有限元試卷答案

1、1. 寫出線彈性平面問(wèn)題三類基本方程和二類邊界條件（分量或指標(biāo)形式），并指出相應(yīng)的自變量。答：三個(gè)基本方程 平衡方程 本構(gòu)方程 平面應(yīng)力平面應(yīng)變 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 幾何方程 二類邊界條件 力的邊界條件 位移邊界條件 如今給定的位移邊界為，則有（在），其中分別為邊界上x，y方向上的位移分量 2. 簡(jiǎn)述有限元法分析的基本步驟和相對(duì)應(yīng)的基本表達(dá)式。答：江見鯨的教材P26頁(yè)（4步的這是），如果想要寫完成7步的話那就是P8步驟： 將結(jié)構(gòu)離散化 單元分析，求得單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?以節(jié)點(diǎn)為隔離體，建立平衡方程 施加荷載 引入邊界條件 求解方程，求得節(jié)點(diǎn)位移 對(duì)每一單元循環(huán)，由單元節(jié)點(diǎn)位

2、移通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃嚽蟮脝卧獞?yīng)力或桿件內(nèi)力 表達(dá)式： 位移模式 幾何矩陣 B= 彈性矩陣 應(yīng)力矩陣 3. 單元分析中,假設(shè)的位移模式應(yīng)滿足哪些條件,為什么?平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，能否構(gòu)造如下的位移模式(說(shuō)明原因)答：這類問(wèn)題參照江見鯨的教材P13，要求滿足的三個(gè)條件不能。因?yàn)椴粷M足完備性，缺少表示剛體位移的常數(shù)項(xiàng)和表示應(yīng)變是位移一階導(dǎo)數(shù)的常應(yīng)變項(xiàng)不能保證解的收斂性。4. 簡(jiǎn)述加權(quán)余量法、半解析法、樣條有限元法、邊界單元法的特點(diǎn)。 答：加權(quán)余量法：當(dāng)n有限時(shí)，定解方程存在偏差（余量），取權(quán)函數(shù)，強(qiáng)迫余量在某種平均意義上均為采用使余量的加權(quán)積分為0的等效積分以“弱”形式來(lái)求得微分方程近似解的方法。

3、半解析法：離散與解析相結(jié)合的方法，減少計(jì)算工作量，降低費(fèi)用。樣條有限元法：具有緊湊型及良好的光滑性，明確的表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)，所得到的結(jié)果均在單元節(jié)點(diǎn)上，在數(shù)據(jù)的后處理方面更為方便和精確。邊界單元法：將所研究問(wèn)題的偏微分方程，設(shè)法轉(zhuǎn)換為在邊界上定義的邊界積分方程，然后將邊界積分方程離散化為只含有邊界結(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組，解此方程組可得邊界節(jié)點(diǎn)上的未知量并可由此進(jìn)一步求得所研究區(qū)域中的未知量，它除了能處理有限元方法所適應(yīng)的大部分問(wèn)題外，還能處理有限元法不易解決的無(wú)限域問(wèn)題。5. 驗(yàn)證3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移插值函數(shù)滿足證明：由原題目所知得又因?yàn)楣?，得結(jié)論。這個(gè)題參照教材12頁(yè)到14頁(yè)6. 推導(dǎo)一維桿單

4、元的形函數(shù)、幾何矩陣、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣答：形函數(shù)參照教材11到14頁(yè)，幾何矩陣在15頁(yè)，應(yīng)力矩陣在17頁(yè)，剛度矩陣在19頁(yè)。具體不是很會(huì)，大家自行解答吧7. 就下列言論寫出自己的看法：（有限元分析之大腕版）一定要選最變態(tài)的題目，什么材料非線性啊，幾何非線性啊，接觸非線性啊，多物理場(chǎng)耦合啊，都給他弄進(jìn)去。是個(gè)模型就幾百萬(wàn)個(gè)單元，上千萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn)，畫個(gè)剖面圖就要十幾個(gè)小時(shí)。再整一并行機(jī)群，TOP500的，張口就是 High Performance Computation，一口地道的倫敦腔，倍兒有面子。題目一扔進(jìn)去就跑個(gè)把月，你要是一個(gè)星期以內(nèi)出結(jié)果，你都不好意思和別人打招呼。你說(shuō)這樣一趟算下來(lái)要發(fā)多

