橢圓的幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題及練習(xí)(付答案)

1、（一）橢圓的定義：1、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于定長(zhǎng)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn) 、叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。對(duì)橢圓定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）“在平面內(nèi)”是前提，否則得不到平面圖形（去掉這個(gè)條件，我們將得到一個(gè)橢球面）；（2）“兩個(gè)定點(diǎn)”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個(gè)定點(diǎn)”，學(xué)習(xí)時(shí)注意區(qū)分；（3）作為到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和的“常數(shù)”，必須滿(mǎn)足大于| F1F2|這個(gè)條件。若不然，當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”等于| F1F2|時(shí)，我們得到的是線段F1F2；當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”小于| F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡。這兩種特殊情況，同學(xué)們必須注意。（4）下面我們對(duì)橢圓進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)

2、它本身具備對(duì)稱(chēng)性，有兩條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，我們把它的兩條對(duì)稱(chēng)軸與橢圓的交點(diǎn)記為A1， A2， B1， B2，于是我們易得| A1A2|的值就是那個(gè)“常數(shù)”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那個(gè)“常數(shù)”。同學(xué)們想一想其中的道理。（5）中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在x軸上，y 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同（第一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）和（c，0），第二個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）和（0，c）。橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較

3、大；橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)；一類(lèi)是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率對(duì)于第一類(lèi)性質(zhì)，只要的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換，就可以得出的有關(guān)性質(zhì)?？偨Y(jié)如下：幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）長(zhǎng)軸：線段，長(zhǎng)為；短軸：線段，長(zhǎng)為；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上。（2）對(duì)于離心率e，因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1，離心率反映了橢圓的扁平程度。由于，所以越趨近于1，越趨近于，橢圓越扁平；越趨近于0，越趨近于，橢圓越圓。（3）觀察下圖，所以，所以橢圓的離心率e = cosO

4、F2B2（三）直線與橢圓： 直線：（、不同時(shí)為0） 橢圓：那么如何來(lái)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過(guò)方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線和橢圓交點(diǎn)的情況。方法如下： 消去得到關(guān)于的一元二次方程，化簡(jiǎn)后形式如下， （1）當(dāng)時(shí)，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）當(dāng)時(shí)，方程組有一解，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）； （3）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，直線和橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)。 注：當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為，那么線段的長(zhǎng)度（即弦長(zhǎng)）為，設(shè)直線的斜率為，可得：，然后我們可通過(guò)求出方程的根或用韋達(dá)定理求出。典型例題一例1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

5、分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說(shuō)明：求橢圓的離心率問(wèn)題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可典型例題三例3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求說(shuō)明：（1）此題

6、求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題典型例題四例4橢圓上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為 又點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得 又點(diǎn)，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結(jié)論得 典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問(wèn)能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條

7、件得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在說(shuō)明：（1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過(guò)程（2）本例是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）典型例題六例6 已知橢圓，求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解

8、法二：設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說(shuō)明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類(lèi)型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有關(guān)二次曲線問(wèn)題也適用典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)；（2）在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫(xiě)出另一方程解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

9、程為或由已知 又過(guò)點(diǎn)，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為說(shuō)明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或典型例題八例8 橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過(guò)作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以說(shuō)明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實(shí)上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)

10、線距離之和取最小值典型例題九例9 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析：先寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求的最大值時(shí)，要注意討論的取值范圍此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等

11、知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則 其中如果，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 如果，即，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當(dāng)時(shí)（從而）有最大值由題設(shè)知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，典型例題十一例1

12、1 設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫(huà)出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由，得 可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)設(shè)，則 它表示一個(gè)圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過(guò)（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15典型例題十二例12 已知橢圓，、是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（1）過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于長(zhǎng)軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍

13、分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問(wèn)都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第（2）問(wèn)中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿(mǎn)足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成解：（1）設(shè)， 于是，是到的角故 （2）設(shè)，則，由于對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿(mǎn)足條件的或說(shuō)明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在

14、軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論典型例題十四例14 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說(shuō)明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問(wèn)題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例15 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向

15、所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點(diǎn)坐標(biāo)為典型例題十六例16 設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說(shuō)明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用請(qǐng)寫(xiě)出橢圓焦點(diǎn)在軸上的焦半徑公式典型例題十七例17已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(1)求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的最小

16、值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓

17、得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)說(shuō)明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過(guò)向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段典型例題十八例18 (1)寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問(wèn)題便化歸為三角問(wèn)題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱(chēng)性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說(shuō)明：通過(guò)橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便典型例題十九例19 已知，是

18、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡(jiǎn)可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過(guò)程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)(法2)設(shè)，則(1)在中，

19、由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)說(shuō)明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問(wèn)題找到解決思路典型例題二十例20橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍分析：、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢

20、圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，即，解得或，（舍去），又，又，說(shuō)明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使如何證明？例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）；（3）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，2）和B（2，1）分析：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓中的a、b即可。若判斷不出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。解析：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（ab0）2a10，2c8，a5，c

