數(shù)分選講講稿第22講

1、講 授 內(nèi) 容備 注第二十二講例15設(shè)試證：與同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散證 ，故或若，而由判別法知，收斂從而由知與同時(shí)收斂若則，當(dāng)時(shí)，有而發(fā)散由比較判別法知發(fā)散于是發(fā)散同理而發(fā)散 所以發(fā)散于是發(fā)散綜合，知，兩個(gè)積分同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散例16 討論如下積分的斂散性： 1） 2） 3） 解 1）為非負(fù)函數(shù)的積分，用比較判別法由不等式知時(shí)，積分收斂從而收斂若時(shí)，積分發(fā)散，由例16知發(fā)散，從而發(fā)散2） 利用1）的結(jié)果及等式可知，積分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂 3）時(shí)，不是瑕點(diǎn)，斂散性與2）相同例17 證明如下積分收斂：證 設(shè)，積分其中 ，由準(zhǔn)則知，積分收斂三、無(wú)窮限的廣義積分的收斂性與無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限本段討論收斂與的關(guān)系1）

2、收斂，一般不意味著如： 收斂 但 2）收斂，且，仍不能斷言如：3）收斂，且，連續(xù)，還可能如：收斂4）上述條件，將改為，仍然不能肯定如：其中按3）中的同樣的方式定義5）若單調(diào)，收斂，則6）若在上一致連續(xù)（或更強(qiáng)些，有有界的導(dǎo)數(shù)），則收斂，推出例18 試證：若在上一致連續(xù)，且廣義積分收斂，則證 （反證法）若，則，時(shí)，有又在上一致連續(xù)，當(dāng)時(shí)，有故當(dāng)時(shí)，并且與同號(hào)（因?yàn)椴蝗坏脑?，與（）式矛盾）若，則，從而由（2）式知，故 同理，若，亦有即 對(duì)，使得由準(zhǔn)則知，發(fā)散矛盾，證畢例19 證明：若在上連續(xù)可微，和都收斂，則證 要證明時(shí)，由有極限，根據(jù)定理，只要證明 ：，恒有收斂已知積分收斂，據(jù)準(zhǔn)則，恒有如此：，對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有從而即收斂故由定理，存在極限下證若，則由極限的保號(hào)性，當(dāng)時(shí)，從而時(shí)，與收斂矛盾同理可證：也不可能故例20 設(shè)在上單調(diào)減，且收斂試證明：證由題設(shè)若不然，存在某，使，則當(dāng)時(shí)，恒有由在上單調(diào)減，必有從而發(fā)散，與已知結(jié)論5）矛盾其次，由收斂，據(jù)準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，恒有故，有即例21 設(shè)收斂，在上單調(diào)下降，證明：證 收斂由準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，恒有故時(shí)， 即 注：由在上單調(diào)減，可推出在上單調(diào)減事實(shí)上，由在上單調(diào)減， 而即在上單調(diào)減由在上單調(diào)減，收斂，可推出練習(xí)題1 計(jì)算；2計(jì)算；3設(shè)在上可微，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)增趨于，則和都收斂4證明：其中左，右積分存在，且5設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，并滿足（1）在上