機械制圖教案第13講

1、第十三講 §26 換面法課 題：1、換面法的概念2、點的投影變換3、直線的投影變換4、平面的投影變換5、換面法投影變換應(yīng)用舉例課堂類型：講授教學(xué)目的：1、講解換面法的投影變換規(guī)律 2、講解換面法的四個基本作圖方法教學(xué)要求：1、理解并熟練掌握一次換面、二次換面中點的投影的作圖規(guī)律2、掌握換面法的四個基本作圖方法，并能夠應(yīng)用于解題實踐教學(xué)重點：換面法的四個基本作圖方法教學(xué)難點：新投影面、新投影軸的選擇和投影的返回（換面法的反向作圖）教 具：掛圖：“將一般位置直線變換成投影面平行線”；“將一般位置直線變換成投影面垂直線”；“將一般位置平面變換成投影面垂直面”；“將一般位置平面變換成投影面平

2、行面”。教學(xué)方法：理論講解和實際演示作圖相結(jié)合。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課結(jié)合作業(yè)中的問題，說明在平面上取點、取直線、取投影面平行線的作圖方法。二、引入新課題在解決工程實際問題時，經(jīng)常遇到求解度量問題，如實長、實形、距離、夾角等，或者求解定位問題，如交點、交線等。通過對直線或平面的投影分析可知，當(dāng)直線或平面對投影面處于一般位置時，在投影圖上不能直接反映它們的實長、實形、距離、夾角等；當(dāng)直線或平面對投影面處于特殊位置時，在投影圖上就可以直接得到它們的實長、實形、距離、夾角等。換面法就是研究如何改變空間幾何元素對投影面的相對位置，以達(dá)到簡化解題的目的。三、教學(xué)內(nèi)容（一）換面法的概念1、概念空間幾何元素

3、的位置保持不動，用新的投影面代替原來的投影面，使幾何元素在新投影面上的投影對于解題最為簡便，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。2、舉例如圖249所示為一處于鉛垂位置的三角形平面在VH體系中不反映實形，現(xiàn)作一個與H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，組成新的投影面體系V1H，再將三角形平面向V1 面進行投影，這時三角形平面在V1面上的投影就反映該平面的實形。 圖249 換面法的原理（二）點的投影變換點是最基本的幾何元素，因此必須首先研究在變化投影面時，點的投影變換規(guī)律。1、新投影面的選擇在進行投影變換時，新投影面是不能任意選擇的，首先要使空間幾何元素在新投影面上的投影能夠幫助我們更方便地解

4、決問題。并且新投影面必須要和不變的投影面構(gòu)成一個直角兩面體系，這樣才能應(yīng)用正投影原理作出新的投影圖來。因而新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：（1）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個不變的投影面。（2）新投影面必須使空間幾何元素處于有利于解題的位置。2、點的一次換面根據(jù)選擇新投影面的條件可知，每次只能變換一個投影面。變換一個投影面即能達(dá)到解題要求的稱為一次換面。（1）變換V面，即VHV1H如圖250中a、a 為點A在VH 體系中的投影，在適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)一個新投影面V1代替V，必須使V1H，從而組成了新的投影體系V1H。 V1與H 的交線 X1為新的投影軸。由A 向V1作垂線得到新投影面上

5、的投影a1 ，而水平投影仍為a 。 （a） （b）圖250 變換V面邊作圖演示邊講解作圖步驟。（2）變換H面，即VHVH1從圖251中看出，用H1代替H組成新投影面體系VH1，由于V面不變，所以點到V面的距離不變。即a1a x1 = aa x = y坐標(biāo)。（a） （b）圖251 變換H面邊作圖演示邊講解作圖步驟。3、點的二次換面點的二次變換的原理和方法與第一次變換基本相同，只是將作圖過程重復(fù)一次，但要注意新、舊體系中坐標(biāo)的量取，其作圖方法和步驟如圖252所示：（a） （b） 圖252 點的二次變換注意：新投影面的設(shè)置必須符合前述兩個原則，而且必須交替變換，若第一次用V1面代替V面，組成V1H新

