分?jǐn)?shù)階微分方程課件

1、分?jǐn)?shù)階微分方程第三講 分?jǐn)?shù)階微分方程基本理論一、 分?jǐn)?shù)階微分方程的出現(xiàn)背景及研究現(xiàn)狀1、出現(xiàn)背景分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作為描述經(jīng)典物理及相關(guān)學(xué)科理論的解析數(shù)學(xué)工具已為人們普遍接受，很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型最終都可以歸結(jié)為整數(shù)階微分方程的定解問(wèn)題，其無(wú)論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當(dāng)人們進(jìn)入到復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜現(xiàn)象的研究時(shí)，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對(duì)這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問(wèn)題：（1） 需要構(gòu)造非線性方程，并引入一些人為的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和與實(shí)際不符的假設(shè)條件；（2） 因材料或外界條件的微小改變就需要構(gòu)造新的模型；（3

2、） 這些非線性模型無(wú)論是理論求解還是數(shù)值求解都非常繁瑣?；谝陨显?，人們迫切期待著有一種可用的數(shù)學(xué)工具和可依據(jù)的基本原理來(lái)對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。分?jǐn)?shù)階微積分方程非常適合于刻畫(huà)具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程，其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn)確等優(yōu)勢(shì)，因而成為復(fù)雜力學(xué)與物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一。2、研究現(xiàn)狀在近三個(gè)世紀(jì)里，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學(xué)的純理論領(lǐng)域里進(jìn)行，似乎它只對(duì)數(shù)學(xué)家們有用。然而在近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程越來(lái)越多的被用來(lái)描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)階微積分理論也受

3、到越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是從實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的分?jǐn)?shù)階微分方程成為很多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在越來(lái)越多的科學(xué)領(lǐng)域里出現(xiàn)，無(wú)論對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計(jì)算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分?jǐn)?shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行了優(yōu)美刻畫(huà)的同時(shí)，也給我們的分析和計(jì)算造成很大困難。在理論研究方面，幾乎所有結(jié)果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說(shuō)，這些工作基本上可以說(shuō)只是經(jīng)典微積分方程理論的一個(gè)延拓。對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結(jié)果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局

4、限性的。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計(jì)算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長(zhǎng)時(shí)間歷程的計(jì)算和大空間域的計(jì)算等；（2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法；（3）未形成成熟的數(shù)值計(jì)算軟件，嚴(yán)重滯后于應(yīng)用的需要。鑒于此，發(fā)展新數(shù)值算法，特別是在保證計(jì)算可靠性和精度的前提下，提高計(jì)算效率，解決分?jǐn)?shù)階微分方程計(jì)算量和存儲(chǔ)量過(guò)大的難點(diǎn)問(wèn)題，發(fā)展相應(yīng)的計(jì)算力學(xué)應(yīng)用軟件成為迫切需要關(guān)注的課題。二、 預(yù)備知識(shí)1、 分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分?jǐn)?shù)階微積分方程的基礎(chǔ)，本書(shū)在第二章中對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的定義及性質(zhì)做了系統(tǒng)的介紹，為了

5、接下來(lái)討論的需要，我們首先對(duì)其進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧。（1）分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸，甚至是整個(gè)復(fù)平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分?jǐn)?shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對(duì)某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們?nèi)匀粵](méi)能給出分?jǐn)?shù)階微積分的一個(gè)統(tǒng)一的定義,這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的研究與應(yīng)用造成了一定的困難。（2）幾種經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分定義下面我們?cè)噲D從理論依據(jù)、定義域、表達(dá)式和優(yōu)缺點(diǎn)幾個(gè)方面給出常見(jiàn)的四種分?jǐn)?shù)階微積分定義的比較圖。從上圖我們看

