曲線積分與路徑無關(guān)問題

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象授課題目 第十三講曲線積分與路徑無關(guān)問題課時(shí)數(shù)4教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握兩類曲線積分的來源、定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，重點(diǎn)掌握格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的條件重點(diǎn)難點(diǎn)1重點(diǎn)兩類曲線積分的計(jì)算方法；2難點(diǎn)格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的條件。教學(xué)提綱 第十三講曲線積分與路徑無關(guān)問題1. 第一型曲線積分(1)對弧長的曲線積分的模型： (2)積分弧段的方向無關(guān)。(3)對弧長的曲線積分的計(jì)算2. 第二型曲線積分(1) 第二型曲線積分的模型, 第二型曲線積分方向無關(guān)3. 格林公式及其應(yīng)用用“補(bǔ)面法”用格林公是求解。4. 平面曲線積

2、分與路徑無關(guān)的條件定理：以下條件等價(jià)(1) 在區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)的充分；(2) 內(nèi)沿任一閉曲線的積分為零；(3) 設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)恒成立；為全微分教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第十三講曲線積分與路徑無關(guān)問題一、第一型曲線積分1. 第一型曲線積分的模型設(shè)給定一條平面曲線弧：,其線密度為求弧的質(zhì)量。, 【說明】若，則=，即對弧長的曲線積分與積分弧段有關(guān),但與積分弧段的方向無關(guān)。2. 第一型曲線積分的計(jì)算（代入法）設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為 ，,= 特別,當(dāng)時(shí), 表示曲線弧的弧長。當(dāng)曲線弧的方程為 ，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則=； 例1：計(jì)算第一型曲線

3、積分（），其中從（，）到（，）一段。；（），其中圓周。二、第二型曲線積分1.第二型曲線積分的模型（代入法）設(shè)有一平面力場，其中為連續(xù)函數(shù),一質(zhì)點(diǎn)在此力場的力作用下，由點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求力場的力所作的功。， 【評注】設(shè)為有向曲線弧，為與方向相反的有向曲線弧，則 即第二型曲線積分方向無關(guān)2. 第二型曲線積分的計(jì)算設(shè)平面上的有向曲線的參數(shù)方程為 ，當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí),= 這里的是曲線的起點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，是曲線的終點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，并不要求。若曲線的方程為對應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則 =； 若曲線的方程為對應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則=。 同樣，以上并不要求，。公式可推廣到空間曲線上對坐標(biāo)的曲

4、線積分的情形，若空間曲線的參數(shù)方程為，則=這里下限為曲線的起點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，上限為曲線的終點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值。例2：計(jì)算，其中 (1)為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。(2)為從到點(diǎn)的直線段.【解法1】 (1)由知不是的單值函數(shù)，因此不能運(yùn)用公式（2），但可運(yùn)用公式（3），這里，從變到，于是=?！窘夥?】 當(dāng)把曲線分成與兩部分時(shí)，在每一部分上都是的單值函數(shù)。在上，由變到；在上，由變到。于是 =+=+=(2) 直線的方程為,從到,于是=從這個(gè)例子可以看出, 對坐標(biāo)的曲線積分沿不同的路徑,曲線積分不一定相等.3. 格林公式及其應(yīng)用格林公式: 設(shè)平面單連通區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)

5、偏導(dǎo)數(shù)，則 其中是的正向邊界曲線。在公式(1)中取，可得，上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此計(jì)算有界閉區(qū)域的面積的公式為:。 例3： 計(jì)算星形線所圍圖形的面積.【解】 由公式(2)得=.例4: 在過點(diǎn)(0,0)和(,0)的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲 線從到的線積分的值最小。【解】 本題可用代入法直接求解，這里采用“補(bǔ)面法”用格林公是求解。令，即AO直線段。-。用一元函數(shù)極值的方法得時(shí)達(dá)到最小值。4. 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)問題：設(shè)是平面上的一個(gè)開區(qū)域，以及在內(nèi)具有一階階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果對內(nèi)任意兩點(diǎn)與，以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條曲線、，恒有=，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)

6、。定理：以下條件等價(jià)（）在區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)；（）內(nèi)沿任一閉曲線的積分為零；（）設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)恒成立；（）為全微分例5： 計(jì)算,其中是從點(diǎn)經(jīng)圓周上半部到點(diǎn)的弧段?！窘狻?直接計(jì)算曲線積分比較難,先判斷是否與積分路徑無關(guān).這里,有=,且與在全平面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).因此這個(gè)曲線積分與路徑無關(guān).為便于計(jì)算,取直線段作為積分路徑.于是=5.奇點(diǎn)的處理方法定理：設(shè)在坐標(biāo)平面上除了點(diǎn)外都有，則對任意分段光滑閉曲線，是一個(gè)定值。例6: 計(jì)算,其中為:（1）任一簡單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域不含有原點(diǎn);（2）任一簡單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域含原點(diǎn);【解】

7、 這里,且與在不含原點(diǎn)的任意一個(gè)區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（1） 這個(gè)曲線積分與路徑無關(guān),所以.（2）設(shè)在坐標(biāo)平面上除了原點(diǎn)點(diǎn)外都有，則對任意分段光滑閉曲線，是一個(gè)定值，把換成圓周，它的參數(shù)方程為,則 .例：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】 證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（II）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可. Y【解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而【評注】 本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形. 二元函數(shù)的全微分求法定義：若函數(shù)使,則稱函數(shù)是表達(dá)式的一個(gè)原函數(shù)。判別法： 設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)存在