復(fù)試研試自控13奈氏判據(jù)

1、1自動(dòng)控制理論自動(dòng)控制理論Automatic Control Theory2 上節(jié)課要點(diǎn)復(fù)習(xí)上節(jié)課要點(diǎn)復(fù)習(xí)n系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制要點(diǎn)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制要點(diǎn)n系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制要點(diǎn)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制要點(diǎn)n系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖n最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)與與非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制3 第第5章章 線性系統(tǒng)的頻率法分析線性系統(tǒng)的頻率法分析 5.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系

2、統(tǒng)穩(wěn)定性! n工程設(shè)計(jì)中，總希望穩(wěn)定判據(jù)不僅能判斷系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中，總希望穩(wěn)定判據(jù)不僅能判斷系統(tǒng)的的絕對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性（即判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定），還希（即判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定），還希望能確定出系統(tǒng)的望能確定出系統(tǒng)的穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，希望能指出如何改進(jìn)使其穩(wěn)定。還能用來(lái)研究希望能指出如何改進(jìn)使其穩(wěn)定。還能用來(lái)研究延遲系統(tǒng)延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。n奈魁斯特奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)開(kāi)環(huán)環(huán)頻率特性判斷頻率特性判斷閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)

3、理論中的中的映射定理映射定理（或幅角定理）。（或幅角定理）。 設(shè)單值復(fù)變函數(shù)設(shè)單值復(fù)變函數(shù)F(s)除有限點(diǎn)除有限點(diǎn)s=-pi外處處解析，外處處解析，復(fù)變函數(shù)如同特殊的映射鏡，將復(fù)變函數(shù)如同特殊的映射鏡，將S平面上的平面上的z、p或軌跡或軌跡s=+j投射到投射到F平面上的點(diǎn)或軌跡；平面上的點(diǎn)或軌跡； F(s)在在F平面上除平面上除s= pi 外處處解外處處解析。析。 niimjjpszssF11S平面平面F平面平面 niimjjpszssF11點(diǎn)點(diǎn)s=zj，F(xiàn)(s)=0， S平面上的平面上的點(diǎn)映射為點(diǎn)映射為F平面上的原點(diǎn)；平面上的原點(diǎn)；s=pi，F(xiàn)(s)=，S平面上的平面上的點(diǎn)映射為點(diǎn)映射為F平

4、面上的平面上的處，處，；m個(gè)個(gè)點(diǎn)將映射至原點(diǎn)點(diǎn)將映射至原點(diǎn)m次；次；n個(gè)個(gè)點(diǎn)將映射成點(diǎn)將映射成CSCF niimjjpszssF11 sFjsFsFsFsFjsImRe，則復(fù)變函數(shù)，則復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù))(1Zs)()(2iPsZs2)(1Zs0)()(2iPsZs、 niimjjpszssF11 若若CS包圍一個(gè)包圍一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)s=z1，nijmjjPsZssF11)()()(2)(1Zs其中其中其余其余、點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的矢量角皆為點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的矢量角皆為零。零。202)()()(11nijmjjPsZssF 則則CF將將包圍原點(diǎn)一圈。包圍原點(diǎn)一圈。 niimjjpszssF11j1P2P3P1Z2Z1Zs s

5、平面snijmjjPsZssF11)()()(2)(2Ps其其中中其余其余、點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的矢量角皆為零，即點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的矢量角皆為零，即j1P2P3P1Z2Z1Zs s平面s niimjjpszssF112)(sF若若CS包圍一個(gè)包圍一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)s=P1，則，則CSCFCF將將包圍包圍一次，一次， )2()2()2()2()(NPZPZsF niimjjpszssF11)2()(1ZZsmjj)2()(1PPsniiCSCF設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。)()()(0sHs

6、GsG0)()(1)(sHsGsF125.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)理解奈氏判據(jù)的幾個(gè)問(wèn)題：理解奈氏判據(jù)的幾個(gè)問(wèn)題：1 開(kāi)環(huán)與閉環(huán)的關(guān)系；開(kāi)環(huán)與閉環(huán)的關(guān)系；2 s平面平面, F平面平面,GH平面的關(guān)系；平面的關(guān)系；3 與與極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖的關(guān)系；的關(guān)系；4 特征點(diǎn)特征點(diǎn) 與與GH平面的關(guān)系；平面的關(guān)系；5 開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)與開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)與GH平面曲線平面曲線 包圍點(diǎn)包圍點(diǎn) 的次數(shù)的關(guān)系。的次數(shù)的關(guān)系。 ( 1, 0)j()()G jH j( 1, 0)jF(s)的零點(diǎn)閉環(huán)特征方程的根或閉環(huán)的零點(diǎn)閉環(huán)特征方程的根或閉環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn);F(s)的極點(diǎn)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)

