數(shù)列的求和(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題44 數(shù)列的求和專題知識(shí)梳理1公式法如果通項(xiàng)是等差或等比數(shù)列，則直接利用公式進(jìn)行求和等差數(shù)列an前n項(xiàng)和公式：Snna1d等比數(shù)列an前n項(xiàng)和公式：q1時(shí)，Sn_na1_；q1時(shí)，Sn2分組求和法如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)形如an±bn，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則把它們分別求和3錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)形如an bn，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則用兩式錯(cuò)位相減法其實(shí)，_等比_數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是分式型數(shù)列，則可把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和常見的拆項(xiàng)

2、公式有：，()，5倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)滿足，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)50507常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)123n；(2)135(2n1)n2；(3)122232n2考點(diǎn)探究考向1利用“分組求和法”求和【例】求和：（1）Sn1.（2）1×42×73×10n(3n1)【解析

3、】原式中通項(xiàng)為an Sn222n2.（2）數(shù)列an的通項(xiàng)ann(3n1)3n2n，把數(shù)列分成了兩個(gè)數(shù)列，分別求和1×42×73×10n(3n1)(3×121)(3×222)(3×323)(3n2n)3(122232n2)(123n)3·n(n1)2.題組訓(xùn)練1.在數(shù)列an中，a12101，且當(dāng)2n100時(shí)，an2a102n3×2n恒成立，則數(shù)列an的前100項(xiàng)和S100_【解析】2n100，2102n100，將an2a102n3×2n中的n換成102n得，a102n2an3×2102n，消去a1

4、02n得，an2103n2n，S100a1a2a3a4a1002101(210122)(210023)(29924)(232100)4.2.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n13n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_【解析】數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n13n1，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna1a2an(2113×11)(2213×21)(2n13×n1)(2112212n1)(3×13×23×n)n×(1)2n13×n2nn2n1.考向2利用“裂項(xiàng)相消法”求和【例】設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知：，（I

5、）求和的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求； （ii）證明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(nN*).【解析】（I） 設(shè)數(shù)列的公比為q，代入，得或（舍去）又故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，代入，中，得，解得， （II）（i）由（I）得，故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.（ii）因?yàn)?Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1，所以k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1

6、)(k+2)=(233-222)+(244-233)+(2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+2-2.題組訓(xùn)練1.求和：_【解析】因，故Sn1+-=1-.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an，則該數(shù)列的前_項(xiàng)之和等于9.【解析】，=9，所以解得n=993.已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4Sn(an1)2.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn及Tn的最小值【解析】(1)(an1)24Sn，Sn，Sn1，Sn1Snan1，即4an1aa2an12an，2(an1an)(an1an)·(an1an)an1an0，an1an2，即an是公差為2

7、的等差數(shù)列，由(a11)24a1，解得a11，an2n1.(2)由(1)知bn，Tnb1b2bn(1).Tn1Tn0，Tn1>Tn，數(shù)列為遞增數(shù)列，Tn的最小值為T1.考向3利用“倒序相加法”求和【例】已知函數(shù)f(x)，求f()f()f()f()的值【解析】f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.令Sf()f()f()f()，則Sf()f()f()f()，兩式相加得，2S2017f()f()2017，S，即f()f()f()f().題組訓(xùn)練1.求sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°的值【解析】設(shè)Ssin21

8、°sin22°sin23°sin288°sin289°，將式右邊反序得Ssin289°sin288°sin23°sin22°sin21°，又sin xcos(90°x)，sin2 xcos2x1.得2S(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin289°cos289°)89，S44.5.考向4利用“錯(cuò)位相減法”求和【例】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（1）求和的通項(xiàng)公

9、式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，.又，解得.由，可得 ，由，可得 ，聯(lián)立，解得，由此可得.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，上述兩式相減，得 得. 數(shù)列的前項(xiàng)和為.題組訓(xùn)練1.已知an為等比數(shù)列，其中a11，且a2，a3a5，a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(2n1)·an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)在等比數(shù)列an中，公比為q，a11，且a2，a3a5，a4成等差數(shù)列，2(a3a5)a2a42(q2q4)qq3，解得q，an()n1.(2)an()n

10、1，bn(2n1)an(2n1)()n1，Tn1·13·5·()2(2n1)·()n1，Tn1·3·()25·()3(2n1)·()n，得：Tn12·(2n1)·()n12(2n1)·()n3，Tn6.2.（2018·無錫模擬）在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 【解析】，所以d=-1，得，設(shè)，將兩邊乘以，得，-得，所以3.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1a1，S2a2，S3a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若bnan·log2an，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足不等式的最大n值【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意知a1，S1a1，S2a2，S3a3成等差數(shù)列，2(S2a2)S1a1S3a3，變形得S2S12a2a1S3S2a3，即得3a2a12a3，qq2，解得q1或q，又由an為遞減數(shù)列，于是q，ana1qn1n.(2)由于bnanlog2ann·n，Tn2·2n·n，于是