數(shù)學(xué)思想的滲透的范例教學(xué)微積分基本公式

1、微積分基本公式教學(xué)章節(jié)：定積分§5.2微積分基本公式教學(xué)目標：掌握微積分基本公式.教學(xué)要求：（1）學(xué)會用變限積分的方法構(gòu)造所需函數(shù)； （3）能運用變限積分性質(zhì)解決問題；（3）深刻體會牛頓-萊布尼茲公式。教學(xué)重點： 變限積分，牛頓-萊布尼茲公式.教學(xué)過程：引言定積分的計算，當(dāng)目前為止我們只能由定義計算極限在知可積情況下按某一方式劃分和選取后計算，再求極限。通常很難計算，即使在等分區(qū)間和選取邊界點情況下亦是如此。例 在直線運動的速度為運動的路程為，注意到亦即是的一個原函數(shù)。由定積分的定義可知表示直線運動在時間段的位移，故亦即“該定積分等于被積函數(shù)的一個原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量”。 這具有

2、普遍性，從而許多定積分的計算就可以轉(zhuǎn)化為不定積分的計算，而避免了計算惱人的注：這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的研究方法：觀察-猜想-證明-應(yīng)用。一變限積分（一） 變（上）限定積分 一般地，若函數(shù)在上可積, 則可定義上的一個函數(shù)稱它為變上限的定積分，或變上限函數(shù)。可積函數(shù)用定積分的方法-變（上）限的定積分法可以構(gòu)造函數(shù)：且例 ，則是以為曲邊，以為底邊的曲邊梯形的“面積”。 顯然（1）在有定義，且（2）當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時。（3）在嚴格增，故有反函數(shù)。事實上用變下限的定積分法也可定義上的一個函數(shù)更一般的若在連續(xù)，且值域在內(nèi)，則用變上下限的定積分法也可定義函數(shù)注：函數(shù)是微積分的研究對象，如何已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)是一個重要的問題

3、，之前我們有初等方法四則運算及符合的方法、極限的方法求導(dǎo)，今又有用積分變限的方法事實上也是極限的方法來構(gòu)造函數(shù)。這是一個極為重要數(shù)學(xué)思想方法，而且按此方法函數(shù)獲得了幾何意義，體現(xiàn)分析與幾何相互滲透。（二） 變限函數(shù)性質(zhì)我們研究函數(shù)性質(zhì)定理1 若函數(shù)在上連續(xù),則變上限函數(shù)在可導(dǎo)，且它的導(dǎo)函數(shù)證明 取使得，則有，其中介于與與之間。由于可導(dǎo)，自然在上也連續(xù)。定理表明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，就是其一個原函數(shù)。例函數(shù)由定理1可知是一個原函數(shù)，由不定積分可知形如，又由可知；又有反函數(shù)，故有幾何意義：當(dāng)如圖曲邊梯形面積為時，的取值。注：利用變限積分思想構(gòu)造函數(shù)成功給出連續(xù)函數(shù)原函數(shù)的存在性，而且把定積分與

4、導(dǎo)數(shù)這兩個完全不同的極限聯(lián)系起來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對希望在不同事物之間建立聯(lián)系的思想。例如又體現(xiàn)在積分中值定理亦是微分中值定理其中，且有。例1 設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) 。證明 ，其中，故在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) 。例2 設(shè)在上連續(xù)，且，試證至少存在一點使證明 法一 令，因在上連續(xù)，則在可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知少存在一點使 即 （*）又，其中，故由（*）可得法二 令 則顯然有、在可導(dǎo)，又故由Cauchy定理知至少存在一點使即二 牛頓-萊布尼茲公式定理2 （牛頓-萊布尼茲公式）設(shè)在上連續(xù)，是在上的任一個原函數(shù)，則證明 由定理1知也是在上的一個原函數(shù)，故從而有，故注：在未有牛頓-萊布尼茲公式之前要

5、計算像現(xiàn)在看來極為簡單問題也耗費阿基米德這樣天才的不少心血。而有牛頓-萊布尼茲公式后計算一大類定積分，轉(zhuǎn)化為求的原函數(shù)，亦即求，而計算有一系列計算方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對算法的追求，體現(xiàn)了人類智慧的榮耀，從而定積分中惱人的和式及極限運算。例 困難，現(xiàn)在 在牛頓-萊布尼茲公式之前，微分和積分是各自獨立發(fā)展的，牛頓-萊布尼茲公式向我們展示微分學(xué)中微分的逆運算不定積分和積分學(xué)中的積分有如此緊密(這也是為什么我們把微分學(xué)中微分的逆運算稱為不定積分的原因)，微分和積分不再各自發(fā)展而是統(tǒng)一在一起成為數(shù)學(xué)分析，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對事物內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一的追求。例3 計算 （1） （2），（3）， （4）。解（1）（2） （3）（4）利用牛頓-萊布尼茲公式公式我們可以獲得變限函數(shù)的求導(dǎo)公式：設(shè)在上連續(xù)， 在可導(dǎo)，且值域在內(nèi)，則可導(dǎo)，且特別地 ， 事實上設(shè)是一個原函數(shù)，則故例4 求 解 令則是連續(xù)函數(shù)，故即是型，故由洛必達法則可得例5 確定常數(shù) 的值, 使解 令則是連續(xù)函數(shù)，故其中介于0與之間，故有。從而又, 故，從而有?？偨Y(jié)