信號(hào)與系統(tǒng)C-2

1、SIGNALS AND SYSTEMS信號(hào)與系統(tǒng)第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析魏昕魏昕南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.1.1 復(fù)指數(shù)信號(hào)2.1.2 單位階躍信號(hào)2.1.3 單位沖激信號(hào)2.1.4 沖激偶信號(hào)2.1.5 斜坡信號(hào)2.1.1 復(fù)指數(shù)信號(hào)stAe 當(dāng)當(dāng)A為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 時(shí)，時(shí)， 為為直流信號(hào)直流信號(hào)。 0sAest 當(dāng)當(dāng)A為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 時(shí)，時(shí)， 為為單調(diào)增長(zhǎng)或衰減的單調(diào)增長(zhǎng)或衰減的

2、實(shí)指數(shù)信號(hào)實(shí)指數(shù)信號(hào)。tstAeAe0，為復(fù)振幅jeAA 復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)，為復(fù)頻率js 復(fù)指數(shù)信號(hào)可用來(lái)表示多種信號(hào)：復(fù)指數(shù)信號(hào)可用來(lái)表示多種信號(hào)：t0)(tf0002.1.1 復(fù)指數(shù)信號(hào)tAjtAAeAetjstsincos 當(dāng)當(dāng)A為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)， 時(shí)，時(shí)，0為為虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)。其實(shí)部為其實(shí)部為等幅余弦信號(hào)等幅余弦信號(hào)，虛部為，虛部為等幅正弦信號(hào)等幅正弦信號(hào)。t0tA0costeAjteAeAeAetttjtstsincos2.1.1 復(fù)指數(shù)信號(hào) 一般情況下，一般情況下，實(shí)部為實(shí)部為增長(zhǎng)增長(zhǎng) 或衰減或衰減 的余弦信號(hào)的余弦信號(hào)，虛部為虛部為增長(zhǎng)增長(zhǎng) 或衰減或衰減 的正弦信號(hào)的正弦

3、信號(hào)。0000t0teAk0cos0t0teAt0cos0為為復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)。返回返回2.1.2 單位階躍信號(hào)0000()1ttu tttt單位階躍信號(hào)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)：00( )10tu tt( )u tt10延遲單位階躍信號(hào)：延遲單位階躍信號(hào)：0()u ttt10t0應(yīng)用階躍信號(hào)和延遲階躍信號(hào)，可以表示任意的矩形信號(hào)。應(yīng)用階躍信號(hào)和延遲階躍信號(hào)，可以表示任意的矩形信號(hào)。t10) 1( tu1t-10) 3( tu3) 3() 1(tutut1013返回返回 工程定義：工程定義：000)(ttt和和1)( dtt)(tt(1)0延遲單位沖激信號(hào)延遲單位沖激信號(hào)0000)(tttttt和和

4、1)(0dttt)(0tt t(1)0t02.1.3 單位沖激信號(hào)（有三種定義方式）（有三種定義方式）兩個(gè)特點(diǎn)兩個(gè)特點(diǎn)：出現(xiàn)時(shí)間極短：出現(xiàn)時(shí)間極短 面積為面積為11 .單位沖激信號(hào)的定義 嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：)(lim)(0tgt0000)0()()0()()()()(dttdtttdttt 作為一個(gè)作為一個(gè)廣義函數(shù)廣義函數(shù) ，單位沖激函數(shù)，單位沖激函數(shù) 作用于任意在作用于任意在 時(shí)時(shí)連續(xù)的普通函數(shù)連續(xù)的普通函數(shù) 的效果是對(duì)的效果是對(duì) （測(cè)試函數(shù)或賦值函數(shù)）賦（測(cè)試函數(shù)或賦值函數(shù)）賦于下面的值：于下面的值：)(t)(t)(t0t 單位沖激信號(hào)可以看成是某些普通函數(shù)的極限單位沖激信號(hào)

