高中數(shù)學-導數(shù)復習課件

1、3.1 3.1 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用要點梳理要點梳理1.1.函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )從從x x1 1到到x x2 2的平均變化率的平均變化率 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )從從x x1 1到到x x2 2的平均變化率為的平均變化率為 ， 若若x x= =x x2 2- -x x1 1,y y= =f f（x x2 2）- -f f（x x1 1），則平均變化率），則平均變化率可表示為可表示為 . .1212)()(xxxfxfxy2.2.函數(shù)函數(shù)y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0處的導

2、數(shù)處的導數(shù) （1 1）定義）定義 稱函數(shù)稱函數(shù)y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0處的瞬時變化率處的瞬時變化率 = = 為函數(shù)為函數(shù)y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0處的導數(shù)，記作處的導數(shù)，記作f f（x x0 0）或）或y y|x x= =x x0 0， 即即f f(x x0 0)= =)= = . . （2 2）幾何意義）幾何意義 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在點在點x x0 0處的導數(shù)處的導數(shù)f f(x x0 0) )的幾何意義是在曲的幾何意義是在曲線線y y= =f f（x x）上點）上點 處的處的 . .相相應地，切線方程為應地，切線

3、方程為 . .xxfxxfx)()(00lim0 xyxlim0 xyxlim0 xxfxxfx)()(00lim0( (x x0 0, ,f f( (x x0 0)切線的斜率切線的斜率y y- -y y0 0= =f f(x x0 0)()(x x- -x x0 0) )3.3.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的導函數(shù)的導函數(shù) 稱函數(shù)稱函數(shù)f f(x x)=)= 為為f f（x x）的導）的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作函數(shù)，導函數(shù)有時也記作y y.4.4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 xxfxxfx)()(lim0原函數(shù)原函數(shù) 導函數(shù)導函數(shù) f f（x x）= =c c f f(

4、x x)=)=f f( (x x)=)=x xn n ( (n nQ Q* *) ) f f(x x)=)=f f( (x x)=sin )=sin x x f f(x x)=)=f f( (x x)=cos )=cos x x f f(x x)=)=f f( (x x)=)=a ax x f f(x x)=)=cos cos x x0 0-sin -sin x xa ax xln ln a a( (a a0)0)nxnxn n-1-1e ex x5.5.導數(shù)運算法則導數(shù)運算法則 （1 1）f f（x x）g g( (x x) )= = ; ; (2) (2)f f( (x x)g g( (x

5、 x) )= = ; ; (3) = ( (3) = (g g( (x x)0).)0).6.6.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)復合函數(shù)y y= =f f( (g g( (x x)的導數(shù)和函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)y y= =f f( (u u),),u u= =g g( (x x) )的的 導數(shù)間的關(guān)系為導數(shù)間的關(guān)系為y y = = ，即，即y y對對x x的導數(shù)等于的導數(shù)等于 的導數(shù)與的導數(shù)與 的導數(shù)的乘積的導數(shù)的乘積. . f f( (x x)=e)=ex x f f(x x)=)=f f( (x x)=log)=loga ax x f f(x x)=)=f f( (x x)=ln )=l

6、n x x f f(x x)=)=( (a a0,0,且且a a1)1)axln1x1f f(x x) )g g(x x) )f f(x x) )g g( (x x)+)+f f( (x x) )g g(x x) )()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy yu uy y對對u uu u對對x xx xu ux x要點梳理要點梳理1.1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 在（在（a,ba,b) )內(nèi)可導函數(shù)內(nèi)可導函數(shù)f f( (x x) ),f,f( (x x) )在在( (a,ba,b) )任意子區(qū)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于間內(nèi)都不恒等于0 0. . f f( (x x) )0 0f

7、f( (x x) )為為 ； ff( (x x) )0 0f f( (x x) )為為 . .3.2 3.2 導數(shù)的應用導數(shù)的應用增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)2.2.函數(shù)的極值函數(shù)的極值 （1 1）判斷）判斷f f( (x x0 0) )是極值的方法是極值的方法 一般地，當函數(shù)一般地，當函數(shù)f f( (x x) )在點在點x x0 0處連續(xù)時，處連續(xù)時， 如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) ，那么那么f f( (x x0 0) )是極大值；是極大值； 如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) ， 那么那么f f( (x x0 0) )是極小值是極小值. .

