數(shù)學(xué)建模淋雨模型

1、 專業(yè)及班級(jí) 土木10班學(xué)號(hào) 20136452姓名 楊昌友 淋雨量模型一摘要：本文主要研究人在雨中行走的淋雨量問題。在給定的降雨條 件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中奔跑時(shí)淋雨多少與奔跑速度、降雨方向等因素的關(guān)系。得出結(jié)論：若雨迎面落下，則以最大的速度跑完全程淋雨量最少；若雨從背后落下，則以降雨速度的水平分量時(shí)奔跑時(shí)淋雨量最少。 關(guān)鍵詞：淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程遠(yuǎn)近二、問題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。 將人體簡化成一個(gè)長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的

2、距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進(jìn)行討論17： （1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量; （2）、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨里最少。計(jì)算=0，=30°的總淋雨量.（3）、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最小。計(jì)算=30°

3、的總淋雨量.（說明：題目中所涉及的圖形為網(wǎng)上提供） （4） 、以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義.（5） 、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化？三、問題分析 淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積?？傻茫?淋雨量（V）=降雨量（）×人體淋雨面積（S）×淋浴時(shí)間（t） 時(shí)間（t）=跑步距離（d）÷人跑步速度（v） 由 得： 淋雨量（V）=×S×d/v四 模型假設(shè) （1）、將人體簡化成一個(gè)長方體，高a=1.5m（

4、頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，記跑步速度為v； （2）、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值； （3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步； （4）、問題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少； 五、 符號(hào) 淋雨量 V降雨量 人體淋雨面積 S淋浴時(shí)間 t跑步距離 d跑步速度 v人高 a人寬 b人厚 c六、模型求解： （一）、模型建立及求解： 設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積： S2ab+2ac+bc 雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v

5、總降雨量 V×S×d/v 2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得： S2.2（） V0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（2） 、模型建立及求解： 若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量. （如圖1） 設(shè)雨從迎面吹來時(shí)與人體夾角為. ，且 0°<<90°，建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為且方向與v相反，故人相對(duì)于雨的水平速度為： 則前部單位時(shí)

6、間單位面積淋雨量為： 又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：，時(shí)間為： d/v于是前部淋雨量V2為 ： 即： （2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無關(guān)，所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為，頂部面積為 ，淋雨時(shí)間為 ，于是頂部淋雨量為： 由可算得總淋雨量 : 代入數(shù)據(jù)求得： 由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。 對(duì)函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得： 顯然：<0， 所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當(dāng)=0，代入數(shù)據(jù)，解得： V0.0011527778（m³）1.153（

7、L）（）當(dāng)=30°，代入數(shù)據(jù)，解得： V0.0014025(m³)1.403（L）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2） 設(shè)雨從背部吹來時(shí)與人體夾角為， 且0°90°,建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對(duì)于人頂部的淋雨量 V1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得： （2）、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的水平速度為： 從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為： 可得人背部淋雨量為： 而總淋雨

8、量：V=V1 V3從而有： 化簡式得： 代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得： 由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（）、 當(dāng)時(shí)，且0°90°，可得：c cosa sin>0對(duì)式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少， 因此， 總淋雨量最小。（）、當(dāng)v >u sin時(shí)，且0°90°，對(duì)式求導(dǎo)， 解得： ()、當(dāng)1.5sin0.2 cos<0時(shí)，即 ：tan<2/15,即V<0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，所以，速度v=vm ，總淋雨量最小。

9、（）、當(dāng)1.5sin0.2 cos>0時(shí)，即 ：tan>2/15,即V>0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=u sin 總淋雨量最小。 當(dāng)30°，tan>2/15 ，由模型分析的，當(dāng)v=u sin=4×1/2=2（m/s）總淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)四：根據(jù)問題3中所求的降雨量然后對(duì)式子分別求導(dǎo)可以畫出如下的圖vvOOVVu sinu sintan<c/atan>c/a結(jié)果的實(shí)際意義：從背面吹來時(shí)，只要滿足：tan>c/a則v= u

10、sin時(shí)V最小，相當(dāng)于人的前面背面都不會(huì)淋雨，只有頂部淋雨.五：模型五簡歷及求解當(dāng)雨線方向與跑步方向不在同一平面是，它又分為雨從前斜方后后斜方飄來（1）雨從前斜方飄來，設(shè)它與前面形成的夾角為，與頂部形成的夾角為，與側(cè)面形成的夾角為。方法與二三模型的方法相同。前面的淋雨量V1=ab(u+u sin) d/v;頂部的淋雨量為V2=bcu sind/v;側(cè)面的淋雨量為V3=acu sind/v?？偟牧苡炅烤蜑閂=V1+V2+V3.(2)雨從后斜方飄來時(shí)，它與后面形成的夾角為，與頂部形成的夾角為，與側(cè)面形成的夾角為。頂部和側(cè)面的淋雨量都不變，只有后面淋雨量與雨速與人的速度相對(duì)關(guān)系有關(guān)。頂部的淋雨量為V1=bcu sind/v;側(cè)面的淋雨量為V2=acu sind/v。人相對(duì)于雨的水平速度為： ，則人背部淋雨量為： 則人的總淋雨量為V=V1+V2+V3七、結(jié)果分析： （1）在該模型中考慮到雨的方向問題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。 由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹來時(shí)，跑得越快越好 （3）若雨從背面吹來時(shí)，分為兩種情況： 當(dāng)tan>c/a時(shí)，跑步速度v=u sin時(shí)V最小； 當(dāng)tan&l