小學五年級奧數(shù)講義(教師版)30講全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學奧數(shù)基礎教程(五年級) 第25講 行程問題（二 27講 邏輯問題（一） 第1講 數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 把+，-，四個運算符號，分別填入下面等式的內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5137）（179）=12。分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應首先確定“”的位置。 當“”在第一個內(nèi)時，因為除

2、數(shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。（513-7）（17+9）。 當“”在第二或第四個內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。 當“”在第三個內(nèi)時，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例2 將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26329。由此容易知道，將 5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：5896和6487，分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有六種：12464， 16348， 24232，29192， 32174， 48116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：17432=589

3、6=5568。例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應添的三位數(shù)。由573=77371 推知， +（573-71）=一定能被573整除，所以應添502。例4 已知六位數(shù)3344是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。 分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然8996=8544，但不能認為六位數(shù)中間的兩個內(nèi)是85，因為還沒有考慮前面兩位數(shù)。再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可

4、能是7或8。 由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由379689=， 389689=知，商是3796，所求六位數(shù)是。例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。分析與解：先看豎式的個位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進位，由豎式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N5，N=0。此時，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百

5、位、千位加法都要向上進位。因為N=0，所以I0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1，百位加法向千位進2，且X0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，則R=8，X=3，這時只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。若T=8，則R只能取6或7。R=6時，X=3，這時只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是

6、美國數(shù)學月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧極了！例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當?shù)臄?shù)字，使豎式成立。分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進1，所以E=9，A=1，B=0。如果個位加法不向上進位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個位加法向上進1，由1+F+1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個

7、位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是，求原來的四位數(shù)。解：（100-1）= 6281。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C （1）由百位加法知，A=B+1；再由十

8、位加法A+ C=B+10，推知C=9，進而得到A=5，B=4（見上右式）。（2）由千位加法知B=A-1，再由個位減法知C=9。因為十位減法向百位借1，百位減法向千位借1，所以百位減法是（10+B-1）-A=A，化簡為9+B=2A，將B=A-1代入，得A=8， B=7（ 見右上式）。3.在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：123456789。解：1（23456789）=90720。4.在下面的算式中填上若干個（ ），使得等式成立：123456789=2.8。解：1（23）4（5678）9=2.8。5.將19分別填入下式的中，使等式成立：=3634。提示：3634=22379。4679= 2

9、3158= 3634。6.六位數(shù)391是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。 提示：仿照例3。7.已知六位數(shù)7888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。提示：仿例4，商的后3位是336，商的第一位是8或9。第2講 數(shù)字謎（二） 這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abcde.1abcde3=abcde1分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn)在，我們從另一個角度來解。1abcde與abcde1只是1所在的位置不同，設x=abcde則算式變?yōu)?（+x）3=10x+1，+3x=10x

10、+1，7x=，x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例2 在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。 1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4 4 求豎式。例3 左下方的除法豎式中只有一個8，請在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。 例4 解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位 數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989112=。右上式為所求豎式。 代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4 在內(nèi)填入適當數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的

11、整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=2353的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9，從而除數(shù)應是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。 因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.37516=102。上頁右式即為所求豎式。 求解此類小數(shù)除法豎式題，應

12、先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2n（不含因子5），另一個含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。 分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10*0（見豎式（1），豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。當豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）知， a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除

13、數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020； 當豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應為8。因為豎式（2）的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。所以這個五位數(shù)是10020或10440。練習21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的答案（1）4285；（2）。7(1000A+

14、 B)= 6(1000BA)， 化簡后得538A=461B，由于538與461互質(zhì)，且A，B均為三位數(shù)，所以A=461，B= 538。所求六位數(shù)是。 2.用代數(shù)方法求解下列豎式： 3.在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0答案（1）12481=10044；（2）12= 9807。提示：（1）設被乘數(shù)為a，由8a999，81a10000，推知所以a=124。（2）根據(jù)豎式特點知，商是9807。設除數(shù)是a，根據(jù)豎式特點由8a100，9a100，推知 所以a=12。3.答案（1）先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式： 易知f=2，g=0；由g=0知b

