高等數(shù)學(xué)二重積分的概念與性質(zhì)

1、北京理工大學(xué)北京理工大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期學(xué)年第二學(xué)期柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)特點(diǎn)：曲頂：曲頂.),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問題的提出一、問題的提出播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的

2、方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似

3、表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 的的直直徑徑ini 1max 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄

4、片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo二、二重積分的概念二、二重積分的概念(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時時，定定義義中中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在.對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明： 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可

5、寫為xyo則面積元素為則面積元素為、上上可可積積。在在區(qū)區(qū)域域則則上上連連續(xù)續(xù)，在在平平面面有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域若若DyxfDyxf),(),(、三、三、二重積分的存在性及幾何意義二重積分的存在性及幾何意義二重積分存在的充分條件二重積分存在的充分條件上上可可積積。在在區(qū)區(qū)域域），則則在在每每個個子子區(qū)區(qū)域域上上都都連連續(xù)續(xù)分分成成有有限限個個子子區(qū)區(qū)域域，使使分分片片連連續(xù)續(xù)（即即可可把把上上有有界界，并并且且在在平平面面有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域若若DyxfyxfDDyxf),(),(),(二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體

6、積的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值的體積的負(fù)值性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）四、二重積分的性質(zhì)四、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地

7、特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）性質(zhì)性質(zhì) 8.d2dDDy)f(x, =y)f(-x,xy)(x,Dy)f(x,yD 0;dy)f(x,- =y)f(-x,xy)f(x,Dy)f(x,yD11 DDDy)f(x,y)f(x,則，滿足函數(shù)，即是關(guān)于f 上可在軸對稱，函數(shù)關(guān)于設(shè)區(qū)域y)f(x,

8、，則即滿滿是奇函數(shù)，關(guān)于 上可積可在軸對稱，函數(shù)關(guān)于設(shè)區(qū)域一半?yún)^(qū)域，一半?yún)^(qū)域，的右邊的右邊是是并設(shè)并設(shè)偶偶積，積，如果如果.d2dDDy)f(x, =f(x,-y)yy)(x,Dy)f(x,xD 0;dy)f(x,- =f(x,-y)yy)f(x,Dy)f(x,xD22 DDDy)f(x,y)f(x,則，滿足函數(shù)，即是關(guān)于f 上可在軸對稱，函數(shù)關(guān)于設(shè)區(qū)域y)f(x,，則即滿是奇函數(shù)，關(guān)于 上可積可在軸對稱，函數(shù)關(guān)于設(shè)區(qū)域一半?yún)^(qū)域，一半?yún)^(qū)域，的上邊的上邊是是并設(shè)并設(shè)偶偶積，積，足足如果如果在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解

9、 deDyx)(22 ab.2aeab ab區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解當(dāng)當(dāng)1 yxr時時, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時時, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln

10、( Ddyx 2)ln(.oxy121D二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）五、小結(jié)五、小結(jié)二重積分的存在性二重積分的存在性作業(yè)作業(yè) P1492，3，5，6思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，

11、被積函數(shù)為同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題4 4、 Ddyx )sin(22_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , ,其其中中 是是圓圓域域 2224 yx的的面面積積 , , 16. .二、二、 利用二重積分定義證明利用二重積分定義證明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k為常數(shù)為常數(shù)) )三三、 比比較較下下列列積積分分的的大大小小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(與與, ,其其中中D是是由由圓圓 2)1()2(22 yx所所圍圍成成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(與與, ,其其中中D是是矩矩形形 閉閉區(qū)區(qū)域域: :10 , 53 yx . .四、估計(jì)積分四、估計(jì)積分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圓是圓 形區(qū)域形區(qū)域