廣東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題附詳細(xì)答案

1、2013年廣東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題及答案一、填空題（每小題8分，滿分64分）1、已知，則_.2、不等式的解集為_.3、已知(表示不超過x的最大整數(shù))，設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解為，則_.4、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，一只蟲子從原點(diǎn)O出發(fā)，沿軸正方向或軸正方向爬行（該蟲子只能在整點(diǎn)處改變爬行方向），到達(dá)終點(diǎn)A的不同路線數(shù)目記為. 則_.5、將一只小球放入一個(gè)長(zhǎng)方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸若小球上一點(diǎn)P到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5，則這只小球的半徑為_.6、將表示成兩個(gè)型分?jǐn)?shù)的乘積的不同方法數(shù)是_.（其中與是同一種表示方法）7、設(shè)E為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，分別在邊AD、BC上任取兩點(diǎn)

2、P、Q，則PEQ為銳角的概率為_.8、已知實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根，則使得成立的正實(shí)數(shù)的最大值為_.二、解答題（第一道小題滿分16分，后兩道小題每題滿分20分）9、已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意，都有問：是否存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立？10、已知兩點(diǎn)，設(shè)A，B，M是橢圓上三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求的值.11、已知，兩個(gè)有限正整數(shù)集合滿足：（這里用表示集合的元素個(gè)數(shù)）.平面向量集滿足. 證明：一、填空題（每小題8分，滿分64分）1、解：0或已知兩式平方相加，得或0或2、解：原不等式等價(jià)于設(shè)，則在R上單調(diào)增.所以，原不等式等價(jià)于3、解：.由于，所以當(dāng)時(shí)，原方程即；當(dāng)時(shí)，原方程即.4、解

3、：猜測(cè)，可歸納證明.5、解：3或11.分別以三個(gè)面兩兩的交線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，小球圓心O坐標(biāo)為所以，6、解：24.設(shè)是正整數(shù)，滿足的正因數(shù)的個(gè)數(shù)為.注意到與是相同的表示方法，故所求的方法數(shù)為.7、解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，.則從而，. 又.故所求概率為兩直線及曲線所圍成圖形的面積與邊長(zhǎng)為1的正方形的面積之比，即8、解：不妨設(shè)，方程的兩實(shí)根為.由韋達(dá)定理，從而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、解答題（第一道小題滿分16分，后兩道小題每題滿分20分）9、解：在中，令，得若存在常數(shù)使得，則，.由于，上式兩邊同除以，得所以，即存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立.10、解：設(shè)，則 由，得.M在橢圓上， 綜合得，又線段的中點(diǎn)為，上式表明，點(diǎn)N在