數(shù)學分析習題答案

1、1計算下列二重積分：（1），其中D由拋物線與直線所圍成的區(qū)域；（2），其中；（3），其中為圖21-9中陰影部分；（4），其中；解 （1）=（2）=（3）=（4）=2求由坐標平面及所圍成的角柱體的體積.解： 角柱體如圖所示，陰影部分為角柱體在平面上的投影區(qū)域. 于是.3（1）計算二重積分，其中D是由及所圍成的區(qū)域。（2）計算二重積分，其中D由圍成。（1）解：。（2）解: （結(jié)合圖形）4計算二重 ，其中是由所圍成的區(qū)域。解：作圖y=-x3分區(qū)域D為D1和D2，利用對稱性知：，則I=2=2=。5計算第二型曲線積分，為任意包含原點（不通過原點）的有界閉區(qū)域的邊界曲線，逆時針方向。解: P=，Q=，所圍

2、區(qū)域D，由于函數(shù)Q和P在區(qū)域D內(nèi)的原點不連續(xù)，且不具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，作，邊界為，規(guī)定方向為順時針方向。Q=, P=且則由格林公式有，由于是逆時針方向，令，其中從0變化到，則6利用Green公式計算下列積分：，其中L是圓周的上半部分，方向從（0,0）到點（2,0）；解：記O（0，0），A（2, 0）.位于軸上的線段與L合起來形成封閉曲線，封閉曲線所圍的區(qū)域設(shè)為D，且的方程為記則，于是利用Green公式得=.因此=.7應(yīng)用格林公式計算下列曲線積分；（1），其中L是以為頂點的三角形，方向取正向；（2），其中m為常數(shù)，AB為由到經(jīng)過圓上半部的路線.（3）應(yīng)用格林公式計算曲線積分:其中L為上半圓周從

3、(a,0)到的一段.解 (1)作圖：AB的方程為:,BC的方程為:CA的方程為:,設(shè),則把三角形域分成兩部分和,于是原式=(2)在軸上連接點與點這樣就構(gòu)成封閉的半圓形,且在線段上,于是而.由格林公式得:因此,原式=.（3）解 以為半徑的上半圓域D,應(yīng)用格林公式有=+0=而8驗證下列積分與路線無關(guān)，并求它們的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路線；（4）沿不通過原點的路線；（5）其中為連續(xù)函數(shù)。解 （1）因 P=所以P與Q滿足定理條件，故積分與路線無關(guān)。于是，取路線為則有（2）因為所以.故由定理21.12知該積分與路線無關(guān).因此(3)因，從而.因此,積分與路線無關(guān),所以(4)當時是全微分,故積分

4、與路線無關(guān),且原式=(5)因為連續(xù)函數(shù),則與分別是的原函數(shù),于是可見,積分與路線無關(guān),從而9求下列全微分的原函數(shù):(1)(2)(3)（4）解 (1)由于從而積分與路線無關(guān).故其原函數(shù)為.(2)由于,從而積分與路線無關(guān),因此被積式為全微分,設(shè)則.(3)為的全微分=（4）曲線積分和路徑無關(guān)，存在10用極坐標計算下列二重積分:(1),其中;(2),其中;(3),其中為圓域:;(4),其中為圓域:.(5)計算，其中D是由所圍成的閉區(qū)域解：（1）.(2)應(yīng)用極坐標變換后積分區(qū)域從而=(3)由對稱性有=（4）(5)解：11（1）計算下列三重積分：其中V是由和 所確定.（2） 其中由曲面=、z=圍成的閉區(qū)域

5、；（3），其中v是由曲面與z=4所圍的區(qū)域；解 (1)由于被積函數(shù)為,因此可以把三重積分化為“先二重后一重”的累次積分。又由于區(qū)域V用平行于xy平面的平面截得的是一個圓面，即從而（2）解：令x=rcos,y=rsin,z=z（3）解：令x=rcos,y=rsin,z=z12計算下列第一型曲面積分：（1）其中S是上半球面（2）其中S為立體的邊界曲面；（3）其中S為柱面被平面所截取的部分；（4）其中S為平面在第一卦限中的部分.（5）其中是球面。解 (1)因從而=(2)面積S由兩部分組成,其中它們在Oxy面上的投影區(qū)域都是由極坐標變換可得=(3)(4)（5）解：由題意可知，D是關(guān)于x,y,z軸對稱1