15、，d中有一個是5，另一個是偶數(shù)而f= 2，所以b= 5，進而推知d= 6；再由d= 6，f= 2知a= 2或7，而e=3或4，所以a=7；最后求出c=5。見上頁右下式。（2）先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：由豎式特點知b=c=0；因為除數(shù)與d的乘積是1000的倍數(shù)，d與e都不為0，所以d與除數(shù)中必分別含有因子23和52，故d=8，除數(shù)是125的奇數(shù)倍，因此e=5；又f0，e= 5，所以f=g=5；由g=5，d=8得到除數(shù)為50008=625，再由625a是三位數(shù)知a=1，所以被除數(shù)為6251008=，所求豎式見右上式。第3講 定義新運算（一）我們已經(jīng)學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即

16、四則運算是數(shù)學中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學習都大有益處。例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值。 3，x=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算， =2，x=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義

17、。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=ab-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。按通常的規(guī)則從左至右進行運算。分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得

18、35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=12 n。例如 4！=1234。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，100！的末位數(shù)字都是0。 所以，要求1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7 如果m，n表示兩個數(shù)

19、，那么規(guī)定：mn=4n-（m+n）2。求3（46）12的值。 解：3（46）12=346-（4+6）212=31912 =419-（3+19）212=6512=412-（65+12）2=9.5練習31.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3a-b3。求8*9的值。（值為2）2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。（值為4）3.已知ab表示（a-b）（a+b），試計算：（53）（106）。（值為0）4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。答案 5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。答案提示：（2）x（41

20、）= 7，x（43-12）= 7，x10=7， 3x-102=7，x=9。 （2）相當于由123 x=40320，求x。 40320220160，201603= 6720，67204=1680，16805=336，88=1， 即1/40320=11/21/31/41/51/61/71/8。所以x=8。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。解：x（85）= x（854）= x10= x104，由x104=10，求得x=4。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。解： （43）（26）= (4

21、3-33)(42-6/2) = 35=35-35=0。9.已知： 23=234，45=45678，求（44）（33）的值。提示：新運算“”是：從第一個數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個自然數(shù)的乘積，因數(shù)個數(shù)是第二個數(shù)字。（44）（33）= （4567）（345）=14。第4講 定義新運算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結(jié)果。 ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。 由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算

22、表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。問：85與58的值相等嗎？（2）當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數(shù)k。因為52=35+552+k2=65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）2=4。定義的新運算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244， 58=

23、35+558+48=247。因為244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0， 3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。 當新運算是ab=3a+5ab+3b時，具有交換律，即ab=ba。例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析

24、與解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81； （2）因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。 因為6x=6，x-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28， 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為ab=a，b（a，b），所以6x=303，由此求得x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；c

25、a。分析與解： ab表示先順時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)180，等于順時針轉(zhuǎn)270，也等于逆時針轉(zhuǎn)90，所以ab=c。bc表示先順時針轉(zhuǎn)180，再逆時針轉(zhuǎn)90，等于順時針轉(zhuǎn)90，所以bc=a。ca表示先逆時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)90，等于沒轉(zhuǎn)動，所以ca=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關(guān)于“”的運算表（見下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是cb的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（

26、x+1）=21，求x的值。解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f（2）=f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。練習4 答案 2.定義兩種運算“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)解：原式=（0.53+0.82.5）(0.73-0.

27、642.5)=7。提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)的4倍加上第二個數(shù)等于結(jié)果，所4.設m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）（22）（32）提示：由 23= （A2-3）4=0.75，推知A=3。定義的運算是： mn=（3m-n）4。（57）（22）（32）=（35-7）4(32- 2)4（33-2）4=217/4=8/7。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對

28、任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：，（519）19，5（199）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。6.（1）2，3，1；（2）7或14。提示：（1）（59）19= 419=3，5（195）= 54= 1。 （2）當x11時，x是7；當x11時，x是14。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。解：（1）f（g（6）- g（f（3）= f(62+1)- g（33-1）= f( 4)- g（8）=

29、 （44-1）-（82+1）= 10；。 （2）由f( g（x）)= 8=33-1，推知g（x）= 3；再由x2+1=3，得x=4。第5講 數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學習了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個

30、質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1 在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9258=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應填4。這個七位數(shù)是。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為4127

31、1=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)， 20005=400，就有400節(jié)， 因為2000個1組成的數(shù)1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3 有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=121=62=34。 要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被

32、12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。 對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。 對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。 綜合以上分析，去掉相同的，

33、可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；能被11整除。 因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。 上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那

34、么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。 假設題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知110的和也應能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？（1）提示：.是。7018和1392分別是4205與281