5、可以看成是某些普通函數(shù)的極限: :)()(lim0ttfcc2.1.3 單位沖激信號(hào)請(qǐng)放映幻燈片以觀看右側(cè)動(dòng)畫請(qǐng)放映幻燈片以觀看右側(cè)動(dòng)畫 篩選特性：篩選特性：例如：例如：0sin)(sin0ttdttt22sin)41(sin41ttdttt0)(21dtteat在積分區(qū)間在積分區(qū)間(1,2)內(nèi)，被積函數(shù)為內(nèi)，被積函數(shù)為0216sin)6(sin0dttt注意：注意：2 .沖激函數(shù)的性質(zhì)2.1.3 單位沖激信號(hào))()()(00tdtttt 抽樣特性抽樣特性( (加權(quán)特性加權(quán)特性) )：2.1.3 單位沖激信號(hào))()()()(000tttftttf特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) ，有：，有：00t)()

6、0()()(tfttf0)(sin)(sin0ttttt)41(22)41(sin)41(sin41tttttt例如：例如：特別地，有：特別地，有：0)( tt)()(tt 單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)為偶函數(shù)：2.1.3 單位沖激信號(hào) 尺度變換：尺度變換：0,)(1)()(1)(000ataattatattaat為常數(shù)且和 單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)： 此結(jié)論表明，信號(hào)在不連續(xù)處的導(dǎo)數(shù)為沖激信號(hào)，沖激信號(hào)的此結(jié)論表明，信號(hào)在不連續(xù)處的導(dǎo)數(shù)為沖激信號(hào)，沖激信號(hào)的強(qiáng)度就是不連續(xù)點(diǎn)處的跳變值。強(qiáng)度就是不連續(xù)點(diǎn)處的跳變值。)()(tdttduttuttd

7、)(0001)()(反之，例例2-1-1 2-1-1 已知已知 的波形如圖所示，試求的波形如圖所示，試求 ，并畫出其，并畫出其波形圖。波形圖。)2()()(tututtf解：) 2(2)2()()2()()2()()( ttututtttututf波形如下圖波形如下圖:)(tf0t220t(2)1)( tf2)(tf)( tf2.1.3 單位沖激信號(hào)返回返回2.1.4 沖激偶信號(hào) 單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 稱稱為為單位二次沖激函數(shù)單位二次沖激函數(shù)或或沖激偶沖激偶。)( t0t)( t)( )()( )0( )()( 00tdttttdttt)()( )( )()( )()(

8、) 0( )( ) 0()( )(00000tttftttftttftftfttf1.1.篩選特性：篩選特性：2.2.抽樣特性：抽樣特性：22cossin)41( 21241tttdtt：例)()(cos)( sin)( sin00ttttttttt返回返回000)(ttttr)(trt0112.1.5 斜坡信號(hào) 單位斜坡信號(hào)單位斜坡信號(hào)和單位階躍信和單位階躍信號(hào)、單位沖激號(hào)、單位沖激信號(hào)的關(guān)系信號(hào)的關(guān)系: )()(trdutudttdrt )()(tudtdttdut單位斜坡信號(hào)：?jiǎn)挝恍逼滦盘?hào)：延遲單位斜坡信號(hào)：延遲單位斜坡信號(hào)：0000)(tttttttr)(0ttr t010t10t第二

9、章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)離散信號(hào)的表示方法：離散信號(hào)的表示方法：1. 解析式解析式, 2, 1, 0, 1, 2,2) 1()(kkkkf2. 序列形式序列形式, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3)(kf3. 圖形圖形)(kfk01231232462.2 典型離散時(shí)間信號(hào)序列的分類序列的分類1.1.雙邊序列雙邊序列 序列序列 f (k) 對(duì)所有的整數(shù)對(duì)所有的整數(shù) k 都存在確定的非零值。都存在確定的非零值。2.2.單邊

10、序列單邊序列有始序列（右邊序列）：有始序列（右邊序列）：0)(1kfkk時(shí)，當(dāng)有終序列（左邊序列）：有終序列（左邊序列）：0)(2kfkk時(shí)，當(dāng)列的有始序列稱為因果序01k序列的有終序列稱為反因果02k3.3.有限序列有限序列區(qū)間有非零確定值。僅在序列21)(kkkkf2.2 典型離散時(shí)間信號(hào)第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.2.1 復(fù)指數(shù)序列2.2.2 單位脈沖序列2.2.3 單位階躍序列 若若 A 為實(shí)數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，設(shè) ,

