數(shù)學(xué)建模之模糊評價與模糊聚類

1、一、模糊評價模糊評價法是應(yīng)用模糊理論和模糊關(guān)系合成的原理,通過多個因素對被評價事物隸屬等級狀況進(jìn)行綜合性評價的一種方法。運(yùn)用模糊評價法,通過多因素或多指標(biāo),既對被評價事物的變化區(qū)間作出某種劃分,又對事物屬于各評價等級的程度作出分析,從而更深入和客觀地對被評價事物進(jìn)行描述。特點(diǎn)：模糊評價法的結(jié)果是一個向量,而不是一個數(shù)值,即被評價事物的狀況是通過被評價事物的等級隸屬度來表示。模糊評價法可以是一種多層的評價,即可以先對被評價事物的某一層面進(jìn)行模糊評價,再將各層面的模糊評價結(jié)果進(jìn)行模糊合成,得出總的模糊評價結(jié)果。模糊評價法具有指標(biāo)或因素的自然可綜合性。由于模糊評價法只需確定各指標(biāo)的等級隸屬度,既可用

2、于主觀指標(biāo),又可用于客觀指標(biāo),以此而無需專門對指標(biāo)進(jìn)行無量綱處理。1.1模糊評價的應(yīng)用人事考核中的應(yīng)用，單位員工的年終評定，昆山公安信息化建設(shè)效績的評估（下載文檔），我國商業(yè)銀行內(nèi)部控制評價體系研究（下載文檔），石化行業(yè)業(yè)績評價（下載文檔）等。1.2一級模糊綜合評判模型的建立步驟確定因素集及評語集確定被評價對象的因素集U，評語集；構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣R，進(jìn)行單因素評判。用表示U中的因素對應(yīng)于V中等級的隸屬關(guān)系，則有確定各因素的權(quán)重用表示第i個因素的權(quán)重，則評價因素權(quán)向量A為。 綜合評判由模糊關(guān)系矩陣R得到一個模糊變換為 則評判的綜合結(jié)果為。1.3多層次模糊綜合評判模型的建立步驟確定被評價對象的因素

3、集U，評語集；將按照某種屬性劃分成s個子因素集，即。其中并且滿足以下關(guān)系： 分別對每個因素集做綜合評價。確定中各個因素相對于V的權(quán)重，用表示單因素評判矩陣，則一級評價向量為將各個看成一個因素，記該因素為，得到K的單因素評價矩陣為按照對U的重要程度，確定權(quán)重，則得二級評價向量為若包含的因素較多，可將多次劃分，得到三級，四級評價模型等。例題：向位專家就科研課題進(jìn)行調(diào)查,通過統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù),形成科研課題A評價數(shù)據(jù)如下表：科研課題A的評價數(shù)據(jù) 模型的建立確定因素集及評語集令指標(biāo)集為,指標(biāo)由5個指標(biāo)組成,即,表示立題必要性,表示技術(shù)先進(jìn)性,。表示實(shí)施可行性,。表示經(jīng)濟(jì)合理性,表示社會效益。令評語集為V,

4、， “四級”, 。由加權(quán)平均原則確定。構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣R，進(jìn)行單因素評判。確定各因素的權(quán)重令權(quán)重集為，=0.15，=0.20，=0.10，=0.25，=0.30。綜合評判其中是合成的算子為向量或矩陣間的“乘”運(yùn)算。 模型的求解確定因素集及評語集根據(jù)加權(quán)平均原則來確定評語。對各評語賦值,令“一級”、“二級”、“三級”、“四級”、“五級”分別為0.9分、0.7分、0.5分、0.3分、0.1分,令V=(0.9 0.7 0.5 0.3 0.1)。構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣R，進(jìn)行單因素評判。 從表可知,在立題必要性的調(diào)查中有6位專家認(rèn)為屬于“二級”,有3位專家認(rèn)為屬于“三級”；在技術(shù)先進(jìn)性的調(diào)查中有5位專家認(rèn)為

5、屬于“一級”,有3位專家認(rèn)為屬于“二級”,有1位專家認(rèn)為屬于“三級”；在實(shí)施可行性的調(diào)查中有4位專家認(rèn)為屬于“二級”,有4位專家認(rèn)為屬于“三級”,有位1專家認(rèn)為屬于“四級”；在經(jīng)濟(jì)合理性的調(diào)查中有7位專家認(rèn)為屬于“二級”,有2位專家認(rèn)為屬于“三級”；在社會效益的調(diào)查中有4位專家認(rèn)為屬于“一級”,有4位專家認(rèn)為屬于“二級”,有1位專家認(rèn)為屬于“三級”。 根據(jù)從指標(biāo)著眼認(rèn)為科研課題A屬于評語的人數(shù)占總參與評價人數(shù)的比例數(shù)來建立被評對象與評語集之間的模糊關(guān)系。 由評價數(shù)據(jù)得，同理得，即。同理得：從而得到科研課題A與評語集V之間的模糊關(guān)系矩陣為綜合評判所以9名專家應(yīng)用模糊評價法對某科研課題A給出的評語

