二重積分的坐標(biāo)變換（課堂PPT）

1、首頁上頁返回下頁結(jié)束二重積分的變量代換二重積分的變量代換極坐標(biāo)變換極坐標(biāo)變換一般變量代換一般變量代換廣義極坐標(biāo)變換廣義極坐標(biāo)變換首頁上頁返回下頁結(jié)束AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21),(iiiiirorr Ddxdyyxf),(一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 rdrdd Drdrdrrf )sin,cos(極坐標(biāo)下的面積元素極坐標(biāo)下的面積元素drrddrd首頁上頁返回下頁結(jié)束.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化

2、為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行的二重積分需要進(jìn)行“三換三換”： sincos . 1ryrx坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換： rdrddxdyd 微元變換：微元變換： . 2 rxyDD區(qū)域變換：區(qū)域變換： . 3極坐標(biāo)變換的適用情形極坐標(biāo)變換的適用情形: 積分區(qū)域?yàn)閳A域或圓域的一部分積分區(qū)域?yàn)閳A域或圓域的一部分,或被積函數(shù)形如或被積函數(shù)形如)(22yxf 首頁上頁返回下頁結(jié)束.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式: -型區(qū)域型區(qū)域 (1) 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(

3、21 r1. 原點(diǎn)在區(qū)域的外面原點(diǎn)在區(qū)域的外面首頁上頁返回下頁結(jié)束(2) 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r首頁上頁返回下頁結(jié)束AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(2. 原點(diǎn)在區(qū)域的邊界上原點(diǎn)在區(qū)域的邊界上首頁上頁返回下頁結(jié)束 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 區(qū)域特征如圖區(qū)域

4、特征如圖).(0 rDoA)(r,2 03. 原點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部原點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部首頁上頁返回下頁結(jié)束若若 f 1 則可求得則可求得D 的面積的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn)軸相切于原點(diǎn),試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(首頁上頁返回下頁結(jié)束區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,21rrr ).()(21rr .)sin,cos()()(2121 rrrrdrrfrdr Drdrdrrf )sin,cos(o二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的

5、公式: r-型區(qū)域型區(qū)域 A)(1r )(2r 1r2r1r2rD首頁上頁返回下頁結(jié)束例例 1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd首頁上頁返回下頁結(jié)束解解dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae ayx 首頁上頁返回下頁結(jié)束例例3 3

6、求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 RyRxdyedxe002220)(2 Rxdxe首頁上頁返回下頁結(jié)束 Rrrdred0022)1(42Re );1(422Re 由上題結(jié)論由上題結(jié)論,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),2 02 dxex即即 4)(20

7、2 dxex首頁上頁返回下頁結(jié)束例例 4 4 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy首頁上頁返回下頁結(jié)束例例 5 5 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中積分區(qū)域?yàn)槠渲蟹e分區(qū)域?yàn)?1| ),(22 yxyxD.解解由由對(duì)對(duì)稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注注意

8、意：被被積積函函數(shù)數(shù)也也要要有有對(duì)對(duì)稱稱性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D首頁上頁返回下頁結(jié)束例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.解解根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D首頁上頁返回下頁結(jié)束由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aA, 所所求求面面積積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064

9、aardrd).33(2 a首頁上頁返回下頁結(jié)束 二、二重積分的換元法二、二重積分的換元法 .sin,cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面到直角到直角標(biāo)平面標(biāo)平面上式可看成是從直角坐上式可看成是從直角坐xoyro 換是一對(duì)一的換是一對(duì)一的，且這種變，且這種變平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點(diǎn)面上的一點(diǎn)平平即對(duì)于即對(duì)于),(),(yxMxoyrMro 首頁上頁返回下頁結(jié)束.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(

10、),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一對(duì)一的，則有是一對(duì)一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理證明見本課件末證明見本課件末,不做要求不做要求.首頁上頁返回下頁結(jié)束例例7 7解解所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域線線軸軸和和直直軸軸、由由其其中中計(jì)計(jì)算算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxy

11、u 令令.2,2uvyuvx 則則,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即首頁上頁返回下頁結(jié)束),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee首頁上頁返回下頁結(jié)束例例8 8解解所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域橢橢圓圓為為其其中中計(jì)計(jì)算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其其中中 ,sin,cosbryarx作作廣廣義義極極坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換,20,10),( rrDD在這變換下在這變換下首頁上

