復試研試自控13奈氏判據(jù)

1、1自動控制理論自動控制理論Automatic Control Theory2 上節(jié)課要點復習上節(jié)課要點復習n系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制要點系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制要點n系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖的繪制要點系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖的繪制要點n系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性 系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖n最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)與與非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制3 第第5章章 線性系統(tǒng)的頻率法分析線性系統(tǒng)的頻率法分析 5.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系

2、統(tǒng)穩(wěn)定性! n工程設計中，總希望穩(wěn)定判據(jù)不僅能判斷系統(tǒng)工程設計中，總希望穩(wěn)定判據(jù)不僅能判斷系統(tǒng)的的絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性（即判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定），還希（即判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定），還希望能確定出系統(tǒng)的望能確定出系統(tǒng)的穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，希望能指出如何改進使其穩(wěn)定。還能用來研究希望能指出如何改進使其穩(wěn)定。還能用來研究延遲系統(tǒng)延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。n奈魁斯特奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的開開環(huán)環(huán)頻率特性判斷頻率特性判斷閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎是復變函數(shù)理論奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎是復變函數(shù)

3、理論中的中的映射定理映射定理（或幅角定理）。（或幅角定理）。 設單值復變函數(shù)設單值復變函數(shù)F(s)除有限點除有限點s=-pi外處處解析，外處處解析，復變函數(shù)如同特殊的映射鏡，將復變函數(shù)如同特殊的映射鏡，將S平面上的平面上的z、p或軌跡或軌跡s=+j投射到投射到F平面上的點或軌跡；平面上的點或軌跡； F(s)在在F平面上除平面上除s= pi 外處處解外處處解析。析。 niimjjpszssF11S平面平面F平面平面 niimjjpszssF11點點s=zj，F(xiàn)(s)=0， S平面上的平面上的點映射為點映射為F平面上的原點；平面上的原點；s=pi，F(xiàn)(s)=，S平面上的平面上的點映射為點映射為F平

4、面上的平面上的處，處，；m個個點將映射至原點點將映射至原點m次；次；n個個點將映射成點將映射成CSCF niimjjpszssF11 sFjsFsFsFsFjsImRe，則復變函數(shù)，則復變函數(shù)復數(shù)復數(shù))(1Zs)()(2iPsZs2)(1Zs0)()(2iPsZs、 niimjjpszssF11 若若CS包圍一個包圍一個點點s=z1，nijmjjPsZssF11)()()(2)(1Zs其中其中其余其余、點轉(zhuǎn)過的矢量角皆為點轉(zhuǎn)過的矢量角皆為零。零。202)()()(11nijmjjPsZssF 則則CF將將包圍原點一圈。包圍原點一圈。 niimjjpszssF11j1P2P3P1Z2Z1Zs s

5、平面snijmjjPsZssF11)()()(2)(2Ps其其中中其余其余、點轉(zhuǎn)過的矢量角皆為零，即點轉(zhuǎn)過的矢量角皆為零，即j1P2P3P1Z2Z1Zs s平面s niimjjpszssF112)(sF若若CS包圍一個包圍一個點點s=P1，則，則CSCFCF將將包圍包圍一次，一次， )2()2()2()2()(NPZPZsF niimjjpszssF11)2()(1ZZsmjj)2()(1PPsniiCSCF設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為F(s)的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，也就是閉環(huán)極點。根，也就是閉環(huán)極點。)()()(0sHs

6、GsG0)()(1)(sHsGsF125.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)理解奈氏判據(jù)的幾個問題：理解奈氏判據(jù)的幾個問題：1 開環(huán)與閉環(huán)的關系；開環(huán)與閉環(huán)的關系；2 s平面平面, F平面平面,GH平面的關系；平面的關系；3 與與極坐標圖極坐標圖的關系；的關系；4 特征點特征點 與與GH平面的關系；平面的關系；5 開環(huán)右極點數(shù)與開環(huán)右極點數(shù)與GH平面曲線平面曲線 包圍點包圍點 的次數(shù)的關系。的次數(shù)的關系。 ( 1, 0)j()()G jH j( 1, 0)jF(s)的零點閉環(huán)特征方程的根或閉環(huán)的零點閉環(huán)特征方程的根或閉環(huán)極點極點;F(s)的極點系統(tǒng)的開環(huán)