6、體系，第二次變換則應(yīng)用H2面代替H面組成V1H2體系，可如此交替多次變換達(dá)到解題目的。（三）直線的投影變換直線是由兩點決定的，因此當(dāng)直線變換時，只要將直線上任意兩點的投影加以變換，即可求得直線的新投影。 在解決實際問題時，根據(jù)實際需要經(jīng)常要將一般位置線變換成平行或垂直于新投影面的位置。1、直線的一次換面（1）將一般位置線變換為投影面平行線當(dāng)一般位置線變換為投影面平行線時，就可以求出線段的實長和對投影面的傾角。舉例：如圖253所示，AB為一般位置線，如要變換為正平線，則必須變換V面，使新投影面V1面平行AB，這樣AB在V1面上的投影a1 b1 將反映AB的實長，a1 b1 與X1軸的夾角反映直線

7、對H面的傾角。（a） （b）圖253 一般位置線變換為投影面平行線（求角）邊作圖演示邊講解作圖步驟。（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線舉例：如圖255所示，將正平線AB變換為垂直線。根據(jù)投影面垂直線的投影特性，反映實長的投影必定為不變投影，只要變換水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，這樣AB在H1面上的投影重影為一點 。（a） （b）圖255 正平線變換為投影面垂直線邊作圖演示邊講解作圖步驟。在上例中，如果要求將水平線AB變換為垂直線，只要變換正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，這樣AB在V1面上的投影重影為一點，如圖256所示。邊作圖演示邊講解作圖步驟。（a） （b）圖256 水平

8、線變換為投影面垂直線2、直線的二次換面直線的二次換面可以將一般位置線變換為投影面垂直線。第一次將一般位置線變換為投影面平行線，第二次將投影面平行線變換為投影面垂直線。舉例：如圖257所示，AB為一般位置線，如先變換V面，使V1面平行AB，則AB在V1H體系中為投影面平行線，再變換H面，作H2面垂直AB，則AB在V1H2體系中為投影面垂直線。（a） （b）圖257 一般位置線變換為投影面垂直線邊作圖演示邊講解作圖步驟。（四）平面的投影變換平面的投影變換，就是將決定平面的一組幾何要素的投影加以變換，從而求得平面的新投影。根據(jù)具體要求，可以將平面變換成平行或垂直于新投影面的位置。1、平面的一次換面（

9、1）將一般位置面變換為投影面垂直面當(dāng)一般位置面變換為投影面垂直面時，就可以求出平面對投影面的傾角。舉例：如圖258所示，ABC為一般位置面，如要變換為正垂面，則必須取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于ABC，又垂直于H面，為此可在三角形上先作一水平線，然后作V1面與該水平線垂直，則它也一定垂直H面。 （a） （b）圖258 一般位置平面變換為投影面垂直面（求角）邊作圖演示邊講解作圖步驟。在上例中，如果要求ABC 對V面的傾角，可在此三角形平面上先作一正平線AE，然后作H1面垂直AE，則ABC在H1面上的投影為一直線，它與X1軸的夾角反映ABC對V面的傾角，如圖259所示。邊作圖演示邊講解作圖

10、步驟。圖259 一般位置平面求角（2）將投影面垂直面變換為投影面平行面舉例：如圖260所示為鉛垂面ABC，要求變換為投影面平行面。根據(jù)投影面平行面的投影特性，重影為一直線的投影必定為不變投影，因此可以變換V面，使新投影面V1平行ABC，這樣ABC在V1面上的投影a1 b1 c1 反映實形。（a） （b）圖260 垂直面變換為平行面邊作圖演示邊講解作圖步驟。2、平面的二次換面平面的二次換面可以將一般位置面變換為投影面平行面。第一次將一般位置面變換為投影面垂直面，第二次將投影面垂直面變換為投影面平行面。舉例：如圖261（a）所示為ABC為一般位置面，為了求出它的實形，必須變換兩次，先將ABC變換為

11、垂直面，再變換為平行面。（a） （b）圖261 一般位置面變換為投影面垂直面邊作圖演示邊講解作圖步驟。同理，也可以先變換H面，在此基礎(chǔ)上再變換一次V面，如圖261（b）所示，a2b2c2 為所求實形。（五）換面法投影變換應(yīng)用舉例1、講解例題（例212） 求C點到AB直線的距離。如圖262（a）所示。作圖方法與步驟如圖262 (b)所示： （a） （b）圖262 求點到直線的距離2、講解例題（例213） 求D點到平面ABC的距離。如圖263（a）所示。作圖方法與步驟如圖263 (b)所示。（a） （b）圖263 求點到平面的距離3、講解例題（例214） 求交叉兩直線AB、CD間的距離。如圖264（