6、到，在分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展過(guò)程中，人們根據(jù)不同的需求，從不同角度給出了分?jǐn)?shù)階微積分的定義，但這些定義無(wú)論從對(duì)象上還是從表達(dá)式上都無(wú)法實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，它們之間的關(guān)系大致可以用下圖來(lái)表示。注：條件1：在上逐段連續(xù)，且在任何有限子區(qū)間上可積；條件2：在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；條件3：，；條件4：，。由上圖我們可以看到，對(duì)于不同的分?jǐn)?shù)階微積分定義方式有著不同定義域，即便是在公共區(qū)域內(nèi)，不同的定義方式之間也無(wú)法實(shí)現(xiàn)完全的統(tǒng)一，這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用和研究造成了一定的困難，因此人們迫切期望著分?jǐn)?shù)階微積分的一種哪怕是形式上的統(tǒng)一定義方式。2、 M-R序列分?jǐn)?shù)階微分的定義為了滿足實(shí)際需要，下面我們?cè)噲D從形式上對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分

7、給出一種統(tǒng)一的表達(dá)式。分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標(biāo)是以非整數(shù)參數(shù)取代經(jīng)典微積分符號(hào)中的整數(shù)參數(shù)，即：實(shí)際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加： （1）由此，我們可以給出一種在很多實(shí)際應(yīng)用中十分重要的分?jǐn)?shù)階微積分的推廣方式。首先，我們假設(shè)已有一種合適的推廣方式來(lái)將一階微分推廣為（）階微分，即是可實(shí)現(xiàn)的。那么類似地可得到（1）的推廣式為： （2）這種推廣方式最初是由和提出來(lái)的，其中采用的是分?jǐn)?shù)階微分定義，他們稱之為序列分?jǐn)?shù)階微分。序列分?jǐn)?shù)階微分的其他形式可以通過(guò)將替換為分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分或其他任意形式分?jǐn)?shù)階微分來(lái)得到。進(jìn)一步，如果我們將（2）中

8、的分?jǐn)?shù)階微分替換為不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分可得到序列分?jǐn)?shù)階微分更一般的表達(dá)式： （3）根據(jù)問(wèn)題的需要，可以是分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分或其他任意形式的分?jǐn)?shù)階微分，從這一點(diǎn)看來(lái)，我們可以說(shuō)序列分?jǐn)?shù)階微分從形式上給出了分?jǐn)?shù)階微積分在時(shí)域上的一個(gè)統(tǒng)一表達(dá)式，分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階微分都只是序列分?jǐn)?shù)階微分的一種特殊情況。故而，下面我們?cè)趯?duì)分?jǐn)?shù)階微積分方程進(jìn)行理論分析的時(shí)候可以僅僅針對(duì)序列分?jǐn)?shù)階微積分來(lái)給出結(jié)論。3、M-R序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換下面我們考慮如下形式的序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換。（4）（5） （6） 在R-L分?jǐn)?shù)階微分定義下有： （7）重復(fù)利用上式次可得：

9、（8）注：雖然上述序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換是在R-L分?jǐn)?shù)階微分定義下進(jìn)行證明的，但是該結(jié)論對(duì)其他幾種分?jǐn)?shù)階微積分也是成立的。4、泛函理論基礎(chǔ)定理1（Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)是空間的有界閉子集，如果是連續(xù)映射，那么在中存在不動(dòng)點(diǎn)，即使得的點(diǎn)存在。定義1（Lipschitz條件）設(shè)是距離空間，是從到的映射，如果存在常數(shù)，使得對(duì)所有的，則稱滿足條件，成為的常數(shù)。特別的，如果，則稱為壓縮映射。定理2（ Banach壓縮映像原理）設(shè)是距離空間，是壓縮映射，則在中恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，則對(duì)任何初始點(diǎn)，逐次迭代點(diǎn)列，收斂于，且關(guān)于收斂速度有如下估計(jì)式：其中，是的常數(shù)。三、 解的存在

10、唯一性理論近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)在國(guó)內(nèi)外引起極大的研究興趣，尤其是關(guān)于其解的性質(zhì)的研究，諸如存在性及唯一性等，其中大多數(shù)的研究方法是通過(guò)把分?jǐn)?shù)階初值問(wèn)題轉(zhuǎn)換成等價(jià)的分?jǐn)?shù)階積分方程,然后運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)得到分?jǐn)?shù)階初值問(wèn)題解的存在唯一性結(jié)果。已有研究結(jié)果主要有以下限制：（1） 函數(shù)的定義區(qū)間為有限區(qū)間；（2） 函數(shù)在定義域上需滿足條件；因此，目前人們?cè)谶@方面所做的工作都是希望設(shè)法在放寬上述兩個(gè)限制條件后給出分?jǐn)?shù)階微積分方程的解的存在唯一性定理。下面我們對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題的現(xiàn)有理論結(jié)果作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，相應(yīng)的結(jié)論都是針對(duì)定義在有限區(qū)間上的M-R序列分?jǐn)?shù)階微分形式，在滿足條件下給出的，當(dāng)然，