35、3的和與差。2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？（14）。提示：已知這兩個數(shù)的積可以整除4875，說明這兩個數(shù)都是4875的因數(shù)。4875= 355513，用這些因子湊成兩個數(shù)，使它們的和是64，顯然這兩個數(shù)是313=39和55=25。它們的差是39-25=14。3.173是個四位數(shù)。數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？（19）提示：先后填入的三個數(shù)依次是7，8，4。6，進而知f=4，所求數(shù)為和。 答案：和。提示：由題意知，b，d，f是偶數(shù)，e= 5，

36、所以a，c只能是1和3。班有多少名學生？提示：總分等于平均分乘以學生人數(shù)，因為平均分90=910，所以總（人）。6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？答案：不能。提示：假設能。因為前兩個數(shù)的和能被3整除，第2、第3個數(shù)的和也能被3整除，所以第1、第3兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。類似可知，排在第1，3，5，7，9位的數(shù)除以3的余數(shù)都相同。 在19中，除以3的余數(shù)相同的數(shù)只有3個，不可能有5個。這個矛盾說明假設不成立。第6講 數(shù)的整除性（二） 我們先看一個特殊的數(shù)1001。因為1001=71113，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。 能被7，11

37、和13整除的數(shù)的特征： 如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2 判斷能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以能被13整除，不能被7整除。例3 已知108971能被13整除，求中的數(shù)。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由139-37=80，推知中的數(shù)是8。2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有因為各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以

38、這個12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，與（-1=） 要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。同理， 與（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。因為91=713，所以能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，與都能被7因為上式中等號左邊的數(shù)與等號右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等號右邊第二個數(shù)也能被7整除，推知5599能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，99-55=44也應能被7整除。由44能被7整除，易知內(nèi)應是6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數(shù)能否被2

39、7或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）；（2）。解：（1） =2，673，135，2+673+135=810。 因為810能被27整除，不能被37整除，所以能被27整除，不能被37整除。（2）=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。 2，109大于三位數(shù)，可以再對2，109的各節(jié)求和，2+109=111。 因為111能被37整除，不能被27整

40、除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進一步推知能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：由此可知，能被59整除，37289不能被59整除一般地

41、，每進行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。 練習61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， ， ， ， ， ， 。答案能被7整除的有，；能被13整除的有88205，2.六位數(shù)17562是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？答案1。提示：175-62=113，只要內(nèi)填1，就有175-162=134.能從而ababab能被7和13整除。5.能。提示：仿例5。6.4。提示：仿例6。7.九位數(shù)87654321能被21整除，求中間中的數(shù)。7.0。解：因為87654321能被21整除，所以能被7和3整除。由能被7整除，推知下列各

42、式也能被7整除：87654-321=+0-321=+0，876-（183+0）=693+0。由（693+0）能被7整除，可求出=0或7。再由能被3整除的數(shù)的特征，內(nèi)的數(shù)只能是0。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？， ， ， ，。解.能被27整除的數(shù)有：，。能被37整除的數(shù)有：，。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，。9.能被19整除的數(shù)有：55119，55537，；能被79整除的數(shù)有：55537，71258，。第7講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

43、0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或

44、差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。 因為（2n）2=4n2=4n2

45、，所以（2n）2能被4整除； 因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。 整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這

46、個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 123456789=36。分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個

47、五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。 另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999

48、。例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得

49、到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5 五（2）班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答、答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)和是偶數(shù)，所以這部分學生的總分必是偶數(shù)。練習71.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等

50、于22？答案：不可能等于22。2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學的計算有沒有錯？（2.與例3類似，這位同學計算有錯誤）3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。答案：甲勝。3題圖 6題圖 提示：七個整數(shù)中，奇、偶數(shù)的個數(shù)肯定不等，如果奇（偶）數(shù)多，那么至少有一列的兩個數(shù)都是奇（偶）

51、數(shù)，這列的差是偶數(shù)，七個差中有一個偶數(shù)，七個差之積必是偶數(shù)，所以甲勝。4.某班學生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？答案：偶數(shù)。提示：因為這次活動是有來有往，所以總的通信數(shù)是偶數(shù)。又因為寫了偶數(shù)封信的人寫信的總數(shù)是偶數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也是偶數(shù)。因為只有偶數(shù)個奇數(shù)之和是偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人數(shù)是偶數(shù)。5.A市舉辦五年級小學生“春暉杯”數(shù)學競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？（ 奇數(shù)。提示：每個同學的得分都是奇數(shù)。）6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。答案：不可能提示：假設在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，5