7、極點的極點系統(tǒng)的開環(huán)極點;若若Z= F(s)的右零點數(shù)的右零點數(shù)(閉環(huán)系統(tǒng)的右極閉環(huán)系統(tǒng)的右極點數(shù)點數(shù))；P= F(s)的右極點數(shù)的右極點數(shù)(開環(huán)系統(tǒng)的右極點開環(huán)系統(tǒng)的右極點數(shù)數(shù)) 11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP則則CF在在F平面上平面上順時針順時針包圍原點的次數(shù)包圍原點的次數(shù)N=ZP。右極點右極點開環(huán)開環(huán)右極點右極點閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)()()(1)(:jHjGjFsHsGsFCF111()()()nmijijniisPKsZsP則則CF在在F平面上平面上順時針順時針包圍原點的次數(shù)包

8、圍原點的次數(shù)N=ZP。右極點右極點開環(huán)開環(huán)右極點右極點閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm01曲線曲線即即NyquistjHjGCGH)()(:)()(1)(:jHjGjFCF Z=0，N=P )()(1)(:jHjGjFCF11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP右極點右極點開環(huán)開環(huán)右極點右極點閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm0111()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP111()()

9、()nmijijniisPKsZsP右極點右極點開環(huán)開環(huán)右極點右極點閉環(huán)閉環(huán)PZN=ZP，Z= N+P 2700000jHjGKjHjG 11101321321sTsTsTKsHsGTTT，：設設例例開環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定P=0，按關于實軸對稱原則補，按關于實軸對稱原則補（，）全圖，則有以下三種情況）全圖，則有以下三種情況；K=K1：不包圍：不包圍(-1,j0)點，點，N=0=P閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K=K2：穿越：穿越(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；K=K3：順時針包圍：順時針包圍(-1,j0)點兩周，點兩周， N=2P，閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 11101

10、1 . 0102ssssHsG：例例開環(huán)不穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定P=1，逆時針包圍，逆時針包圍N=1=P（ N=1=P ），閉閉環(huán)穩(wěn)定。環(huán)穩(wěn)定。 13TssKsHsG：例例 實軸對稱實軸對稱關于關于，-018009000-jHjGjHjG 處圖形。處圖形。全全補補處無界，需要從處無界，需要從在在，所以圖形，所以圖形對應對應0000-sHsGs215.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n必須指出，映射定理只適用于封閉曲線不通必須指出，映射定理只適用于封閉曲線不通過的零、極點的情況，所以奈魁斯特軌跡過的零、極點的情況，所以奈魁斯特軌跡(奈奈氏軌跡氏軌跡) )應不通過

11、的零點或極點。應不通過的零點或極點。n如果系統(tǒng)在虛軸上（例如在原點處）有開環(huán)如果系統(tǒng)在虛軸上（例如在原點處）有開環(huán)極點（為極點（為 型以上系統(tǒng)）時，則在虛軸上也就型以上系統(tǒng)）時，則在虛軸上也就有極點，由于奈魁斯特軌跡不能通過的奇點，有極點，由于奈魁斯特軌跡不能通過的奇點，因此須將它的形狀略加修改，使奈魁斯特軌因此須將它的形狀略加修改，使奈魁斯特軌跡繞過虛軸上的開環(huán)極點。跡繞過虛軸上的開環(huán)極點。修改后的奈氏軌修改后的奈氏軌跡跡 。奈魁斯特軌跡奈魁斯特軌跡(奈氏軌跡奈氏軌跡/ /圍線圍線),),極坐標圖極坐標圖( (奈氏圖奈氏圖) )225.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.