11、則則 為為直流序列直流序列。0AAek 當(dāng)當(dāng)A為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 時(shí)，時(shí)， 為為實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列。kkAeAe00復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 復(fù)指數(shù)序列可用來(lái)表示多種信號(hào)：復(fù)指數(shù)序列可用來(lái)表示多種信號(hào)：2.2.1 復(fù)指數(shù)序列kAekf)(其中，其中，A 和和 可以是實(shí)常數(shù)，可以是實(shí)常數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。也可以是復(fù)數(shù)。,jeAA 0jk0A12 3 4-1k0kAe012 3 4-1k0kAe012 3 4-1 若若 ,則則 為為虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列。0kjkAeAe02.2.1 復(fù)指數(shù)序列根據(jù)歐拉公式，上式可寫成根據(jù)歐拉公式，上式可寫成kjkAAekfkj00sincos)(0 可見，虛指序列的實(shí)部

12、和虛部都是正弦序列?？梢?，虛指序列的實(shí)部和虛部都是正弦序列。當(dāng)滿足當(dāng)滿足 為有理數(shù)時(shí)，虛指序列才是周期序列。為有理數(shù)時(shí)，虛指序列才是周期序列。20k0 kA0cos0 一般情況下，若一般情況下，若 均為復(fù)數(shù)，則均為復(fù)數(shù)，則 為為復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列。, A2.2.1 復(fù)指數(shù)序列)sin()cos(00kjkeAAekk其實(shí)部和虛部均為其實(shí)部和虛部均為變幅的正弦序列變幅的正弦序列。k0 keAk0cos0k0 keAk0cos0返回返回任意序列任意序列 f (k) 可以表示為可以表示為一系列延時(shí)單位函數(shù)的加權(quán)和：一系列延時(shí)單位函數(shù)的加權(quán)和：) 1() 1 ()()0() 1() 1()2()2(

13、)(kfkfkfkfkfnnknf)()(單位脈沖序列：?jiǎn)挝幻}沖序列：延遲單位脈沖序列：延遲單位脈沖序列：0001)(kkknknknk01)( 篩選特性：篩選特性：)()()(nfnkkfk)()()()(nknfnkkf 加權(quán)特性：加權(quán)特性：2.2.2 單位脈沖序列)(nk111k2n0)(k1131k2返回返回0001)(kkkunknknku01)(的關(guān)系：與)()(kku) 1()()(kukuk)()(tutddt 和連續(xù)信號(hào)做比較和連續(xù)信號(hào)做比較dtut)()( )(nkukn單位階躍序列：?jiǎn)挝浑A躍序列：延遲單位階躍序列：延遲單位階躍序列：2.2.3 單位階躍序列11nk0)(n

14、kun2n3n1131k20)(ku第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.3.1 替換自變量的運(yùn)算2.3.2 信號(hào)的導(dǎo)數(shù)與積分2.3.3 信號(hào)的相加與相乘2.3.1 替換自變量的運(yùn)算1.1.翻轉(zhuǎn)（折疊）：翻轉(zhuǎn)（折疊）：)()(tftftt1)(tft012-21)( tf t0-1從波形上看，從波形上看， 與與 的波形相對(duì)于縱軸對(duì)稱。的波形相對(duì)于縱軸對(duì)稱。或者說(shuō)或者說(shuō) 以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180即可得到即可得到 。)(

15、tf)( tf )(tf)( tf 2.3.1 替換自變量的運(yùn)算2.2.尺度變換：尺度變換：)()(atftfatt 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，從波形上看，時(shí)，從波形上看， 是把是把 的波形以坐標(biāo)原的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿時(shí)間軸壓縮點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿時(shí)間軸壓縮(當(dāng)當(dāng)a1時(shí)時(shí))或擴(kuò)展或擴(kuò)展(0a1時(shí)時(shí))至原來(lái)至原來(lái)的的 倍。倍。)(tf)(atfa11)(tft0121)2( tft01 1/21)21( tft042 當(dāng)當(dāng) a0時(shí)，時(shí)， 是把是把 的波形向左移的波形向左移b)(tf)(btf當(dāng)當(dāng)b返回返回)(tft101)( tft（1）01（1） 在在 f (t) 的不連續(xù)點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)中會(huì)含有的不連續(xù)點(diǎn)處，