12、頁返回下頁結(jié)束.),(),(abrryxJ 故換元公式仍成立，故換元公式仍成立，處為零，處為零，內(nèi)僅當(dāng)內(nèi)僅當(dāng)在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 首頁上頁返回下頁結(jié)束1. 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對(duì)稱性對(duì)稱性）三、小結(jié)三、小結(jié) Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 首頁上頁返回下頁結(jié)束的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)的形狀，的形狀，于積分

13、區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決),(2yxfD基本要求基本要求: :變換后定限簡便，求積容易變換后定限簡便，求積容易.),(),(1),(),(. 3yxvuvuyxJ 首頁上頁返回下頁結(jié)束 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考題思考題首頁上頁返回下頁結(jié)束,cos022: arDoxy思考題解答思考題解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 首頁上頁返回下頁結(jié)束 計(jì)算計(jì)算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所圍成所圍成.思考題

14、思考題首頁上頁返回下頁結(jié)束令令 yvyxu, vyvux雅雅可可比比行行列列式式1),(),( vuyxJ,變變換換后后區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樗伎碱}解答思考題解答oxy1 yxDouvvu D 首頁上頁返回下頁結(jié)束 deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v首頁上頁返回下頁結(jié)束一、一、 填空題填空題: :1 1、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xyx222 , ,表示為極坐表示為極坐標(biāo)形式的二次積分標(biāo)形式的二次積分, ,為為_._.2 2、 將將 Ddxdyyxf),(, ,

15、D為為xy 10, ,10 x, ,表表示為極坐標(biāo)形式的二次積分為示為極坐標(biāo)形式的二次積分為_._.3 3、 將將 xxdyyxfdx32220)(化為極坐標(biāo)形式的二化為極坐標(biāo)形式的二次積分為次積分為_._.4 4、 將將 2010),(xdyyxfdx化為極坐標(biāo)形式的二次積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分為為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題首頁上頁返回下頁結(jié)束5 5、 將將 xxdyyxdx221)(2210化為極坐標(biāo)形式的二次積化為極坐標(biāo)形式的二次積分為分為_,_,其值為其值為_._.二、二、 計(jì)算下列二重積分計(jì)算下列二重積分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圓周是由圓周12

16、2 yx 及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直線是由直線xy , , )0(3, aayayaxy所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圓周是由圓周 Rxyx 22所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .首頁上頁返回下頁結(jié)束三三、試試將將對(duì)對(duì)極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的二二次次積積分分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交交換換積積分分次次序序. .四四、設(shè)設(shè)平平面面薄薄片片所所占占的的閉閉區(qū)區(qū)域域D是是由由

17、螺螺線線 2 r上上一一段段 弧弧( (20 ) )與與直直線線2 所所圍圍成成, ,它它的的面面密密度度為為22),(yxyx , ,求求這這薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量. .五五、 計(jì)計(jì)算算以以xoy面面上上的的圓圓周周axyx 22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榈椎祝砸郧婷?2yxz 為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積. .首頁上頁返回下頁結(jié)束一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd

18、；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；練習(xí)題答案練習(xí)題答案首頁上頁返回下頁結(jié)束 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .首頁上頁返回下頁結(jié)束一、一、 作適當(dāng)?shù)淖儞Q作適當(dāng)?shù)淖儞Q, ,計(jì)算下列二重積分計(jì)算下列二重積分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由兩條雙曲線是由兩條雙曲線1 xy和和2 xy, ,直線直線x

19、y 和和xy4 所圍成的在第象限所圍成的在第象限的閉區(qū)域的閉區(qū)域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是橢圓區(qū)域是橢圓區(qū)域: : 1422 yx. .二、二、 設(shè)設(shè)D是由曲線是由曲線333,4,yxxyxy , ,34yx 所圍所圍成的第象限部分的閉區(qū)域成的第象限部分的閉區(qū)域, ,求其面積求其面積. .三、試證三、試證: : Ddxdycbyaxf)( 11222)(12ducbaufu, ,其中其中D為為 0, 12222 bayx且且. .練練 習(xí)習(xí) 題題首頁上頁返回下頁結(jié)束一一、1 1、2ln37； 2 2、 325. .二二、81. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案首頁上頁返回下頁結(jié)束baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法*附附: 二重積分換元法二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變