基于小波變換的圖像處理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 基于小波變換的數(shù)字圖像處理 摘 要：本文先介紹了小波分析的基本理論，為圖像處理模型的構(gòu)建奠定了基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上提出了小波分析在圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像增強(qiáng)等圖像處理方面的應(yīng)用,最后在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了小波變化在圖像處理方面的優(yōu)勢(shì)。關(guān)鍵詞：小波分析；圖像壓縮；圖像去噪；圖像融合；圖像增強(qiáng)引 言數(shù)字圖像處理是利用計(jì)算機(jī)對(duì)科學(xué)研究和生產(chǎn)中出現(xiàn)的數(shù)字化可視化圖像信息進(jìn)行處理，作為信息技術(shù)的一個(gè)重要領(lǐng)域受到了高度廣泛的重視。數(shù)字化圖像處理的今天，人們?yōu)閳D像建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)圖像特征給出各種描述，設(shè)計(jì)算子，優(yōu)化處理等。迄今為止，研究數(shù)字圖像處理應(yīng)用中數(shù)學(xué)

2、問題的理論越來(lái)越多，包括概率統(tǒng)計(jì)、調(diào)和分析、線性系統(tǒng)和偏微分方程等。小波分析，作為一種新的數(shù)學(xué)分析工具，是泛函分析、傅立葉分析、樣條分析、調(diào)和分析以及數(shù)值分析理論的完美結(jié)合，所以小波分析具有良好性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用背景，被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺、圖像處理以及目標(biāo)檢測(cè)等領(lǐng)域，并在理論和方法上取得了重大進(jìn)展，小波分析在圖像處理及其相關(guān)領(lǐng)域所發(fā)揮的作用也越來(lái)越大。在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開的，不包含任何時(shí)頻的信息，其丟棄的時(shí)域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，Gabor變換，時(shí)頻分析，小波變換等。但

3、短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行，所以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說不夠精確，存在很大的缺陷。而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整。 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，然后研究了小波分析在圖像處理中的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像增強(qiáng)等,本文重點(diǎn)在圖像去噪，最后用Matlab進(jìn)行了仿真1。1小波分析理論小波分析的思想最早出現(xiàn)在1910年Haar提出了小波規(guī)范正交基。1981年，Stromberg對(duì)Haar系進(jìn)行了改造，為小波分析奠定了基礎(chǔ)。1986年Meyer和Lem

4、arie提出了多尺度分析的思想。后來(lái)信號(hào)分析專家Mallat提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法Mallat算法。Mallat算法的提出標(biāo)志著小波理論獲得突破性進(jìn)展，從此，小波分析從理論研究走向了應(yīng)用研究。通過小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻率的塊信號(hào)，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號(hào)分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、CT成像、機(jī)械故障診斷等問題。1.1 小波及小波變換小波的核心作用是用小波及其伸縮和平移來(lái)表示函數(shù)和信號(hào)，不但具有局部化時(shí)頻分析能力，而且時(shí)間分辨率和頻率分

5、辨率均可以調(diào)整。定義：設(shè) ,其傅立葉變換為，當(dāng)滿足允許條件（完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件） < 時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得 稱其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為 其重構(gòu)公式（逆變換）為 把連續(xù)小波變換中的尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b進(jìn)行離散化：，其中,為了方便起見，總是假設(shè)a0>0，則得到離散小波函數(shù) 相應(yīng)的離散小波變換 其重構(gòu)公式為由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件 故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式, 在原點(diǎn)必須等于0，即 為了使信

6、號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，除完全重構(gòu)條件外，還要求小波 的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件： 式中0AB。 1.2常用小波基介紹3(1)Haar小波Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系,定義如下： 這是一種最簡(jiǎn)單的正交小波，即 (2)Daubechies（dbN）小波系該小波是Daubechies從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波。一般簡(jiǎn)寫為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)中的支撐區(qū)為2N-1。的消失矩為N。除N1外(Haar小波)，dbN不具對(duì)稱性(即非線性相位)，沒有顯式表達(dá)式(除N1外)。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。假設(shè)，其中，為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有 其中 (3)

