向量及其運算二

1、第二節(jié)向量及其運算(二)Vector and Linear Computation一、向量的坐標在給定的空間直角坐標系中,沿軸、軸和軸的正向各取一單位向量，并分別記為,稱它們?yōu)榛締挝幌蛄?設點,過點分別做軸、軸和軸的垂面,交軸、軸和軸于和.顯然,.于是上式表明,任一以原點為起點, 為終點的向量都可表示為坐標與所對應的基本單位向量的坐標表達式,簡記為【例1】已知三點,分別寫出、的坐標表達式.解【例2】已知兩點,求向量的坐標表達式.解由例2看出空間任意向量也可以表示為如下形式若令則空間任意向量可表示為其中稱為向量的坐標.二、向量的線性運算的坐標表示設，則【例3】設,求.解三、向量的模與方向余弦設

2、向量，它是以原點為起點、為終點的向量,由兩點間的距離公式,得設非零向量與軸、軸和軸的正向的夾角依次為(規(guī)定),稱為向量的方向角,它們的余弦稱為的方向余弦.當時故【例4】設,求的模、方向角及方向余弦.解故.四、向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的定義兩向量的夾角是指它們的起點放在同一點時，兩向量所夾的不大于的角，記為.定義1設向量的夾角為,把數(shù)量叫做的數(shù)量積(或點積),記作.即特別地,當時, .2. 數(shù)量積的運算規(guī)律(1)交換律(2)分配律(3)結合律由定義,若兩向量與互相垂直,夾角,.反之,若非零向量,的數(shù)量積為零,即,由于,從而,即.因此有結論:兩非零向量與互相垂直的充要條件是.【例5】試證向量與垂直.

3、證明因為所以向量與垂直.3. 向量積的坐標表達式因為基本單位向量互相垂直,所以設,即則即兩向量的數(shù)量積等于對應坐標乘積之和.【例6】設,求.解由數(shù)量積的定義可知,夾角的余弦為再由向量的模和數(shù)量積的坐標表達式可得【例7】已知三點和和,求和的夾角.解所以故.五、向量的向量積1.向量積的定義設為一定點，為力的作用點，現(xiàn)求力對于定點的力矩.記力矩為,與的夾角為,則力臂,力矩的大小為力矩的方向垂直與與,且指向符合右手法則,即四指指向彎向,這時拇指的指向即為的方向.定義2向量和的向量積(或稱叉積)是一個向量,記作它滿足下列條件:(1);(2);(3)成右手系.根據(jù)向量積的定義,力作用于點,對原點的力矩為向

4、量積滿足以下運算規(guī)律:(1)結合律;(2)分配律注意:兩向量的向量積一般不滿足交換律,即,一般地,有.由兩向量的向量積的定義可知,兩非零向量與相互平行的充分必要條件是.2.向量積的坐標表示式設,則由于所以由此可見,兩向量平行的充要條件是即向量與的向量積也可通過行列式求得,即【例8】設,求及.解【例9】已知三角形的頂點為,求三角形的面積.解,從而因為為以與為鄰邊的平行四邊形的面積,故的面積為【例10】求同時垂直與和的單位向量.解由向量積的定義知,向量同時垂直與,故是同時垂直與的單位向量.易求顯然,也是滿足題意的向量,所以為所求.課堂練習:1. 已知,且,求點的坐標2. 從能否推出?3. 由能否得出或?小結:學習了向量的坐標表示,要求會求向量的模、方向余弦及兩向量間的夾角.向量的