梯形中位線與面積

1、天材教育學科教師輔導講義講義編號： 學員編號： 年 級：初二 課時數(shù)： 3學員姓名： 輔導科目：數(shù) 學 學科教師：課 題梯形中位線與面積授課時間：備課時間：教學目標1、掌握平行線等分線段定理，三角形、梯形中位線定理，三角形一邊中點 且平行另一邊的直線平分第三邊，過梯形一腰的中點且平行底的直線平分另一腰的定理；2、 使學生了解面積的概念，掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的面積公式，等底等高的三角形面積相等的性質，會用面積公式解決一些幾何中的簡單問題；3、使學生掌握幾何證題中的平移、旋轉、翻折三種變換。重點、難點三角形，梯形中位線定理的應用，添加適當?shù)妮o助線來解有關梯形的幾何題考點

2、及考試要求三角形，梯形中位線定理的應用，添加適當?shù)妮o助線來解有關梯形的幾何題教學內容第一部分 梯形中位線與面積考查重點與常見題型1 考查中位線、等分線段的性質，常見的以選擇題或填空題形式，也作為基礎知識應用，如：一個等腰梯形的周長是100cm，已知它的中位線與腰長相等，則這個題型的中位線是 2 考查幾何圖形面積的計算能力，多種題型出現(xiàn)，如：三角形三條中位線的長分別為5厘米，12厘米，13厘米，則原三角形的面積是 厘米23 考查形式幾何變換能力，多以 中檔解答題形式出現(xiàn)預習練習1順次連結對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）（A） 矩形 （B）等腰梯形 （C）菱形 （D）正方形2在四邊形

3、ABCD中，ACBD，厘米順次連結四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形一定是（ ）（A）平行四邊形 （B）矩形 （C）正方形 （D）菱形3正方形的對角線的長為6cm，則正方形的面積是 cm24菱形的兩條對角線之比是2：3，面積是15厘米2，則兩條對角線的長分別是 厘米和 厘米5一個三角形和一個梯形的面積相等，它們的高也相等，已知三角形德國底邊為18厘米，厘米梯形的中位線的長等于 厘米6ABC中，若D是BC邊的中點，則SACD ；若BD：DC3：2，則SABD：SACD 考點訓練：1等腰三角形腰長為2，面積為1，則頂角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60&

4、#176; (D) 45°2如圖，G是ABC的重心（三角形中線的交點），若SABC6，則的面積是（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D) 3如圖，ABDC,EDBC,AEBD,則圖中和ABD面積相等的三角形個數(shù)（不包括ABD）為（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 矩形兩鄰邊的長是4cm，6cm，順次連結它的四邊中點所得的四邊形面積是_cm2 5若等邊三角形的邊長為a，則它的面積為_. 6菱形的邊長為5cm，一條對角線長為8cm，則它的面積是_.7等腰梯形的中位線長為m，且對角線互相垂直，則此梯形的面積為_.8四邊形ABCD為平行四邊形，P,Q分別是AD,

5、AB上的任意點，則SPBC與SQCD有什么關系？它們與原平行四邊形的面積之間有什么關系？9在ABC中，AB10，BC5，AC5，求A的平分線的長。10如圖,在ABC中，AD為角平分線，CEAD，F(xiàn)為BC中點， 求證：EF(AB AC).解題指導： 1已知：如圖，ABC中，AD是BC上的中線，E是AD中點，BE的延長線交AC于F。求證：EFBE. 2已知：如圖，ABC中，BD,CE分別平分B和C，P是DE中點，過點P作BC,CA,AB的垂線，垂足分別為L,M,N，求證：PLPM+PN. 3證明以梯形一腰的中點及另一腰的兩個端點為頂點的三角形面積等于原梯形面積的一半。 4. 如圖，在ABC中，D是

6、BC中點，N是AD中點，M是BN中點，P是MC的中點。求證：SMNPSABC.獨立訓練： 1 如圖，ABC中，DEBC,且SADESABC12， 則ADDB等于（ ）。 (A) (B) (C) 1 (D) + 12已知三角形的一邊長為2，這邊上的中線長為1，另外兩邊和為1，則此三角形面積為（ ）。 (A) (B) (C) (D) 3矩形ABCD中，AD5，AB12，O為對角線AC,BD的交點，E為BC延長線上一點，且CEAC，則SOCE_. 4. 已知POQ內有一點A，求作ABC，使ABC的周長最小，且頂點B,C分別在OP,OQ上。 5.如圖，ABDE，直線AE,BD相交于點O，B與D相等，求

7、證：AOEO. 6如圖，ABCD為正方形，E為CD的中點，過E作EF，使AEFBAE，EF交BC于，求證：CF2BF.7如圖，在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點，DE,AB的延長線交于點F，求證：SABESEFC.第二部分 梯形中位線的推廣一、梯形中位線的性質定理：梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。二、梯形中位線性質定理的推廣公式：如圖在梯形ABCD中，ABCD，AB=a,CD=b(ab).若EFAB,EF到CD與AB的距離之比為mn，則可證明出：。三、推廣公式的證明過程： 證明：過O作OHAB于H，分別交CD、EF于M、N點。設OM=x，由已知,設MN=my， NH=ny在OAB