7、極點(diǎn)的極點(diǎn)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn);若若Z= F(s)的右零點(diǎn)數(shù)的右零點(diǎn)數(shù)(閉環(huán)系統(tǒng)的右極閉環(huán)系統(tǒng)的右極點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù))；P= F(s)的右極點(diǎn)數(shù)的右極點(diǎn)數(shù)(開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的右極點(diǎn)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的右極點(diǎn)數(shù)數(shù)) 11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP則則CF在在F平面上平面上順時(shí)針順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)包圍原點(diǎn)的次數(shù)N=ZP。右極點(diǎn)右極點(diǎn)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)右極點(diǎn)閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)()()(1)(:jHjGjFsHsGsFCF111()()()nmijijniisPKsZsP則則CF在在F平面上平面上順時(shí)針順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)包

8、圍原點(diǎn)的次數(shù)N=ZP。右極點(diǎn)右極點(diǎn)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)右極點(diǎn)閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm01曲線曲線即即NyquistjHjGCGH)()(:)()(1)(:jHjGjFCF Z=0，N=P )()(1)(:jHjGjFCF11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP右極點(diǎn)右極點(diǎn)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)右極點(diǎn)閉環(huán)閉環(huán)PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm0111()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP111()()

9、()nmijijniisPKsZsP右極點(diǎn)右極點(diǎn)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)右極點(diǎn)閉環(huán)閉環(huán)PZN=ZP，Z= N+P 2700000jHjGKjHjG 11101321321sTsTsTKsHsGTTT，：設(shè)設(shè)例例開(kāi)環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)穩(wěn)定P=0，按關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱原則補(bǔ)，按關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱原則補(bǔ)（，）全圖，則有以下三種情況）全圖，則有以下三種情況；K=K1：不包圍：不包圍(-1,j0)點(diǎn)，點(diǎn)，N=0=P閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K=K2：穿越：穿越(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；K=K3：順時(shí)針包圍：順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)兩周，點(diǎn)兩周， N=2P，閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 11101

10、1 . 0102ssssHsG：例例開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定P=1，逆時(shí)針包圍，逆時(shí)針包圍N=1=P（ N=1=P ），閉閉環(huán)穩(wěn)定。環(huán)穩(wěn)定。 13TssKsHsG：例例 實(shí)軸對(duì)稱實(shí)軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于，-018009000-jHjGjHjG 處圖形。處圖形。全全補(bǔ)補(bǔ)處無(wú)界，需要從處無(wú)界，需要從在在，所以圖形，所以圖形對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)0000-sHsGs215.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n必須指出，映射定理只適用于封閉曲線不通必須指出，映射定理只適用于封閉曲線不通過(guò)的零、極點(diǎn)的情況，所以奈魁斯特軌跡過(guò)的零、極點(diǎn)的情況，所以奈魁斯特軌跡(奈奈氏軌跡氏軌跡) )應(yīng)不通過(guò)

11、的零點(diǎn)或極點(diǎn)。應(yīng)不通過(guò)的零點(diǎn)或極點(diǎn)。n如果系統(tǒng)在虛軸上（例如在原點(diǎn)處）有開(kāi)環(huán)如果系統(tǒng)在虛軸上（例如在原點(diǎn)處）有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（為極點(diǎn)（為 型以上系統(tǒng)）時(shí)，則在虛軸上也就型以上系統(tǒng)）時(shí)，則在虛軸上也就有極點(diǎn)，由于奈魁斯特軌跡不能通過(guò)的奇點(diǎn)，有極點(diǎn)，由于奈魁斯特軌跡不能通過(guò)的奇點(diǎn)，因此須將它的形狀略加修改，使奈魁斯特軌因此須將它的形狀略加修改，使奈魁斯特軌跡繞過(guò)虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。跡繞過(guò)虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。修改后的奈氏軌修改后的奈氏軌跡跡 。奈魁斯特軌跡奈魁斯特軌跡(奈氏軌跡奈氏軌跡/ /圍線圍線),),極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖( (奈氏圖奈氏圖) )225.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.