6、分?jǐn)?shù)N為二、模糊聚類分析法在工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中，常常需要對某些指標(biāo)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)(相似的程度或親疏關(guān)系等)進(jìn)行分類處理。例如，根據(jù)生物的某些性態(tài)對其進(jìn)行分類，根據(jù)空氣的性質(zhì)對空氣質(zhì)量進(jìn)行分類，以及工業(yè)上對產(chǎn)品質(zhì)量的分類等等。這些對客觀事物按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以聚類”的一種分類方法。然而，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中有許多事物的類與類之間并無清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系。對于這類事物的分類，一般用模糊數(shù)學(xué)方法、我們把應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行的聚類分析，稱為模糊聚類分析。2.1步驟獲取數(shù)據(jù)設(shè)論域是被分類對象，其中由m個指標(biāo)表示每個對象的

7、性態(tài)，的觀測值為則得到原始數(shù)據(jù)矩陣為。在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱，為了使有不同量綱的量能進(jìn)行比較，需要將數(shù)據(jù)規(guī)格化，常用的方法有：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理為了讓原始數(shù)據(jù)能滿足模糊聚類的要求，需要將原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，常用的方法有：（1）平移標(biāo)準(zhǔn)差變換對第i個變量作標(biāo)準(zhǔn)化處理，將換成,即式中：（2）平移極差變換若經(jīng)過平移標(biāo)準(zhǔn)差變換后，還存在數(shù)據(jù)，則再對其平移極差變換得 則得到模糊矩陣為構(gòu)造模糊相似矩陣設(shè)論域,為的觀測值，則有數(shù)據(jù)矩陣。和的相似系數(shù)為，求的方法有：（1）夾角余弦法（2）相關(guān)系數(shù)法（3）距離法一般取，其中為適當(dāng)選取的參數(shù)，它使得，可采用的距離有：1）Hamming距離 2）Eu

8、clid距離 3）Chebyshev距離 （4）貼近度法 1）最大最小法 2）算術(shù)平均最小法 3）幾何平均最小法 聚類（1）模糊傳遞閉包法用平方法求出模糊相似矩陣的傳遞閉包，再從大到小取一組，并確定其相應(yīng)的截矩陣，將其分類，畫出動態(tài)聚類圖。（2）直接聚類法1）取最大值，對每個作相似類，若和滿足1，則看做是一類，當(dāng)不同相似類出現(xiàn)公共元素時，將公共元素所在類合并。2）取次大值，找出的元素對將對應(yīng)于的等價分類中和所在類合并成一類，所有情況合并后得到相應(yīng)于水平上的等價分類。3）依次類推，直到合并到X變成一類為止，最后得出動態(tài)聚類圖。例題：某地區(qū)內(nèi)有12 個氣象觀測站，10 年來各站測得的年降水量如表1

9、所示。為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測站，試問減少哪些觀察站可以使所得到的降水量信息仍然足夠大？表1 年降水量（mm） 解：我們把 12 個氣象觀測站的觀測值看成12 個向量組，由于本題只給出了10 年的觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性代數(shù)的理論可知，若向量組所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)，則該向量組必然線性相關(guān)。于是只要求出該向量組的秩就可確定該向量組的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，也就是需保留的氣象觀測站的個數(shù)。由于向量組中的其余向量都可由最大線性無關(guān)組線性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足夠大。用i = 1,2,10分別表示 1981 年，1982 年，1990 年。表示第 j個觀測站第i年的觀測值，

10、記。利用 MATLAB 可計(jì)算出矩陣 A的秩r(A) = 10，且任意 10 個列向量組成的向量組都是最大線性無關(guān)組，例如，我們選取前10 個氣象觀測站的觀測值作為最大線性無關(guān)組，則第11，12 這兩個氣象觀測站的降水量數(shù)據(jù)完全可以由前10 個氣象觀測站的數(shù)據(jù)表示。設(shè)表示第i個氣象觀測站的觀測值，則有若上述觀測站的數(shù)據(jù)不是10 年，而是超過12 年，則此時向量的維數(shù)大于向量組所含的向量個數(shù)，這樣的向量組未必線性相關(guān)。所以我們再考慮一般的解法，首先，我們利用已有的12 個氣象觀測站的數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊聚類分析，最后確定從哪幾類中去掉幾個觀測站。（1）建立模糊集合設(shè)（ 這里我們?nèi)杂闷胀媳硎荆?表示第

11、個觀測站的降水量信息，我們利用模糊數(shù)學(xué)建立隸屬函數(shù)： 利用 MATLAB 程序可以求得，的值分別見表 2，表 3。表3均值的值表4標(biāo)準(zhǔn)差的值（2）利用格貼近度建立模糊相似矩陣 令 求模糊相似矩陣。 （3）求R 的傳遞閉包CC求得是傳遞閉包，也就是所求的等價矩陣。取，進(jìn)行聚類，可以把觀測站分為4類： 上述分類具有明顯的意義，屬于該地區(qū) 10 年中平均降水量偏低的觀測站，屬于該地區(qū) 10 年平均降水量偏高的觀測站，是平均降水量最大的觀測站，而其余觀測站屬于中間水平。（4）選擇保留觀測站的準(zhǔn)則顯然，去掉的觀測站越少，則保留的信息量越大。為此，我們考慮在去掉的觀測站數(shù)目確定的條件下，使得信息量最大的準(zhǔn)則。由于該地區(qū)的觀測站分為4類，且第4類只含有一個觀測站，因此