一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式時(shí)，其求根公式為：；若兩根為，當(dāng)0時(shí)，則兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問(wèn)題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來(lái)小小的幫助。 一、根據(jù)判別式，討論一元二次方

2、程的根。 例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？ 分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。    解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，                    解得；      

3、60;  方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，                    解得；        于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是        其中，的整數(shù)值有或        當(dāng)時(shí)，

4、方程（1）為，無(wú)整數(shù)根；        當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。 解得：         所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。 說(shuō)明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。 二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。 例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。 分析：對(duì)于來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常

5、數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定 或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負(fù)情況。 解：，4×2×(7)650  方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 設(shè)方程的兩個(gè)根為，  0 原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。  說(shuō)明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。 三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出

6、另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。   例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。  分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。 解法一：把代入原方程，得：   即 解得 當(dāng)時(shí)，原方程均可化為： ， 解得： 方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。 解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為， 根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得： ， ，把代入，可得：&#

7、160;把代入，可得： ， 即 解得 方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。  說(shuō)明：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。 例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。  分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。 解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，  解這個(gè)不等式，得0 設(shè)方程兩根為 則，    整理得： 解得： 又，  說(shuō)明：當(dāng)求出后，還需注意隱含

8、條件，應(yīng)舍去不合題意的。  四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由， 解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根， 則有   又、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：      假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可能：    （1）        （2）

9、60;若， 則有： ； 即有： 解這個(gè)不等式組，得 時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。      若 ，   則有： 即有： 解這個(gè)不等式組，得； 又，當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào)   說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們

10、重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。 六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例：已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。 分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。  解法一：由于是方程的實(shí)數(shù)根，所以 設(shè)，與相加，得： ）  （變形目的是構(gòu)造和） 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有： ， 于是，得：  =0 解法二：由于、是方程的實(shí)數(shù)根，       說(shuō)明：既要熟悉問(wèn)題

11、的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。 有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。這類問(wèn)題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來(lái)一直受到命題老師的青睞。 七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例8：已知兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。 分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。 解：

12、設(shè)兩方程的相同根為，  根據(jù)根的意義，            有                               兩式相減，得     當(dāng)時(shí)， ，方程的判別式

13、                        方程無(wú)實(shí)數(shù)解            當(dāng)時(shí)， 有實(shí)數(shù)解             代入原方程，得， 

14、60;          所以            于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為             說(shuō)明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解： 當(dāng)時(shí)，兩方程相同，方程的另一

15、根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：； （2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：          且 另外還應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義。 【趁熱打鐵】 一、填空題： 1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么           。 2、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則  &

16、#160;   。 3、已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則         。 4、已知是方程的兩個(gè)根，那么：         ；        ；         。 5、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則  

17、60;     ；           。 6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是           ，的值為           。 7、已知是的一根，則另一根為     

18、  ，的值為       。 8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為：         。 二、求值題： 1、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。 2、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。 3、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。 4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。 5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的

19、值及方程的兩個(gè)根。 6、已知方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。 三、能力提升題： 1、實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？ 2、已知關(guān)于的一元二次方程    （1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。    （2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，求的值。 3、若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。 4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 5、已知關(guān)于的一元二

20、次方程（）的兩實(shí)數(shù)根為，若，求的值。 6、實(shí)數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式 的值。 答案與提示： 一、填空題： 1、提示：， ，解得： 2、提示：，由韋達(dá)定理得：， 解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，。 3、提示：由于韋達(dá)定理得：， ，解得：。 4、提示：由韋達(dá)定理得：， ；由，可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：設(shè)0，0，則 ；設(shè)0，0，則。 5、提示：由韋達(dá)定理得：，。 6、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，解得：，即。 7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：， ， 8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么， ，即；設(shè)所求的一元二次方程為： 二、求值題： 1、提示：由韋達(dá)定理得：，  2、提示：由韋達(dá)定理得：，  3、提示：由韋達(dá)定理得：，   4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是