曲線為一般螺線. ( )18. 只有一個(gè)密切平面的曲線是撓率等于零的曲線. ( )19. 密切面固定的曲線是撓率等于零的曲線. ( )20. 在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一. ( )21. 空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀. ( )22. 平面曲線撓率特征為=0。 ( )23. 一般螺線的主法線與固定直

16、線一定垂直. ( )24. 在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一. ( )25. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率線網(wǎng)的充要條件為F=M=0. ( )26. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為漸進(jìn)網(wǎng)的充要條件為L=N=0. ( )27. 在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)漸近方向. ( )28. 在曲面的非臍點(diǎn)處，恰有二個(gè)漸近方向. ( )29. 在曲面的臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)主方向. ( )30. 在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向. ( )31. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0. ( )32. 如果曲面上有直線，則它一定是曲面的漸近線. ( )33. 如果曲面上有直線，則它一定是曲面的曲率線. ( )34. 曲面的第一基本型是正定的. ( ) 33. 設(shè)曲面的第一基本形式為I=Edu2+Gdv2，則u曲線和v曲線的位置關(guān)系為正交. ( )34. I=2du2+6dudv+3dv2可以作為曲面的第一基本形式. ( )35. 設(shè)曲面的第一基本形式為I=2du2+5dv2，則曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng). ( )36. 設(shè)曲面, 如果，則曲面上的所有曲線都是曲率線. ( ) 四、解答題1.