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1、承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白,在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾,嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則,以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫): 我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話): 所屬學(xué)校(請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?/p>
2、): 西安理工大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) :1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名): 日期: 2010 年 7 月 12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):賽區(qū)評(píng)閱記錄(可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用):評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)):全國評(píng)閱編號(hào)(由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):制陶材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型摘要本文首先從回歸分析這個(gè)角度,建立了線性同歸、二次非線性同歸兩種模型。其中通過線性回歸模型的求解和模型驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的非線性性質(zhì),然后利用二
3、次回歸模型確定最優(yōu)工藝條件。得到最大強(qiáng)度為1291,并獲得相應(yīng)的最優(yōu)工藝等級(jí)條件為:最后,我們針對(duì)現(xiàn)有試驗(yàn)方法數(shù)據(jù)難于處理且數(shù)據(jù)的信息不夠全面等缺點(diǎn),提出用正交試驗(yàn)方法來改進(jìn)原有的試驗(yàn)方案,并且給出了正交試驗(yàn)方法的簡(jiǎn)要介紹和優(yōu)點(diǎn)闡述。關(guān)鍵詞:線性回歸 二次回歸 最優(yōu)工藝條件 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)1 問題重述硅酸鹽()制陶材料是一種強(qiáng)度高、耐磨、抗氧化和耐高溫的材料,它廣泛應(yīng)用于高溫結(jié)構(gòu)的材料中,如切割工具、齒輪、內(nèi)燃機(jī)部件及航空、航天飛行器的有關(guān)部件等。影響這種材料的強(qiáng)度因素有:A:加熱方案,=兩步,=一步;(其中“兩步”包括“一步”上的預(yù)燒結(jié)階段)。B:四種燒結(jié)添加劑的總量,14摩爾%,16摩爾%,
4、18摩爾%。C:的含量,0.0摩爾%,1.0摩爾%,2.0摩爾%。D:的摩爾%與的摩爾%的比率, =1:1,=1:2,=1:6。E:的摩爾%與的摩爾%的比率,=2:1,=1:1,=1:4。F:燒結(jié)溫度,=1800,=1850,=1900。G:燒結(jié)時(shí)間,=1h,=2h,=3h。為了尋找使得該種材料的強(qiáng)度達(dá)到最高的工藝條件,特此安排了如下試驗(yàn)方案,測(cè)量數(shù)據(jù)見表1-1:試驗(yàn)號(hào)因素A B C D E F G 強(qiáng)度11 2 2 1 3 1 3996.8 783.6 796.921 2 1 2 2 3 1843.8 816.2 714.3
5、0; 824.431 3 2 1 2 3 2647.1 667.9 534.3 617.741 3 2 1 2 3 2616.3 552.3 552.6 596.051 3 1 2 1 2 3517.8 526.1 498.1 499.561 3 3 3 3 1 11002.0 1097.0 882.9 940.171 1 2 2 3 2 1806.5 933.5 964.9
6、160; 1046.081 1 1 3 2 1 2801.5 803.2 846.2 756.491 1 3 1 1 3 3739.2 863.3 797.0 929.6102 2 2 3 1 3 1615.0 627.5 583.9 597.1 563.9112 2 1 1 3 2 2795.9 854.0 937.0
7、; 999.2 724.8122 2 3 2 2 1 3850.9 921,8 990.6 943,5 840.9132 3 2 2 1 1 2513.0 665.9 718.9 646.4142 3 1 3 3 3 3831.3 981.4 912.5 950.7 987.3152 3 3 1 2 2 1806.1 90
8、8.1 627.6 855.0162 1 1 3 2 2 3727.3 643.9 584.0 643.4 602.1172 1 1 3 2 2 3836.8 716.3 862.9 796.2182 1 3 1 1 1 11001.0 937.6 955.3 955.8 1009.0表1-1陶瓷實(shí)驗(yàn)方案及強(qiáng)度數(shù)據(jù)表注:因素欄中數(shù)字