16、導(dǎo)數(shù)中會(huì)含有沖沖激函數(shù)激函數(shù)，沖激的強(qiáng)度為間斷點(diǎn)處的跳變值。，沖激的強(qiáng)度為間斷點(diǎn)處的跳變值。 記作記作 或或 ，它的值是信號(hào)，它的值是信號(hào)f (t) 在任意時(shí)刻在任意時(shí)刻 t的變化率。的變化率。dttdf)()( tf1.1.信號(hào)的導(dǎo)數(shù)：信號(hào)的導(dǎo)數(shù)：2.2.信號(hào)的積分信號(hào)的積分: : 記作記作 或或 。)() 1(tftdf)( 從圖形上看，它在任意從圖形上看，它在任意 t 時(shí)刻的值是從時(shí)刻的值是從- 到到 t 區(qū)間，區(qū)間，f(t)與時(shí)間軸所包圍的面積。與時(shí)間軸所包圍的面積。 )() 1(tft1012.3.2 信號(hào)的導(dǎo)數(shù)與積分 )()(1trtututr )()(1tutttu 常用信號(hào)的導(dǎo)

17、常用信號(hào)的導(dǎo)數(shù)積分關(guān)系數(shù)積分關(guān)系:返回返回)(1tft202)()(21tftft10122)(2tft1012.3.3 信號(hào)的相加與相乘 兩個(gè)信號(hào)兩個(gè)信號(hào)相加與相乘相加與相乘，是將它們，是將它們?cè)谕凰查g在同一瞬間的值相加或的值相加或相乘。相乘。 )(1tft202)(2tft101)()(21tftft101第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.10 系統(tǒng)的全響應(yīng) 作業(yè)2.5.1 交、直流分解2.5.2 奇、偶分解2.5.3 實(shí)部

18、、虛部分解2.5.4 脈沖分解)()()(tftftfAD2.5.1 交、直流分解信號(hào)可以分解為直流分量和交流分量之和：信號(hào)可以分解為直流分量和交流分量之和： 直流分量：直流分量：指信號(hào)在定義域區(qū)間上的平均值，對(duì)應(yīng)于信指信號(hào)在定義域區(qū)間上的平均值，對(duì)應(yīng)于信號(hào)中不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定分量。號(hào)中不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定分量。 交流分量：交流分量：除去直流分量后的部分。除去直流分量后的部分。t0 tft0 tfAt0 tfD返回返回2.5.2 奇、偶分解任意波形的信號(hào)也可以分解為偶分量與奇分量之和：任意波形的信號(hào)也可以分解為偶分量與奇分量之和：)()()()(21)()(21)()()()(21)(txtxt

19、xtxtxtxtxtxtxtxtxoe返回返回2.5.3 實(shí)部、虛部分解如果是復(fù)數(shù)信號(hào)，可以分解為實(shí)部分量如果是復(fù)數(shù)信號(hào)，可以分解為實(shí)部分量 和虛部分和虛部分量量 兩部分：兩部分：)(tfr)(tfi)()()(tftftfir返回返回2.5.4 脈沖分解1. 連續(xù)信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合連續(xù)信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合)(tx0tt10)(tg各個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的矩形脈沖可表示如下：各個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的矩形脈沖可表示如下：) 0 ( x)2 ( x)( nx2nnttt20 ntgnxtgxtgx220nntgnxtx)()()(折線可以看作這些矩形脈折線可以看作這些矩形脈沖的疊加，即沖的疊

20、加，即定義如下矩形脈沖，顯然定義如下矩形脈沖，顯然 ttg)(lim01)(tgt0nntgnxtx)()(lim)(0,),()(,0的積分求和變成對(duì)連續(xù)變量成為，成為新的連續(xù)變量記作時(shí)，當(dāng)tntgnddtxtx)()()(即解釋：解釋： 疊加起來(lái)構(gòu)成的。沖激信號(hào)分量連續(xù)出現(xiàn)的可以看成是由無(wú)窮多個(gè)說(shuō)明任意波形的信號(hào))()()(. 1tdxtx疊加起來(lái)構(gòu)成的。形脈沖信號(hào)分量個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的矩也可以看成是由無(wú)窮多任意波形的信號(hào))()()(. 2dtxtx過(guò)程中可視為常數(shù)）。是積分參變量（在積分是積分變量，t. 3nntgnxtx)()()( 任意波形的信號(hào)也可以近似表示為無(wú)窮多個(gè)階躍信號(hào)之和任意波形