12、2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡jj1C2C3Cj0平面s4C235.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡)(1)()(1sGssHsGv0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG245.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡jj1C2C3Cj0平面s4C0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG)(1)()(1sGssHsGv( )( )G s H s

13、軌跡由開環(huán)極坐標圖和輔助圓構(gòu)成映射一一對應映射一一對應255.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡( )( )G s H s 軌跡由開環(huán)極坐標圖和輔助圓構(gòu)成265.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n閉合曲線包圍特征點圈數(shù)閉合曲線包圍特征點圈數(shù)(次數(shù)次數(shù))R的計算的計算 設N為穿越點 左側(cè)負實軸的次數(shù)，N表示正穿越（從上向下穿越）的次數(shù)和，N表示負穿越（從下向上穿越）的次數(shù)和，則NNR( 1, 0)jImReAC0B)(a)()(1 0,11:42TTsssKsHsG例例 000jH

14、jGjHjG的的大大小小。與與取取決決于于之之間間走走向向T,0負相角為主；負相角為主；,11TtgtgT000 正相角為主；正相角為主；,11TtgtgT0 穿越穿越(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；臨界穩(wěn)定； P=0N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；穩(wěn)定； P=0=N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；定；222 11113027018309tgtgtgtg 非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)。例例13:5sssKsHsG 11113027018309tgtgtgtg 900,27000jHjGjHjG求與負實軸的交點：求與負實軸的交點： 0,133333018jKKjjKjHjG

15、交點：交點：代入代入 113027tgtg 13sssKsHsGK1，P=1，(N=1=P)，逆，逆時針包圍時針包圍一圈，一圈，Z=N+P=1+1=0閉環(huán)穩(wěn)定。閉環(huán)穩(wěn)定。K=1臨界臨界穩(wěn)定。穩(wěn)定。K6dB445.5 對數(shù)判據(jù)對數(shù)判據(jù)5.5.2 穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量 n對于最小相位系統(tǒng)，若其相角隨著對于最小相位系統(tǒng)，若其相角隨著 增大而單增大而單調(diào)減小時，增益裕量和相位裕量為正的系統(tǒng)，調(diào)減小時，增益裕量和相位裕量為正的系統(tǒng)，是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。n僅用相角裕量或增益裕量，往往不足以說明曲僅用相角裕量或增益裕量，往往不足以說明曲線線 與特征點的靠近程度，因而不足以與特征點

16、的靠近程度，因而不足以說明系統(tǒng)相對穩(wěn)定程度，所以一般應同時求出說明系統(tǒng)相對穩(wěn)定程度，所以一般應同時求出相位裕量和增益裕量。但對于相頻特性在增益相位裕量和增益裕量。但對于相頻特性在增益交界頻率附近變化平緩的系統(tǒng)，可僅用交界頻率附近變化平緩的系統(tǒng)，可僅用 估算估算系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 )()(jHjG加例：加例：例例5-9已知單位反已知單位反饋系統(tǒng)饋系統(tǒng)3) 1()(sKsG設設K分別為分別為4和和10時，時，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。裕量。)(1800 gggjHjGK1解解1：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖5-36 例5-8 k=4和k=10時系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線

17、3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan3116111215 .03013180arctan340000310423200322則則則則即即則則或或jGKjGjGKjGjGjKKggcgggggggKg ggggjHjGK118032222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG圖5-36 例5-8 k=4和k=10時系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan311611215 . 03013180arctan34000310423200322則則

18、則則則則或或KggcgggggggKjGjGKjGjGjK1,0)(180100A1,0)(0圖 5-36 例 5-8 k=4和 k=10時 系 統(tǒng) 開 環(huán) 幅 相 曲 線0 . 71800 .187arctan3908. 11100118 . 0152 . 13100003101023200則則則則不變不變KggcgcgKjGjGKjGjGK 11801801000ggggjHjGKjHjG穩(wěn)穩(wěn)定定裕裕量量：32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG1,0KgK10時，時，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定，Kg1,0g0)(0618036 . 160lg1lg120

19、110101arctg3) 1()(sKsG解解2：繪系統(tǒng)：繪系統(tǒng)Bode圖，圖，可利用三角形關系求可利用三角形關系求解。解。 K4時時01g108 . 1lglg121lg1lg12lglg17 . 131803618036 . 160lg1lg1201011010110101dBGMGMarctgarctggggggcc0)(180)(0lg2000PMA|)()(|lg20log20180ggggjHjGKdBGM07 . 6lglg20lg1lg20lglg7 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg200202102021110220202dBGMGMarctgarctggggggK10時時3) 1()(sKsG02g1 07 . 6lglg202lg1lg20lglg27 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg2002021020202