11、由前面的介紹可知，這些結(jié)論也可直接推廣到其他分?jǐn)?shù)階微分形式。1、 線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性定理考慮如下形式的初值問(wèn)題：且，即 （11）第一步：假設(shè)，考慮由此得到的退化問(wèn)題解的存在唯一性。定理1 如果，則方程（12）有滿足初值條件（10）的唯一解。定理的證明過(guò)程如下：步驟一 通過(guò)Laplace變換證明解的存在性；下面我們?cè)O(shè)法構(gòu)造一個(gè)待求解問(wèn)題解，對(duì)式（12）做Laplace變換可得： （13）其中，、分別是、的Laplace變換。利用初值條件（10）可得： （14）對(duì)上式做Laplace逆變換可得： （15）步驟二 由分?jǐn)?shù)階微分的線性性和Laplace變換的性質(zhì)證明唯一性。假設(shè)有存在兩個(gè)

12、滿足上述初值問(wèn)題的解、令，有分?jǐn)?shù)階微分方程的線性性可得： （16）從而有 （17）由Laplace變換的性質(zhì)可知：在上幾乎處處成立。故原方程的解在上唯一。注：上述證明過(guò)程中用到的Laplace變換法是一種常用的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，該方法步驟簡(jiǎn)單，適用范圍較廣，在實(shí)際中有著重要應(yīng)用，后面將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)介紹。第二步：運(yùn)用第一步的結(jié)論證明原初值問(wèn)題解的存在唯一性。定理2 如果且是上的連續(xù)函數(shù)，則初值問(wèn)題（9）（10）有唯一解。定理的證明過(guò)程如下：步驟一化微分方程為積分方程假設(shè)原方程有解并記，那么運(yùn)用定理1可得：（18）將上式代入到原微分方程表達(dá)式（9）可得： （19） 其中 （20） （21）步

13、驟二 證明變換后的積分方程有唯一解用不動(dòng)點(diǎn)定理易證結(jié)論成立。步驟三 說(shuō)明原微分方程有唯一解由定理1易得。2、 一般形式的分?jǐn)?shù)階微分方程的存在唯一性定理考慮如下形式的微分方程：（22）， （23）其中，的定義域?yàn)槠矫嫔系囊粋€(gè)子區(qū)域，且存在上的子區(qū)域滿足：， （24）定理3 設(shè)為上的連續(xù)實(shí)值函數(shù)，且在上關(guān)于滿足條件，即 （25）從而，對(duì)任意 且 那么，方程（22）（23）在區(qū)域有唯一的連續(xù)解。定理的證明過(guò)程如下：步驟一 化微分方程為等價(jià)積分方程；對(duì)方程（22）按,，逐次進(jìn)行分部積分可得： （26）步驟二 證明上述等價(jià)積分方程解的存在性；構(gòu)造函數(shù)序列， 如下： （27） （28）首先，我們可以證明對(duì)

14、任意的及任意的有。 （29）進(jìn)一步，我們可由數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)任意的有下式成立： （30）證明過(guò)程如下：在式（29）中令可得： （31）假設(shè)當(dāng)時(shí)，式（30）成立，即下式成立: （32）那么，當(dāng)時(shí)有： （33）從而由歸納法可知，對(duì)任意的，式（30）成立。進(jìn)而，有的收斂性可知，函數(shù)序列收斂。令，易證是等價(jià)積分方程（26）的解，也即是原微分方程（22）的解。步驟三證明上述等價(jià)積分方程解的唯一性；假設(shè)也是等價(jià)積分方程（26）的解，令，有： （34）由的連續(xù)性可知，存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，。利用式（34）可得： （35）將該估計(jì)過(guò)程重復(fù)次可得： （36）又故，也即。注：有上面的介紹可知，整個(gè)線性分?jǐn)?shù)階微