21、的信號(hào)也可以近似表示為無(wú)窮多個(gè)階躍信號(hào)之和（分解過(guò)程略）：（分解過(guò)程略）：dtuxtx)()( )( 利用后面將要介紹的卷利用后面將要介紹的卷積性質(zhì)，可以很方便地證明積性質(zhì)，可以很方便地證明這一結(jié)論。這一結(jié)論。2.5.4 脈沖分解)(tx) 0 ( x)( xt第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.6.1 沖激響應(yīng)的定義2.6.2 沖激響應(yīng)的求取2.6.1 沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下的響應(yīng)。零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信

22、號(hào)作用下的響應(yīng)。)(th0)0 (nqS)(t單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(t)：( (簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)) )系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可以表征系統(tǒng)本身的特性，換句話說(shuō)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可以表征系統(tǒng)本身的特性，換句話說(shuō)，不同的系統(tǒng)就會(huì)有不同的沖激響應(yīng)。不同的系統(tǒng)就會(huì)有不同的沖激響應(yīng)。返回返回二二. .沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù))()( )()()()( )( )( )()(thtsthtttutstutstu，則，而由于由線性特性可知：躍響應(yīng)，則其零狀態(tài)響應(yīng)為階勵(lì)為設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的激一一. .對(duì)于簡(jiǎn)單的電路，直接列微分方程求解對(duì)于簡(jiǎn)單的電路，直接列微分方程求解* *2.6.2

23、沖激響應(yīng)的求取三三. .求解描述系統(tǒng)的線性常微分方程求解描述系統(tǒng)的線性常微分方程. .簡(jiǎn)單的情況：簡(jiǎn)單的情況： 方程右邊為方程右邊為)(tx* *. .一般情況：一般情況：方程右邊含有的各階導(dǎo)數(shù)方程右邊含有的各階導(dǎo)數(shù))(tx 間接法間接法 直接法直接法設(shè)描述設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：)()()( )()(01) 1(1)(txtyatyatyatyannnn即則若)()(),()(thtyttx)()()( )()(01) 1(1)(tthathathathannnn：上式變?yōu)辇R次微分方程時(shí)，當(dāng), 0)(0tt2.6.2 沖激響應(yīng)的求取. .簡(jiǎn)單的情況：簡(jiǎn)單的情況

24、： 方程右邊為方程右邊為)(tx同。與微分方程的齊次解相即沖激響應(yīng))(th0)()( )()(01) 1(1)(thathathathannnn微分方程就可以了。個(gè)初始條件，求解齊次只要找出該系統(tǒng)的n處連續(xù)）。冪函數(shù)項(xiàng)（在的正項(xiàng)中含有處不連續(xù)），在其余各含有階躍函數(shù)項(xiàng)（在中中含有沖激函數(shù)項(xiàng)，在中。即只能包含在激函數(shù)項(xiàng)，并且，等式的左邊應(yīng)含有沖其次：為了使方程平衡，所以首先：因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)00)()(:)(0)0()0( )0()1()()()1(tttthththhhhnnnn2.6.2 沖激響應(yīng)的求取)()()( )()(01) 1(1)(tthathathathannnn（1）找出）找出

25、n 個(gè)初始條件：個(gè)初始條件：)0()0() 1() 1(nnhh即：0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0()2()2(hhhhhhnn對(duì)微分方程兩邊取積分對(duì)微分方程兩邊取積分1)()()()(000000000) 1(1)(dttdtthadtthadtthannnn上式左邊只有第一項(xiàng)不為零，其余各項(xiàng)都為零，即：上式左邊只有第一項(xiàng)不為零，其余各項(xiàng)都為零，即：1)0()0() 1() 1(nnnhhannah1)0() 1(因此得到在因此得到在 t = 0+ 時(shí)的時(shí)的 n 個(gè)初始條件為：個(gè)初始條件為：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0() 1()3()2(2.6.2 沖