5、少Paper? 10篇？10篇？就1篇！你還別嫌少，說(shuō)不定人家還發(fā)在會(huì)議上。你得琢磨牛人的心理啊，有能耐算這樣題目的人，根本就不在乎多發(fā)一篇兩篇文章。什么叫大牛知道么？大牛就是不求灌水，但求經(jīng)典。答：這道題。誰(shuí)知道想問(wèn)什么。8. 采用矩形薄板單元（4個(gè)結(jié)點(diǎn)，12個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，1個(gè)撓度獨(dú)立變量）計(jì)算受中心集中力的四邊支承板，位移函數(shù)：計(jì)算結(jié)果如下表(邊長(zhǎng)為1，厚度為0.01，彈模為1，波松比為0.3)單元數(shù)（1/4板）四邊固定板中心撓度wD/PL2邊中點(diǎn)彎矩M/P2×20.00614-0.11784×40.00580-0.12336×60.00571-0.1245

6、理論解0.00560-0.1257試分析本題中有限元解位移大于解析解、彎矩小于解析解的原因。答：有限元解位移大于解析解的原因是單元為非完全協(xié)調(diào)單元。 撓度w是彎曲問(wèn)題中的基本未知函數(shù)且由于忽略了Z方向的變化，因此它只是x,y的函數(shù)：，若w已知，則唯一、內(nèi)力、應(yīng)力均可按上述相應(yīng)公式求出。在經(jīng)典解析法中，w（x，y）常設(shè)為三角級(jí)數(shù)形式。9. 三角形單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示，設(shè)單元中一點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0.6，0.3）。已知三角形三結(jié)點(diǎn)單元的i 結(jié)點(diǎn)位移為（2.0,1.0），j 結(jié)點(diǎn)位移為(2.1,1.1)，m 結(jié)點(diǎn)位移為(2.15,1.05)。1）寫出單元的位移函數(shù)；2）求A 點(diǎn)的位移分量。答：設(shè)位移函

7、數(shù)為，將I,j,m點(diǎn)坐標(biāo)代入u,v,最終得： 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入位移函數(shù)得 即 A（2.095，1.045）。10、已知外力P=50×103N，確定位移場(chǎng)、應(yīng)力、應(yīng)變和支座反力。取E=2.1×104N/mm2。答：結(jié)構(gòu)剛度矩陣K為：整體荷載列陣為：引入邊界條件Q1=0和Q3=1.2mm，修正方程如下：解得位移場(chǎng)：?jiǎn)卧獞?yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋褐ё戳椋毫硪惶椎牟糠诸}（重復(fù)和不會(huì)的就被我忽略了。）1.各學(xué)科對(duì)有限元法的定義略不相同,但有一條相同的,即都認(rèn)為有限元法是有效的_數(shù)值分析_方法. 2. 求解區(qū)域的離散化:即把實(shí)際問(wèn)題,的整體求解域剖分為有限個(gè)單元,這可以通過(guò)有限個(gè)_離散_的三角形,四邊形或多邊形來(lái)分割求解區(qū)域. 3. 在劃分單元時(shí),任意一個(gè)三角形單元的_節(jié)點(diǎn)_,必須也是相鄰單元的_節(jié)點(diǎn)_,而不是相鄰單元邊上的_點(diǎn)_. 二、簡(jiǎn)答題（40分）3. 單元分析中,假設(shè)的位移模式應(yīng)滿足哪些條件,為什么? 答：見教材P134. 試闡述總體剛度矩陣的特點(diǎn).(這里問(wèn)總剛在教材P23，如果問(wèn)你單剛那就是在P20)答：整體剛度矩陣是對(duì)稱矩陣 整體剛度矩陣的主對(duì)角線上的元素總是正的 整體剛度矩陣是一個(gè)稀疏陣 施加荷載沒有支承的整體剛度矩陣是一個(gè)奇異陣答： 理由：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚥浑S單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動(dòng)或作n元（n為整數(shù)）