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1、高三必過關(guān)題7 平面向量一、填空題例1 給出下列命題,其中不正確的序號是 0= 0; 對于實(shí)數(shù)m和向量(mR),若,則; 若0,則; 對任意向量都成立;對任意向量,有 答案:例2 與= (3,4)平行的單位向量是_;答案: (,)或(,)例3 平面向量與的夾角為60°,則 答案:ABCDE例4已知與為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量與向量垂直,則k=_ 答案: .例5 如圖,正方形ABCD內(nèi)有一個(gè)正,設(shè),則等于 (用、表示)答案: 例6 定義是向量a和b的“向量積”,它的長度其中為向量和的夾角,若則= 答案:例7 如圖,在ABC中,=,P是BN上的一點(diǎn),若=m+,則實(shí)數(shù)的值為_
2、.解析: C N M QP BA ,設(shè)則,例8. 已知直角梯形中,/,是腰上的動點(diǎn),則的最小值為_.答案:5例9 如圖,設(shè)P、Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且, ,則ABP的面積與ABQ的面積之比為 解析:設(shè),則,由平行四邊形法則,知NPAB,所以,同理可得, 故 DC AB例10 如圖,在中,是邊上一點(diǎn),則解析:=例11 設(shè)函數(shù),為坐標(biāo)原點(diǎn),為函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)的點(diǎn),向量,設(shè)的夾角,則 解析:,即為向量與x軸的夾角,所以,所以例12 已知,且關(guān)于x的函數(shù)在R上有極值,則與的夾角范圍為 解析:在R上有極值方程0在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則,設(shè)向量的夾角為,則,所以例13已知、是直線上的不同的三點(diǎn),是外一點(diǎn)
3、,向量、滿足:,記,則函數(shù)的解析式為 解析:,又、B、C在同一條直線上, 即例14 已知是銳角的外接圓的圓心,且,若,則= 。(用表示)解析 即是,已知等式兩邊同乘以,可得在中,因此上式即為,即例15若,均為單位向量,且,(-)·(-)0,則|+-|的最大值為 .解析:由(-)·(-)0,得,又 且,均為單位向量,得,|+-|2=(+-)2=,故|+-|的最大值為1.例16如圖,半圓的直徑AB6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動點(diǎn),則的最小值為 解析:,設(shè)例17定義,其中是內(nèi)一點(diǎn),、分別是、的面積,已知中, ,則的最小值是 解析:由,則,從而
4、,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號例18 如圖,在正方形中,已知,為的中點(diǎn),若為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則的最大值是 解析:以AB所在的直線為x軸,AD所在的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)N(x,y)則,則因?yàn)?,由線性規(guī)劃的知識可得例19 在中,O為中線AM上的一個(gè)動點(diǎn),若AM=2,則的最小值是 解析: ,=。又,=,于是的最小值是-2例20 已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點(diǎn),那么的最小值是 .解析:,設(shè),則,由此可得關(guān)于的函數(shù)解析式,再由基本不等式可求的最小值 若設(shè)則運(yùn)算較復(fù)雜。二、解答題例21已知,其中(1)求證:與互相垂直;(2)若與()的長度相等,求解析:(1)
5、因?yàn)椋?所以與互相垂直(2)|,|2|2,展開可得0,又,例22 已知向量(1)若為直角三角形,求k值;(2)若ABC為等腰直角三角形,求k值解析:(1),若,則;若,則無解;若,則,綜上所述,當(dāng)時(shí),ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形;當(dāng)時(shí),ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形(2)當(dāng)k=1時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 綜上所述,當(dāng)k=1時(shí),ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形例23 已知向量,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)若,求向量與的夾角;(2)若對任意實(shí)數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍解析:(1)設(shè)向量與的夾角為,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),向量與的夾角為;當(dāng)時(shí),向量與的夾角為(2)對任意的恒成立,即對任意的恒成立,即對任意的恒成立,所以或,解得或故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 另解:由,可得的最小值為,然后將已知條件轉(zhuǎn)化為,由此解得實(shí)數(shù)的取值范圍例24 如圖中,是以為圓心,以1為半徑的圓的一條直徑問:與的夾角為何值時(shí),有最大值和最小值 解析:, ,當(dāng),即時(shí), ;當(dāng),即時(shí), ABCEFMN例25 如圖,在邊長為1的正三角形中,分別是邊上的點(diǎn),若,設(shè)的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為若三點(diǎn)共線,求證;若,求的最小值解析:由三點(diǎn)共線,得, 設(shè)(R),即,所以,所以因?yàn)?,又,所以,所以,故?dāng)時(shí),例26在中,(1)若為直線上一點(diǎn),且,求證:;(2)若
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