8、 (2) (2)求可導函數(shù)極值的步驟求可導函數(shù)極值的步驟 求求f f(x x);); 求方程求方程 的根；的根； 檢查檢查f f(x x) )在方程在方程 的根左右值的符號的根左右值的符號. . 如果左正右負，那么如果左正右負，那么f f( (x x) )在這個根處取得在這個根處取得 ； 如果左負右正，那么如果左負右正，那么f f( (x x) )在這個根處取得在這個根處取得 . .f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x)=0)=0f f(x x)=0)=0極大值極大值極小值極小值3.3.函數(shù)的最值函數(shù)的最值 （1

9、 1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a a, ,b b上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上必有最大值與最小值上必有最大值與最小值. . (2) (2)若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則 為為函數(shù)的最小值，函數(shù)的最小值， 為函數(shù)的最大值；若函數(shù)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上單調(diào)遞減，則上單調(diào)遞減，則 為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最大值， 為函數(shù)的最小值為函數(shù)的最小值. . (3) (3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (a a, ,b

10、b) )內(nèi)可導，內(nèi)可導，求求f f( (x x) )在在a a, ,b b上的最大值和最小值的步驟如下：上的最大值和最小值的步驟如下： 求求f f( (x x) )在（在（a a, ,b b) )內(nèi)的內(nèi)的 ； 將將f f( (x x) )的各極值與的各極值與 比較，其中最大的一比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值個是最大值，最小的一個是最小值. .f f( (b b) )f f( (a a) )f f( (b b) )極值極值f f( (a a),),f f( (b b) )f f( (a a) )題型一題型一 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義【例例1 1】 （1212分）已知曲線方程

11、為分）已知曲線方程為y y= =x x2 2, , （1 1）求過）求過A A（2 2，4 4）點且與曲線相切的直線方程；）點且與曲線相切的直線方程； （2 2）求過）求過B B（3 3，5 5）點且與曲線相切的直線方程）點且與曲線相切的直線方程. . （1 1）A A在曲線上在曲線上, ,即求在即求在A A點的切線方程點的切線方程. . （2 2）B B不在曲線上，設(shè)出切點求切線方程不在曲線上，設(shè)出切點求切線方程. . 解解 （1 1）A A在曲線在曲線y y= =x x2 2上上, , 過過A A與曲線與曲線y y= =x x2 2相切的直線只有一條，且相切的直線只有一條，且A A為切點為

12、切點. . 由由y y= =x x2 2, ,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4, =4, 因此所求直線的方程為因此所求直線的方程為y y-4=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0. 思維啟迪思維啟迪（2 2）設(shè)過）設(shè)過B B（3 3，5 5）與與曲線曲線y y= =x x2 2相切的直線相切的直線方程為方程為y y-5=-5=k k( (x x-3),-3),即即y y= =kxkx+5-3+5-3k k, , y y= =k kx x+5-3+5-3k k, , y y= =x x2 2得得x x2 2- -k kx x+3

13、+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.所求的直線方程為所求的直線方程為2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.由由探究提高探究提高 （1 1）解決此類問題一定要分清）解決此類問題一定要分清“在某點在某點處 的 切 線處 的 切 線” ， 還是， 還是 “過某點的切線過某點的切線 ” 的 問 法的 問 法 . .（2 2）解決）解決“過某點的切線過某點的切線”問題，一般是設(shè)

14、出切點問題，一般是設(shè)出切點坐標為坐標為P P（x x0 0，y y0 0），然后求其切線斜率），然后求其切線斜率k k= =f f(x x0 0),),寫出其切線方程寫出其切線方程. .而而“在某點處的切線在某點處的切線”就是指就是指“某某點點”為切點為切點. .（3 3）曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，當）曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確. .題型二題型二 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)【例例2

15、 2】已知函數(shù)】已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- -axax-1.-1. （1 1）若）若f f( (x x) )在實數(shù)集在實數(shù)集R R上單調(diào)遞增，求實數(shù)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a a的取值的取值范圍；范圍； （2 2）是否存在實數(shù)）是否存在實數(shù)a a，使，使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上單調(diào)遞）上單調(diào)遞減？若存在，求出減？若存在，求出a a的取值范圍；若不存在，說明的取值范圍；若不存在，說明理由理由. . 求求f f(x x)f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成恒成立立a a的范圍的范圍. . 思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）由已知）由已知f

