數(shù)值分析試題與答案

1、 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1. 3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有（ ）和（ ）位有效數(shù)字.   A4和3          B3和2   C3和4          D4和42. 已知求積公式，則（ ）A      B      C &

2、#160;   D3. 通過點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（    ）   A0，        B 0，        C1，         D 1，4. 設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（    ）斂速。    A超線性   

3、  B平方       C線性           D三次5. 用列主元消元法解線性方程組 作第一次消元后得到的第3個(gè)方程（   ）.       A                B

4、60;       C                 D 單項(xiàng)選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分評卷人    二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè), 則        ，        .2

5、. 一階均差                     3. 已知時(shí)，科茨系數(shù)，那么             4. 因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上滿足            &

6、#160;    ，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5. 取步長，用歐拉法解初值問題的計(jì)算公式                      .填空題答案 1.       9和 2.        3.   

7、0;   4.       5.       得 分評卷人    三、計(jì)算題（每題15分，共60分）1. 已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算的近似值.計(jì)算題1.答案 1.       解 ，           ，所以分段線性插值函數(shù)為  

8、;                                  2. 已知線性方程組（1）       寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2）    

9、60;  對于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計(jì)算（保留小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字）.計(jì)算題2.答案 1.解 原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯塞德爾迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德爾迭代公式得3. 用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應(yīng)取2？（2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計(jì)算題3.答案  3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式為， ，              方程的根 4. 寫出梯形

10、公式和辛卜生公式，并用來分別計(jì)算積分.計(jì)算題4.答案 4 解  梯形公式                                   應(yīng)用梯形公式得        

11、0;                    辛卜生公式為                     應(yīng)用辛卜生公式得         

12、0;                                            得 分評卷人     四、證明題（本題10分）確

13、定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案 證明：求積公式中含有三個(gè)待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得                                   得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度

14、。     又由于                                       故具有三次代數(shù)精確度。  一、  

15、        填空（共20分，每題2分）1. 設(shè) ，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=      .2.設(shè)一階差商 ，    則二階差商 3. 設(shè), 則        ，        。4求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么     5解初始值問題

16、 近似解的梯形公式是 6、 ，則A的譜半徑               。 7、設(shè)   ，則                和                 

17、 。        8、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都               。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截?cái)嗾`差為               。10、為了

18、使計(jì)算的乘除法運(yùn)算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達(dá)式改寫成                              。 填空題答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、 8、 收斂 9、10、二、計(jì)算題  （共75 分，每題15分）1設(shè) （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項(xiàng)式使?jié)M足

19、 以升冪形式給出。（2）寫出余項(xiàng) 的表達(dá)式計(jì)算題1.答案 1、（1）    （2） 2已知 的 滿足 ，試問如何利用 構(gòu)造一個(gè)收斂的簡單迭代函數(shù) ，使 0，1收斂？計(jì)算題2.答案 2、由 ，可得 ，               3 試確定常數(shù)A，B，C和 a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？計(jì)算題3.答案 3、 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的 4 推導(dǎo)常微

20、分方程的初值問題 的數(shù)值解公式： （提示： 利用Simpson求積公式。）計(jì)算題4.答案 4、 數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程 在區(qū)間 上積分，得，記步長為h, 對積分 用Simpson求積公式得    所以得數(shù)值解公式： 5 利用矩陣的LU分解法解方程 組 計(jì)算題5.答案 5、解：三、證明題 （5分）1設(shè)  ，證明解 的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案 1、一、填空題（20分）(1).設(shè)是真值的近似值，則有          

21、       位有效數(shù)字。(2). 對, 差商(      )。(3). 設(shè), 則        。(4).牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和                       。 填空題答案（1）

22、3    （2）1    （3）7        （4）1二、計(jì)算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的值。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。計(jì)算題1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根，誤差限。計(jì)算題2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算).。計(jì)算題3.答案 3）迭代公式  4).（15分）求系數(shù)。計(jì)算題4.答案

23、 4）5). (10分)對方程組 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計(jì)算題5.答案  5) 解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu) 故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 三、簡答題1)（5分）在你學(xué)過的線性方程組的解法中, 你最喜歡那一種方法,為什么?2)（5分）先敘述Gauss求積公式, 再闡述為什么要引入它。一、填空題（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有(     )位有效數(shù)字.2.  是以為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則 &

24、#160;   (      ).3.  設(shè)f (x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是(                  ).4.  迭代公式收斂的充要條件是            。5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b

25、不為0) 的迭代格式中的B稱為(         ). 給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為(           )。填空題答案132.3.4. 5.迭代矩陣，    得 分評卷人    二、判斷題（共10分）1.          若，則在內(nèi)一定有根。 

26、;              (   )2.          區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個(gè)次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式。         (   )3.         

27、 若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b 的Jacobi迭代法收斂。     (   )4.          若f (x)與g (x) 都是n次多項(xiàng)式，且在n+1個(gè)互異點(diǎn)上，則 。                       &#

28、160;                  (   )5.          用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。                 &#

29、160;   (   )判斷題答案 1.×  2.×  3.×  4.  5.×得 分評卷人    三、計(jì)算題（70分）1.      （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求過這三點(diǎn)的二次插值基函數(shù)l1(x)=(             &#

30、160;     )，=(             ), 插值多項(xiàng)式P2(x)=(                ), 用三點(diǎn)式求得(         ).計(jì)算題1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）

31、求方程的一個(gè)含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計(jì)算題2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）確定求積公式     的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計(jì)算題3.答案 4. （15分）設(shè)初值問題  . (1)     寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)     寫出用改進(jìn)的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題

32、數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。計(jì)算題4.答案 4. 5. （15分）取節(jié)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。計(jì)算題5.答案 5              =1+2(                         ， 一、

33、填空題( 每題4分，共20分)1、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有             和             。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)，則                        ；     。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為         ；插值型求積公式中求積系數(shù)               &