26、激響應(yīng)的求取1)0()0()0()0()2()2(1)1()1(nnnnnnhhahha2.6.2 沖激響應(yīng)的求?。?）求解齊次微分方程：）求解齊次微分方程：0)()( )()(01) 1(1)(tyatyatyatyannnn其特征方程為：其特征方程為：00111aaaannnn求出特征根求出特征根n,21當(dāng)特征根均為單根時(shí)，可寫出當(dāng)特征根均為單根時(shí)，可寫出齊次解的通解形式齊次解的通解形式： tuecthnitii1將將n個(gè)初始條件代入上式，求出系數(shù)，即可得到系統(tǒng)的沖激個(gè)初始條件代入上式，求出系數(shù)，即可得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)響應(yīng) 。 th例：已知系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。例：已知系統(tǒng)的

27、微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。)()(2)( 3)( tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)( 212解得：特征方程：即：tththth)()(2)( 3)( txtytyty)()()(:221tuekekthtt齊次微分方程的通解為代入初始條件：0)0(1)0( hh解得：0122121kkkk有：1121kk)()()(2tueethtt2.6.2 沖激響應(yīng)的求取 其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有：其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有： 變換域的方法：變換域的方法：傅立葉變換法、拉普拉斯變換法傅立葉變換法、拉普拉斯變換法 實(shí)驗(yàn)法：實(shí)驗(yàn)法：觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)曲

28、線觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)曲線或單位階躍響應(yīng)曲線?；騿挝浑A躍響應(yīng)曲線。第二章 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.2 典型離散時(shí)間信號(hào) 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算 2.5 信號(hào)的時(shí)域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.8.1 卷積分析法的引出2.8.2 確定卷積積分限的公式2.8.3 卷積的圖解2.8.4 卷積積分的性質(zhì)2.8.1 卷積分析法的引出 時(shí)域分析時(shí)域分析1.1.計(jì)算零輸入響應(yīng)：計(jì)算零輸入響應(yīng)：求解微分方程的齊次解求解微分方程的齊次解2.2.計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)：計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)：經(jīng)典法經(jīng)典法：求解微分方程的非齊次解：求解

29、微分方程的非齊次解卷積分析法卷積分析法 變換域分析變換域分析（第（第3 3章介紹）章介紹）對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè))()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht則當(dāng)?shù)木矸e積分與稱為記作)()()()()()()(thtxdthxthtxty 過(guò)程：過(guò)程： 首先把任意信號(hào)分解為基本單元信號(hào)（這里是指沖激信號(hào)）；首先把任意信號(hào)分解為基本單元信號(hào)（這里是指沖激信號(hào)）； 然后研究系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)）然后研究系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)） ； 再根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號(hào)單獨(dú)作

30、用于再根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號(hào)單獨(dú)作用于 系統(tǒng)時(shí)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來(lái)。系統(tǒng)時(shí)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來(lái)。)(ty0)0 (nqS)(tx2.8.1 卷積分析法的引出返回返回都是有始函數(shù)時(shí)，設(shè)和當(dāng))()(thtx)()()(),()()(211ttuththttutxtxdttuthtuxthtxty)()()()()()()(21則0)(00)(0222111ttutttttutt）時(shí)，（即以及）時(shí)，（即考慮到)()()()()()(21121tttudthxthtxtyttt2.8.2 確定卷積積分限的公式 作用所引起的。）期間所有分量的共同，在（是由激勵(lì)。其物

31、理意義是：響應(yīng)，上限應(yīng)當(dāng)為下限應(yīng)當(dāng)為為零。因此，積分時(shí)，被積函數(shù)才可能不只有當(dāng)212121)(.1ttttytttttt 。出現(xiàn)的最早時(shí)刻為時(shí)間才能出現(xiàn)，即響應(yīng)應(yīng)要再到時(shí)刻的激勵(lì)所引起的響義是：意才可能不為零。其物理時(shí)對(duì)于而言，應(yīng)當(dāng)滿足2121121)(.2tttyttttyttt于是有狀態(tài)響應(yīng)。試用卷積分析法求其零系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：已知激勵(lì)信號(hào)例),2()(, 1)(282tuethtxt1)(1)()()()()()()(1)(11)()()(21211121ttttttttteedetudetttudtffthtxtytttututx則，其中解：) 3() 1(1822tuetuett：試