15、積分方程解的存在唯一性理論的證明過(guò)程都是建立在不動(dòng)點(diǎn)理論的基礎(chǔ)上的，使得我們必須將討論范圍限制在有限區(qū)間內(nèi)的滿足Lipschitz條件的函數(shù)上，如何打破這個(gè)限制是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。在某些情況下，定理3可直接作為分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法，通常稱之為存在唯一性解法。由上面的介紹，我們可將分?jǐn)?shù)階微積分方程存在唯一性理論及其所面臨的問(wèn)題描述如下：3、 分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題解的依賴性下面我們來(lái)考察初值條件的微小變化將對(duì)方程的解造成怎樣的影響，為此，我們?cè)诔踔禇l件中引入一個(gè)微小的改變量。，（37）其中為任意常數(shù)。定理4 設(shè)是初值問(wèn)題（22）（23）的解，是初值問(wèn)題（22）、（37）的解，那么對(duì)任意的有

16、： （38）其中為函數(shù)。證明：步驟一 用定理3的方式構(gòu)造兩組函數(shù)序列，和 ，使得，。步驟二 由數(shù)學(xué)歸納法容易證明 （39）步驟三 對(duì)上式兩端取極限可得： （40）四、 Laplace變換求解法隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在工程應(yīng)用中出現(xiàn)得越來(lái)越頻繁，給出分?jǐn)?shù)階微分方程的有效而簡(jiǎn)便的求解方法便顯得越來(lái)越重要，然而現(xiàn)有的求解方法都有著各種各樣的缺陷。下面我們介紹一種基于Laplace變換的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，該方法簡(jiǎn)單、直觀，適用于常系數(shù)線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解。1、 Laplace變換求解法（1） Laplace變換求解法的主要步驟步驟一：對(duì)原微分方程做Laplace變換，化微分方程為代數(shù)方程；步驟二

17、：求解該代數(shù)方程，得到原問(wèn)題在變換域上的解；步驟三：對(duì)該變化域上的解做Laplace逆變換得到原問(wèn)題的時(shí)域解。（2） Laplace變換求解法的應(yīng)用下面我們通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明Laplace變換法的應(yīng)用方法。例1 我們考慮用Laplace變換法對(duì)如下的非齊次標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問(wèn)題進(jìn)行求解。， （41）， （42）其中，解：對(duì)方程（41）兩端做Laplace變換，并利用初值條件（42）可得：從而 （43）對(duì)式（31）做Laplace逆變換可得原微分方程的解為： （44）注：某些文獻(xiàn)中也給出了該問(wèn)題用迭代法進(jìn)行求解的過(guò)程，雖然兩種解法的結(jié)果相同，但顯然Laplace求解法更為直觀、簡(jiǎn)便。例2

18、下面我們考慮用Laplace變換法對(duì)序列分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問(wèn)題進(jìn)行求解。 （45）， （46）解：對(duì)方程（45）兩端做Laplace變換，并利用初值條件（46）可得：從而 （47）對(duì)式（35）做Laplace逆變換可得原微分方程的解為： （48）其中，。注：對(duì)比上面兩個(gè)初值問(wèn)題容易看到他們?cè)谛问缴戏浅Ｏ嗨疲ㄒ坏牟顒e體現(xiàn)在一個(gè)是基于經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微積分定義的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)階微分方程，一個(gè)是基于序列分?jǐn)?shù)階微積分定義的序列分?jǐn)?shù)階微分方程，從而在初值地給法不一樣。但我們發(fā)現(xiàn)它們的解在表達(dá)式上也非常地相近，對(duì)比結(jié)果如下：通過(guò)上面的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)階微分方程和序列分?jǐn)?shù)階微分方程的解有一個(gè)共同點(diǎn)，即它們具有同樣的函數(shù)，下面我們就展開(kāi)討論。2、 Green函數(shù)考慮如下的初值問(wèn)題：， （49）其中（1） 定義若函數(shù)滿足如下條件，則稱其為方程（37）的函數(shù)：1）對(duì)任意的；2），（是Kronecker delta函數(shù)）；3），。（2） 性質(zhì)1）是方程（49）的解；2）對(duì)常系數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程有：；3）對(duì)的適當(dāng)微分可得到一組齊次方程（）的線性無(wú)關(guān)解