16、f(x x)=3)=3x x2 2- -a a. .f f（x x）在（）在（-，+）上是增函數(shù)，）上是增函數(shù)，f f（x x）=3=3x x2 2- -a a00在（在（-，+）上恒成立）上恒成立. . 即即a a33x x2 2對對x xR R恒成立恒成立. .33x x2 20,0,只要只要a a0.0.又又a a=0=0時，時，f f(x x)=3)=3x x2 200，f f（x x）= =x x3 3-1-1在在R R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a a0.0.（2 2）由）由f f(x x)=3)=3x x2 2- -a a00在（在（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .a a3

17、3x x2 2在在x x（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .又又-1-1x x1,31,3x x2 23,3,只需只需a a3.3.當當a a=3=3時，時，f f(x x)=3()=3(x x2 2-1)-1)在在x x(-1,1)上上， f f(x x) 0,0,即即f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)，）上為減函數(shù)，a a3.3.故存在實數(shù)故存在實數(shù)a a3,3,使使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上單調(diào)遞減）上單調(diào)遞減. . 探究提高探究提高 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應注意

18、調(diào)性的定義要方便，但應注意f f( (x x) )0(0(或或f f( (x x) )0)0)僅是僅是f f( (x x) )在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，在（分條件，在（a a，b b）內(nèi)可導的函數(shù)）內(nèi)可導的函數(shù)f f( (x x) )在（在（a a, ,b b) )上上遞增（或遞減）的充要條件應是遞增（或遞減）的充要條件應是f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0, ,x x(a a, ,b b) )恒成立，且恒成立，且f f(x x) )在（在（a a, ,b b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 0，這就是說，

19、函數(shù)，這就是說，函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f f(x x0 0)=0,)=0,甚至可以在無窮多個點處甚至可以在無窮多個點處f f（x x0 0）=0,=0,只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間， 因此，在已知函數(shù)因此，在已知函數(shù)f f( (x x) )是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應令數(shù)的取值范圍時，應令f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（

20、一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數(shù)的取值能否使成立理論求解），然后檢驗參數(shù)的取值能否使f f(x x) )恒等于恒等于0 0，若能恒等于，若能恒等于0 0，則參數(shù)的這個值應，則參數(shù)的這個值應舍去，若舍去，若f f(x x) )不恒為不恒為0 0，則由，則由f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定. .題型三題型三 函數(shù)的極值與導數(shù)函數(shù)的極值與導數(shù)【例例3 3】設(shè)】設(shè)x x=1=1與與x x=2=2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x)=)=a aln ln x x+ +bxbx2 2+ +x x的兩個的兩個極值點極值點.

21、. （1 1）試確定常數(shù)）試確定常數(shù)a a和和b b的值；的值； （2 2）試判斷）試判斷x x=1,=1,x x=2=2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的極大值點還是極的極大值點還是極小值點，并說明理由小值點，并說明理由. . （1 1）函數(shù)的導函數(shù)在極值點處的函數(shù)值）函數(shù)的導函數(shù)在極值點處的函數(shù)值為為0 0，列方程組求解，列方程組求解. . （2 2）極大值點與極小值點的判斷應根據(jù)極值點的定）極大值點與極小值點的判斷應根據(jù)極值點的定 義判斷義判斷. .思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）f f(x x)= +2)= +2bxbx+1,+1,xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.

22、61,32, 0142)2(. 0121) 1 (2xxxxxxxxxfbabafbaf函數(shù)定義域為（函數(shù)定義域為（0 0，+），列表），列表x x(0,1)(0,1)1 1 (1(1，2)2)2 2(2,+)(2,+)f f(x x) ) - -0 0+ +0 0- -f f( (x x) ) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 極小值極小值 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 極大值極大值 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 x x=1=1是是f f（x x）的極小值點，）的極小值點，x x=2=2是是f f（x x）的極大值點）的極大值點. . 此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極值此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極值的步驟求解，但要注意極值點與導數(shù)之間的關(guān)系，利的步驟求解，但要注意極值點與導數(shù)之間的關(guān)系，利用這一關(guān)系（用這一關(guān)系（f f (x x)=0)=0）建立字母系數(shù)的方程，通）建立字母系數(shù)的方程，通過解方程（組）確定字母系數(shù)，從而解決問題過解方程（組）確定字母系數(shù)，從而解決問題. .探究提高探究提高題型四題型四 函數(shù)的最值與導數(shù)函數(shù)的最值與導數(shù)【例例4 4】已知】已知a a為實數(shù)，且函數(shù)為實數(shù)，且函數(shù)f f( (x x)=()=(x x2 2-4)(-4)(x x- -a a).). (1) (1)求導函數(shù)求導函數(shù)f f(x x););