32、計(jì)算卷積：例返回返回)4()4()4()4()4(123132312312)(231tueetueetudeetudeetudeetttttttttt解：原式 圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程，有助于確定圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程，有助于確定積分的上下限。積分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：將)()(. 4thx歸納起來(lái)，卷積的圖解過(guò)程有五個(gè)步驟：歸納起來(lái)，卷積的圖解過(guò)程有五個(gè)步驟：)()(),()(:. 1hthxtxt換元：)()(. 2hh折疊：；值平移一個(gè)位移：把)()(. 3thth時(shí)刻的卷積值。即為的面積乘積曲線與時(shí)間軸之間和積

33、分：tthx)()(. 52.8.3 卷積的圖解0)(,21tyt當(dāng)16144)(2)(, 121221ttdttytt當(dāng)16343)(2)(,231121tdttyt當(dāng)4324)(2)(, 323221ttdttytt當(dāng)0)(, 3tyt當(dāng))()()()2()()(),1(2)21(2)(382thtxtytututthtututx試求卷積，：已知例請(qǐng)放映幻燈片以觀看下面的動(dòng)畫請(qǐng)放映幻燈片以觀看下面的動(dòng)畫 返回返回(1) (1) 交換律交換律)()()()(txththtx1. 卷積代數(shù)2.8.4 卷積積分的性質(zhì)(2) (2) 分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtx

34、ththtx例如：兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)例如：兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián))()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效為：等效為：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。2.8.4 卷積積分的性質(zhì))()()()()()(2121ththtxththtx(3) (3) 結(jié)合律結(jié)合律例如：兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)例如：兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián))(tx)(2th)()()()(21ththtxty)(1th)()(1thtx等效為：等效為：)()(21thth)(tx)()(

35、)()(21ththtxty子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2. 卷積的微分與積分，有設(shè))()()(thtxty(1) (1) 卷積的微分性質(zhì)卷積的微分性質(zhì))()( )( )()( thtxthtxty(2) (2) 卷積的積分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì))()()()()()1()1()1(thtxthtxty2.8.4 卷積積分的性質(zhì)(3) (3) 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì))( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()(

36、)()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交換位置，可得和同理，則，或者只要證明：證明：條件：條件：應(yīng)用微積分性質(zhì)時(shí)，被求導(dǎo)的函數(shù)在應(yīng)用微積分性質(zhì)時(shí)，被求導(dǎo)的函數(shù)在 處應(yīng)為零處應(yīng)為零值，或者被積分的函數(shù)在值，或者被積分的函數(shù)在 區(qū)間的積分值（即函數(shù)波形區(qū)間的積分值（即函數(shù)波形的凈面積）為零值。的凈面積）為零值。t),()()()()()1()1(thtxthtx為整數(shù)以進(jìn)一步推廣為：卷積的微積分性質(zhì)還可jithtxtyj

37、iji,)()()()()()(杜阿密爾積分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty為整數(shù)此性質(zhì)可以推廣為：ithtxtyii)()()()()(當(dāng)當(dāng) i 為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)當(dāng)當(dāng) i 為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)當(dāng)當(dāng)i、j 和和ij為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)當(dāng)當(dāng)i、j 和和ij為正整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)為正整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)2.8.4 卷積積分的性質(zhì)3. 含有沖激函數(shù)的卷積)()()(txttx卷積的重現(xiàn)性質(zhì)卷積的重現(xiàn)性質(zhì)利用微積分性質(zhì)還可以得到利用微積分性質(zhì)還可以得到tdxtutxtxttx)()()()( )( )(推廣到一般情況，有推廣到一般情況，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii2.8.4 卷積積分的性質(zhì))()()(11ttxtttx4. 卷積的時(shí)移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx則則)()()()()(211221tttytthttxtthttx2.8.4 卷積積分的性質(zhì))(1tf22tA)(tfT22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T