6、3計算下列第二型曲面積分：（1），其中S為由六個平面所圍的立方體表面并取外側(cè)為正向；（2），其中S是以原點為中心，邊長為2的立方體表面并取外側(cè)為正向；（3），其中S是由平面所圍的四面體面并取外側(cè)為正向；解 (1)因為=,=,=所以,原積分=+=.(2)由對稱性知須計算其中之一即可 由于故原積分=(3)由積分對稱性知 原式14應(yīng)用高斯公式計算下列曲面積分：（1），其中S是單位球面的外側(cè)；（2），其中S是立方體表面的外側(cè)；（3），其中S是錐面與平面z=h所圍空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè)；（4），其中S是單位球面的外側(cè)；（5），其中S是單位球面的外側(cè)。（6）利用高斯公式計算曲面積分,其中S是邊長為a的

7、正方體外側(cè)。（7）利用高斯公式計算曲面積分，其中S是上半球面外側(cè)。（8）利用高斯公式計算曲面積分，其中S是的上半球面外側(cè)。（9）利用高斯公式計算曲面積分，其中上的部分，并取上側(cè)。解 （1）（2） （3）解：，利用柱面坐標變換：（4）解：利用球面坐標變換：（5） 原式（6）解：，（7）解：取，方向向下其中：（因為）（8）取，方向向下其中：利用球面坐標變換：（因為）（9）解：取，其中：利用柱面坐標變換：15求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域：（1）； （2）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8） 解：（1）由于，所以收斂半徑，即收斂區(qū)間為，但當時，有均發(fā)散，所以級數(shù)在時也發(fā)散，于是這個級數(shù)的

8、收斂區(qū)域為。（2）由于，所以收斂半徑，但當時，由于級數(shù)收斂，所以級數(shù)在也收斂，于是這個級數(shù)的收斂區(qū)域為。（4）由于，所以收斂半徑，這個級數(shù)的收斂區(qū)域為。（5）由于=，所以收斂半徑，于是這個級數(shù)的收斂區(qū)域為。（6）由于=，所以收斂半徑，因而級數(shù)的收斂區(qū)間為，即，當時，級數(shù)為=收斂，當時，級數(shù)為，而由于且發(fā)散，故此時原級數(shù)發(fā)散，于是可得級數(shù)的收斂區(qū)域為。（7）因為，又，所以，從而收斂半徑，又當時,，可見級數(shù)在時發(fā)散，故這個級數(shù)的收斂區(qū)域為。16應(yīng)用逐項求導(dǎo)或逐項求積分方法求下列冪級數(shù)的和函數(shù)（應(yīng)同時指出它們的定義域）：（1）；（2）；（3）（4）解：（1）因為=，且時，與都是發(fā)散級數(shù)，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)域為，設(shè)其和函數(shù)為，于是當時，逐項求導(dǎo)數(shù)可得，所以， （）（2）由于=，且當時，這個冪級數(shù)發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)域為，設(shè)其和函數(shù)為，則=， 因為當時，=所以=，從而 （）（3）因為，且當時，這個級數(shù)發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)域為，設(shè)其和函數(shù)為，則=，因而 = （）所以 （）(4)因為 =1，所以收斂半徑=1，當時級數(shù)與都收斂，故這個冪級數(shù)的收斂區(qū)域是，設(shè)=則當時， ， ，從而可得 因此 故 17確定下列冪級數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)：（1） ； （3） ；解：（1）因為 = 所以 ，當 時，與都發(fā)散，所以收斂域為， 令 則 = ，所以 =（3）設(shè) ，