21、4b2a2c252429所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（ab0）由橢圓的定義知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（3）解法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1（ab0）由A（，2）和B（2，1）兩點(diǎn)在橢圓上可得：解之得若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為1（ab0），同上可解得，不合題意，舍去。故所求的橢圓方程為1解法二：設(shè)所求橢圓方程為mx2ny21（m0，n0且mn）。由A（，2）和B（2，1）兩點(diǎn)在橢圓上可得即，解得故所求的橢圓方程為1點(diǎn)評(píng)：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先應(yīng)明確橢圓的焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法求a、

22、b。（2）第（3）小題中的橢圓是存在且惟一的，為計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)其方程為mx2ny21（m0，n0），不必考慮焦點(diǎn)位置，直接可求得方程想一想，為什么？例2已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|6，且ABC的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫(huà)出草圖。如圖所示，由ABC的周長(zhǎng)等于16，|BC|6可知，點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)，即|AB|AC|16610，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫(huà)出草圖。解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、，原點(diǎn)與BC的中點(diǎn)重合。由已知|AB|A

23、C|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216。由于點(diǎn)A在直線BC上時(shí)，即y0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A的軌跡方程是1（y0）。點(diǎn)評(píng)：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用，另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在方程后注明，常用限制條件來(lái)注明。例3一動(dòng)圓與已知圓O1：（x3）2y21外切，與圓O2：（x3）2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。分析：兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動(dòng)圓圓心滿(mǎn)足的條件。解析：兩定圓的圓心和半

24、徑分別為O1（3，0），r11；O2（3，0），r29設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3。b2a2c225916故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1。點(diǎn)評(píng)：正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件，合理地消去變量R，運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。例4已知P是橢圓1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1PF230°，求PF1F2的面積。分析：如圖所示，已知P30°，要求PF1F2的面積，如用|F1F2|·|yP|，因?yàn)榍驪點(diǎn)坐標(biāo)

25、較繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°較好，為此必須先求出|PF1|·|PF2|，從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30°角的兩邊的乘積。解析：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|（2）|PF1|&#

26、183;|PF2|（|PF1|PF2|）2361003664，|PF1|·|PF2|64（2）|PF1|·|PF2|·sin30°·64（2）·16（2）例5橢圓ax2by21與直線xy1相交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|2，且PQ的中點(diǎn)C與橢圓中心連線的斜率為，求橢圓方程。分析：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個(gè)獨(dú)立條件，求出a、b之值即可解析：由得（ab）x22bxb10設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中點(diǎn)C（，1），即C（，）kOC 由得a，b所求橢圓方程為1例6中心在原點(diǎn)

27、的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，），又這個(gè)橢圓被直線l：y3x2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求該橢圓方程。分析：本題中涉及到弦的中點(diǎn)及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”。解析：據(jù)題意，此橢圓為焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，設(shè)其方程為1（ab0）設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則有：1，兩式相減得：0即3 a23b2 又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為F（0，） c則a2b250 由解得：a275，b225該橢圓方程為1例7設(shè)P是橢圓（ab0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，且F1PF2=90°，求證：橢圓的離心率e證明：P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，由橢圓的定義，得

28、|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中， 由2，得|PF1|·|PF2|=2（a2c2） 由和，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2（a2c2）=0的兩根，則=4a28（a2c2）0，（）2，即e1. 如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是A. （0，）B. （0，2）C. （1，）D. （0，1）2. 已知橢圓1，F(xiàn)1、F2分別為它的兩焦點(diǎn)，過(guò)F1的焦點(diǎn)弦CD與x軸成角（0，則F2CD的周長(zhǎng)為A. 10B. 12C. 20D. 不能確定3. 橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上

29、，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是A. ±B. ±C. ±D. ±4. 設(shè)橢圓1的兩焦點(diǎn)分別是F1和F2，P為橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF2，則|PF1|PF2|等于A. 6B. 2C. D. 5. 直線yx與橢圓y21相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于A. 2B. C. D. 6. 點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF260°，則F1PF2的面積為_(kāi)。7. ABC的兩頂點(diǎn)B（8，0），C（8，0），AC邊上的中線BM與AB邊上的中線CN的長(zhǎng)度之和為30，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)。 8. F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|6，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|MF2|

30、6，則M點(diǎn)的軌跡是_。9. 以?xún)勺鴺?biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓過(guò)點(diǎn)P（，4）和Q（，3），則此橢圓的方程是_。10. 在橢圓1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（2，1）且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程是_。11. ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B（0，6）和C（0，6），另兩邊AB、AC的斜率的乘積是，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。12. 在面積為1的PMN中，tanM，tanN2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)并且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程。參考答案1. 解析：將方程x2ky22化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，又焦點(diǎn)在y軸上，>2，解之得0<k<1。2. 解析：由橢圓方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，則F2CD的周長(zhǎng)|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020。3. 解析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易知c3，不妨設(shè)F1（3，0）、F2（3，0），因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知xP3，由橢圓方程1解得yp±，故M點(diǎn)縱坐標(biāo)為±。4. 解析：從方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，（|PF1|PF2|）21