8、中：ABCD, AB=a,CD=b, ，又EFAB， 由得：，代入式化簡得： 由此可以看出，梯形中位線的性質定理：梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。它是mn=11時，代入=的情況。四、推廣公式的應用：例1、如上圖所示，設OAB、OCD的面積分別S1、S2，EFAB且EF到CD與AB的距離之比為mn，求OEF的面積S0與S1、S2的關系式。 解析：由三的證明過程知道了梯形中位線定理的推廣公式，利用此公式來尋找三面積之間所蘊含的關系式。由CDEFAB，易知：，代入中，可得例2、如圖，在梯形ABCD中,ABCD，AB=3,CD=1,則梯形的中位線長為_，若EFAB，且，則EF的長為_.簡答：

9、由ABCD，EFAB，易知時，EF到CD與AB的距離之比為mn = ，代入，得，故答案為2，。第三部分 梯形綜合復習提高1梯形的運用例1 如圖,在梯形ABCD中,已知ABCD,點E為BC的中點, 設DEA的面積為,梯形ABCD的面積為,則與的關系為_.分析:由E點為BC的中點,故可聯(lián)想延長DE與AB的延長線相交,將梯形的面積轉化成三角形的面積.點評:將四邊形轉化成三角形是尋求解題思路,探求解題方法的重要途徑, 注意適當?shù)刈鞒鲚o助線,學會轉化的數(shù)學思想.2.等腰梯形的有關計算例2 已知:如圖,等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3,AB=4, BC=7.求B的度數(shù).解 點評:在梯形中常通過作腰的

10、平行線,構造平行四邊形、三角形, 從而把分散的條件集中到三角形中去,從而為證題創(chuàng)造必要的條件.3. 梯形知識的綜合運用例2 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AGDB交CB的延長線于G。（1）求證：ADECBF；（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論。作業(yè)一、選擇題(每小題3分，共30分)1在梯形ABCD中，ADBC，那么ABCD可能為 ( ) A3452 B2345 C5342 D54322正方形具有而菱形不一定具有的性質是 ( ) A對角線互相平分 B對角線相等 C對角線平分一組對角 D對角線互相垂直

11、3下列命題中，錯誤的是 ( ) A有一個角是直角的菱形是正方形B三個角都相等的四邊形是矩形 C矩形的對角線互相平分且相等D菱形的對角線互相垂直平分4如果等腰梯形兩底之差等于一腰的長，那么此梯形的銳角是 ( ) A15° B30° C45° D60°5如圖，順次連結矩形ABCD各邊中點，得到菱形EFGH，這個由矩形和菱形所組成的圖形( ) A是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形 C既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D沒有對稱性 6如圖所示，在正方形ABCD的邊BC的延長線上取一點E，使CEAC，AE交CD于點F。那么，AFC( ) A

12、112.5° B120° C 135° D150°7菱形相鄰兩角的比為12，那么菱形的對角線與邊長的比為 A123 B121 C12D118如圖所示，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，如果ABC的周長比AOB的周長長10厘米，則矩形邊AD的長是A5厘米 B10厘米 C7.5厘米 D不能確定9等腰梯形的高是4，對角線與下底的夾角是45°，則該梯形的中位線是 A4 B6 C8 D1010如圖，E是正方形ABCD對角線AC上一點，EFAB，EGBC，F(xiàn)、G是垂足，若正方形ABCD周長為a，則EFEG等于 ABCaD2a二、填空題(每小題3分，

13、共30分)11已知菱形的一條對角線長等于邊長，則該菱形的四個內角度數(shù)分別是_12等腰梯形的一個銳角為80°，則與它相鄰的兩個角的度數(shù)分別是_。13如圖，在矩形ABCD中，AB2BC，將矩形ABCD沿直線AF對折，使B點落在CD邊上的E點處，則CFE_。14如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，AEAB,則EBC_。15若菱形的兩條對角線長是方程x28x150的兩個根，則該菱形的面積等于_。 16如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90°，C45°，若AD4，BC8，則梯形ABCD的面積為_。17如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則123_。18工人師

14、傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進行：(1)先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖)，使ABCD，EFGH；(2)擺放成如圖的四邊形，則這時窗框的形狀是_形，根據(jù)數(shù)學道理是：_；(3)將直角尺靠緊窗框的一個角(如圖)，調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(如圖)，說明窗框合格，這時窗框是_形，根據(jù)的數(shù)學道理是：_。19如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是_cm2。20如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對折，使點D、C分別落在AB上的點D'、C'，折痕為EF若CD3c

15、m，EF4cm，則AD'BC'_cm。三、解答題(60分)21如圖所示，在正方形ABCD中，點E、F分別是AD、BC的中點，試說明四邊形BFDE是平行四邊形22如圖所示，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AEBD，垂足為E，12，OB6厘米。(1)求BOC的度數(shù)； (2)求DOC的周長23如圖，在菱形ABCD中，CEAB交AB延長線于點E，CFAD交AD延長線于點F，請你猜想CE和CF的大小關系，并證明你的猜想。24如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，延長CB到E，使EBAD，連結AE，試說明AECA25如圖，在正方形ABCD中，P是CD的中點，連PA并延長AP交BC的延長線于點E，連結DE，取DE的中點Q，連結PQ，求證：PQBE26根據(jù)要求擬編一道新題已知：如圖所示，在矩形ABCD所在平面有一點P，且PAPD，請說明：PBPC請你將上述條件中的“矩形ABCD”改為另一種四邊形，其余條件不變，使結論“PBPC”仍然成立，再根據(jù)改編后的題目畫出圖形，并說明理由27把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD(裁剪線)剪一刀，從這個三角形中裁下一部分，與剩下部分能拼成一