12、2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡jj1C2C3Cj0平面s4C235.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡)(1)()(1sGssHsGv0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG245.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡jj1C2C3Cj0平面s4C0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG)(1)()(1sGssHsGv( )( )G s H s

13、軌跡由開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖和輔助圓構(gòu)成映射一一對(duì)應(yīng)映射一一對(duì)應(yīng)255.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n修改后的奈氏軌跡修改后的奈氏軌跡( )( )G s H s 軌跡由開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖和輔助圓構(gòu)成265.4 用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4.2奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)n閉合曲線包圍特征點(diǎn)圈數(shù)閉合曲線包圍特征點(diǎn)圈數(shù)(次數(shù)次數(shù))R的計(jì)算的計(jì)算 設(shè)N為穿越點(diǎn) 左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N表示正穿越（從上向下穿越）的次數(shù)和，N表示負(fù)穿越（從下向上穿越）的次數(shù)和，則NNR( 1, 0)jImReAC0B)(a)()(1 0,11:42TTsssKsHsG例例 000jH

14、jGjHjG的的大大小小。與與取取決決于于之之間間走走向向T,0負(fù)相角為主；負(fù)相角為主；,11TtgtgT000 正相角為主；正相角為主；,11TtgtgT0 穿越穿越(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；臨界穩(wěn)定； P=0N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；穩(wěn)定； P=0=N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；定；222 11113027018309tgtgtgtg 非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)。例例13:5sssKsHsG 11113027018309tgtgtgtg 900,27000jHjGjHjG求與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)：求與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)： 0,133333018jKKjjKjHjG

15、交點(diǎn)：交點(diǎn)：代入代入 113027tgtg 13sssKsHsGK1，P=1，(N=1=P)，逆，逆時(shí)針包圍時(shí)針包圍一圈，一圈，Z=N+P=1+1=0閉環(huán)穩(wěn)定。閉環(huán)穩(wěn)定。K=1臨界臨界穩(wěn)定。穩(wěn)定。K6dB445.5 對(duì)數(shù)判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)5.5.2 穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量 n對(duì)于最小相位系統(tǒng)，若其相角隨著對(duì)于最小相位系統(tǒng)，若其相角隨著 增大而單增大而單調(diào)減小時(shí)，增益裕量和相位裕量為正的系統(tǒng)，調(diào)減小時(shí)，增益裕量和相位裕量為正的系統(tǒng)，是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。n僅用相角裕量或增益裕量，往往不足以說(shuō)明曲僅用相角裕量或增益裕量，往往不足以說(shuō)明曲線線 與特征點(diǎn)的靠近程度，因而不足以與特征點(diǎn)

16、的靠近程度，因而不足以說(shuō)明系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定程度，所以一般應(yīng)同時(shí)求出說(shuō)明系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定程度，所以一般應(yīng)同時(shí)求出相位裕量和增益裕量。但對(duì)于相頻特性在增益相位裕量和增益裕量。但對(duì)于相頻特性在增益交界頻率附近變化平緩的系統(tǒng)，可僅用交界頻率附近變化平緩的系統(tǒng)，可僅用 估算估算系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。 )()(jHjG加例：加例：例例5-9已知單位反已知單位反饋系統(tǒng)饋系統(tǒng)3) 1()(sKsG設(shè)設(shè)K分別為分別為4和和10時(shí)，時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。裕量。)(1800 gggjHjGK1解解1：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖5-36 例5-8 k=4和k=10時(shí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線

17、3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan3116111215 .03013180arctan340000310423200322則則則則即即則則或或jGKjGjGKjGjGjKKggcgggggggKg ggggjHjGK118032222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG圖5-36 例5-8 k=4和k=10時(shí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan311611215 . 03013180arctan34000310423200322則則

18、則則則則或或KggcgggggggKjGjGKjGjGjK1,0)(180100A1,0)(0圖 5-36 例 5-8 k=4和 k=10時(shí) 系 統(tǒng) 開(kāi) 環(huán) 幅 相 曲 線0 . 71800 .187arctan3908. 11100118 . 0152 . 13100003101023200則則則則不變不變KggcgcgKjGjGKjGjGK 11801801000ggggjHjGKjHjG穩(wěn)穩(wěn)定定裕裕量量：32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG1,0KgK10時(shí)，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定，Kg1,0g0)(0618036 . 160lg1lg120

19、110101arctg3) 1()(sKsG解解2：繪系統(tǒng)：繪系統(tǒng)Bode圖，圖，可利用三角形關(guān)系求可利用三角形關(guān)系求解。解。 K4時(shí)時(shí)01g108 . 1lglg121lg1lg12lglg17 . 131803618036 . 160lg1lg1201011010110101dBGMGMarctgarctggggggcc0)(180)(0lg2000PMA|)()(|lg20log20180ggggjHjGKdBGM07 . 6lglg20lg1lg20lglg7 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg200202102021110220202dBGMGMarctgarctggggggK10時(shí)時(shí)3) 1()(sKsG02g1 07 . 6lglg202lg1lg20lglg27 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg2002021020202