9、“i”表示因素在試驗(yàn)中處于第i水平。1.跟進(jìn)表1-1的測(cè)量數(shù)據(jù),試建立合理的數(shù)學(xué)模型,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析; 2.尋找使得強(qiáng)度最大的最優(yōu)的工藝條件; 3.對(duì)你所建立的模型進(jìn)行誤差分析并做出評(píng)價(jià); 4.你能否提出一種更合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)計(jì)劃及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析方法? 5.就你的研究對(duì)有關(guān)部門試寫一份申報(bào)科技進(jìn)步獎(jiǎng)的報(bào)告。2 基本假設(shè)2.1 所有添加劑的純度均為 100%;2.2 影響強(qiáng)度的7個(gè)因素是確定性變量,且彼此獨(dú)立,不考慮交互作用對(duì)強(qiáng)度的影響。3 符號(hào)說明表示影響強(qiáng)度的因素(i=1······7)表示第i個(gè)試驗(yàn)號(hào)影響強(qiáng)度的第j水平第 i 個(gè)試
10、驗(yàn)號(hào)所涮得材料強(qiáng)度平均值強(qiáng)度的平均值Yi的估計(jì)值回歸系數(shù)(i = 0,1,2,)隨機(jī)誤差(i= 0,1,2,)總的偏差平方和回歸平方和剩余平方和4 問題的分析 己知影響硅酸鹽制陶材料錨度的七個(gè)因素和其工藝級(jí)別參數(shù)(見表1-1),并且已經(jīng)知道一組不完備的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。我們的任務(wù)就是,通過研究現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù),了解七個(gè)因素對(duì)強(qiáng)度的作用關(guān)系 (即日標(biāo)函數(shù)),并以此為據(jù)尋找最優(yōu)工藝條件,求出制陶材料最大強(qiáng)度。同時(shí),我們還要對(duì)模型進(jìn)行誤差分析,尋求更優(yōu)的試驗(yàn)方法。5 模型的建立和求解5. 1 多元線性回歸模型(模型一) 在處理多因素關(guān)系時(shí),一般采用回歸模型進(jìn)行求解,所以假設(shè)七個(gè)因素與材料強(qiáng)度具有線性關(guān)系 其中
11、都是未知參數(shù),是隨機(jī)誤差,可以忽略. 利用線性最小二乘法可以得到的值分別為:629.4408 42.8293 -58.3049 48.512-18.4265 126.2689 25.8027 -24.075;得到多元線性回歸模型:5.2 模型一的假設(shè)檢驗(yàn):為檢驗(yàn)Y與之間是否確有線性關(guān)系具體檢驗(yàn)如下: 若拒絕,則說明Y與之間確有線性關(guān)系,若接受則說明 Y與之間不存在線性關(guān)系,就必須放棄線性回歸法由回歸平方和:剩余平方和:然后計(jì)算由matlab編程計(jì)算得到;F=2.4828;取顯著性水平,有F分布查表得:所以接受H。, 認(rèn)為是非線性的,要建立非線性回歸模型。5.3 二次回歸模型 (模型二)根據(jù)問題
12、分析和假設(shè)可得各因素是互相獨(dú)立,故建立模型: 其中. 都是未知參數(shù). 是隨機(jī)誤差. 可以忽略. 把 18 組數(shù)據(jù)值代人,得:為了確定,直接利用統(tǒng)計(jì)工具箱的命令regress求解,使用格式為: 其中,就可以求得回歸系數(shù)的值分別為: 則二次非線性回歸模型為:5.4模型誤差分析和評(píng)價(jià)把的值代入以,為系數(shù)的二次非線性回歸模型方程,得到計(jì)算值,與題中給出的測(cè)量值比較,得到相對(duì)誤差為0.0235940.00411420.0373080.00626620.0312220.0191940.00583860.0175660.00821240.0302510.0282770.00506780.0185990.01
13、8710.00230230.0369760.0419030.0055831利用二次非線性回歸模型和測(cè)量值作圖,如下:圖(1)用Matlab編程和模型二的求解可以得到二次非線性回歸分析統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)值如下:表2 回歸分析統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)3.8521e+0053.8038e+0054.8274e+0030.987223.6850說明:越接近1,表明模型擬合的越好衡量數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小反映除去Y與之間的線性關(guān)系以外一切因素引起數(shù)據(jù)的波動(dòng)反映由變量的變化引起的之間的波動(dòng),比較大,即引起數(shù)據(jù)的波動(dòng)較大,但F檢驗(yàn)的結(jié)果為23.6850,即七個(gè)因素的不同對(duì)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響??梢姡瑥?qiáng)度與工藝條件之間的關(guān)系為非線性的,并
14、從相對(duì)誤差分析和圖形可以看出多元非線性回歸模型可以較好的反映這個(gè)函數(shù)關(guān)系,具有較高的實(shí)用性。5.5 強(qiáng)度最大的最優(yōu)工藝條件的求解確定了確定了回歸方程后,我們進(jìn)一步求解使得材料強(qiáng)度為最大的工藝條件,用Matlab編程(見附錄二)得到: 材料的最大強(qiáng)度1291對(duì)應(yīng)各因素的水平數(shù)即最優(yōu)工藝條件為: A=一步 B=14摩爾% C=2.0摩爾% D=1:2E=1:4F=1800G=1h6 更合理的試驗(yàn)計(jì)劃及試驗(yàn)分析方法下面給出正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要定義和優(yōu)越性說明 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是借助預(yù)先定義好的“正交表”來安排試驗(yàn)和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法; 正交表,就是以試驗(yàn)次數(shù)為行號(hào),因素按列安排,表中內(nèi)容
15、為因素的水平值,具有整齊可比性和均衡搭配性的數(shù)表; 正交試驗(yàn)方案的兩個(gè)特點(diǎn): (1)每個(gè)因素的各個(gè)不同水平在試驗(yàn)中出現(xiàn)了相同的次數(shù) (2)任何兩個(gè)因素的各種不同水平的不同搭配,存試驗(yàn)中都出現(xiàn)了,即對(duì)任兩個(gè)因素是全面試驗(yàn),并且出現(xiàn)了相同次數(shù)可見,正交表設(shè)計(jì)的試驗(yàn)具有很強(qiáng)的代表性,能夠比較全面地反映各因素各水平對(duì)指標(biāo)影響的大致情況。為了方差分析的需要,在試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí),一般要求留有空白列,而空白列的偏差平方和由隨機(jī)誤差產(chǎn)生。因此,對(duì)于本文提出的7因素水平測(cè)試問題,我們可以選用的正交表來優(yōu)化試驗(yàn)安排,其中多余一列設(shè)置為空白項(xiàng),對(duì)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理,由于本試驗(yàn)因素多,實(shí)驗(yàn)次數(shù)也多,我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并
16、利用方差分析法做統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn),從而解決了數(shù)據(jù)處理的問題。7 科技進(jìn)步獎(jiǎng)申報(bào)書7.1 申報(bào)項(xiàng)目內(nèi)容提要硅酸鹽制陶材料是一種強(qiáng)度高、耐磨性好的新型材料,廣泛應(yīng)用工業(yè)生產(chǎn)中。這種材料可以采用反應(yīng)燒結(jié)的工藝方法制造。燒成工藝中影響陶瓷的強(qiáng)度的因素有:加熱方案、燒結(jié)添加劑的總量與比率、燒結(jié)溫度、燒結(jié)時(shí)間等。分析影響因素A,B,C,D,E,F(xiàn),G與強(qiáng)度的關(guān)系獲得強(qiáng)度的最大值?;谶@一原則建立以下各模型。第一,對(duì)問題最簡(jiǎn)化,認(rèn)為因素A,B,C,D,E,F(xiàn),G對(duì)材料強(qiáng)度的影響是線性的,并且各因素都是獨(dú)立的,沒有交互作用,建立最簡(jiǎn)單的模型即多元線性回歸模型,計(jì)算得到結(jié)果,并進(jìn)行驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)影響強(qiáng)度的七個(gè)因素是非
17、線性關(guān)系。第二,建立二次非線性叫回歸模型,計(jì)算得到結(jié)果,然后進(jìn)行誤差分析,二次非線性回歸分析統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),證明了模型的可行性。第三,用正交試驗(yàn)分析法,分析出各因素對(duì)因變量的影響強(qiáng)弱順序,為建立非線性回歸模型提供依據(jù)。7. 2申報(bào)理由 本強(qiáng)度優(yōu)化的模型具有以下優(yōu)點(diǎn):通過線性回歸模型的求解和模型驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的非線性性質(zhì),然后利用二次非線性回歸模型確定最優(yōu)工藝條件。用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的大小對(duì)模型進(jìn)行整體性評(píng)價(jià)。從誤差分析中可以看到已經(jīng)達(dá)到優(yōu)化模型的目的。本模型能夠合理有效地解決實(shí)際工藝問題,且經(jīng)過誤差的檢驗(yàn)分析,證明了該模型的優(yōu)越性,特此申報(bào)科技進(jìn)步獎(jiǎng)。8 參考文獻(xiàn)l姜啟源,數(shù)學(xué)模型(第三版)M,北京:
18、高等教育出版社,2003,8。2魏宗舒等,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),北京:高等教育出版社,1983. 10。3王洙然,MATLAB 6.5科學(xué)計(jì)算方法,北京:電子工業(yè)出版社,2003.1。附錄一:x=1 1 2 2 1 3 1 11 1 2 1 2 2 3 11 1 2 3 3 1 2 21 1 3 2 1 2 3 21 1 3 1 2 1 2 31 1 3 3 3 3 1 11 1 1 2 2 3 2 11 1 1 1 3 2 1 21 1 1 3 1 1 3 31 2 2 2 3 1 3 11 2 2 1 1 3 2 21 2 2 3 2 2 1 31 2 3 2 2 1 1 21 2 3 1 3 3 3 31 2 3 3 1 2 2 11 2 1 2 3 2 2 31 2 1 1 3 2 2 31 2 1 3 1 1 1 1;y=859.1 799.67 616.75 579.3 510.375 980. 5 937.725 801.825 832. 275 579.18 862.18 919.54 636.05 932.64 799.2 640.14 803.05 979. 74 ;w=x(:,2:8);v= w w2 ; %矩陣x的擴(kuò)展附錄二:S=;a=0;b=0;r=;for xl=l : 2 for x2=1:3
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