7、SymletsA（symN）小波系Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種改進(jìn)。Symlets函數(shù)系通常表示為symN（N=2，3，8）的形式。1.3 雙尺度關(guān)系與分解關(guān)系與的兩尺度關(guān)系：與的分解關(guān)系：其中 1.4 小波進(jìn)行分解與重構(gòu)兩尺度函數(shù)的兩尺度關(guān)系是 由兩尺度關(guān)系，得序列再由得則有小波函數(shù)的兩尺度關(guān)系是進(jìn)一步得分解關(guān)系由分解算法得由重構(gòu)算法得2 圖像處理的模型分析2.1 圖像的數(shù)學(xué)模型4物體反射或投射的物質(zhì)能量在空間上的分布在數(shù)學(xué)上可以表述為一能量場(chǎng)E(x,y,z,t)，其中x，y，z表示在幾何空間中點(diǎn)的坐標(biāo)，為輻射波長(zhǎng)，t為時(shí)刻。適當(dāng)

8、選取坐標(biāo)系使取圖平面垂直于z軸，設(shè)截距為Z0，圖像可看作只是記錄在平面z=z0上的能量分布2，實(shí)際中這種物質(zhì)能量的記錄值往往用亮度值表示。則式中x，y為像平面中點(diǎn)的坐標(biāo)。圖像的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二元函數(shù)f(x,y)，它反映了圖像上點(diǎn)坐標(biāo)f(x,y)與該點(diǎn)上的能量值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一幅灰度照片，它上面點(diǎn)的明暗程度需用不同的數(shù)值代表。圖像在某點(diǎn)處的函數(shù)值稱為圖像在該點(diǎn)的灰度或亮度。由于f的值是能量的記錄，故其是非負(fù)有界的實(shí)數(shù)，即一幅實(shí)際圖像的尺寸是有限的，一般定義(x,y)在某一矩形域中，即有2.2 圖像處理的小波模型通常情況下，圖像處理可以被抽象為一個(gè)輸入輸出系統(tǒng)，即以各種形式的算符Q來(lái)對(duì)圖像F

9、進(jìn)行處理，算符Q的形式?jīng)Q定于圖像處理的目的以及圖像F的數(shù)學(xué)模型其中，T代表圖像處理算子，如去噪、銳化、分割，壓縮或圖像修復(fù)。輸入數(shù)據(jù)Q0可以是一幅圖也可以是圖像序列，輸出數(shù)據(jù)Q是所有希望得到的圖像性質(zhì)。圖像處理的兩個(gè)基本問題是作為輸入的Q0和算子T的建模，它們是相對(duì)獨(dú)立但又緊密相連的：算子T的性能很大程度上取決于輸入數(shù)據(jù)的模型。為了能夠有效地處理圖像，首先需要知道如何從數(shù)學(xué)的角度理解和表示圖像。圖像模型和它的表示方法在很大程度決定了圖像的處理模型。把圖像看作像素點(diǎn)集合的基礎(chǔ)上，以像素點(diǎn)集合為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)三種不同的模型，即隨機(jī)場(chǎng)模型，小波模型和正則空間模型，它們分別從概率統(tǒng)計(jì)、小波分析和

10、偏微分程這三方面來(lái)研究圖像處理。小波應(yīng)用圖像處理的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，小波可以構(gòu)成Hilbert空間的規(guī)范正交基，給出了圖像的多尺度表示： 對(duì)圖像的稀疏逼近為圖像的高效壓縮等圖像處理提供了可能。2.3 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波分析在圖像處理中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：圖像去噪噪聲的產(chǎn)生是一個(gè)隨機(jī)過程，噪聲分量灰度值是一個(gè)隨即變量，其統(tǒng)計(jì)特性由概率密度函數(shù)表征，白噪聲、高斯噪聲、泊松噪聲是三種形式常見的重要噪聲；設(shè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)fn被噪聲en所污染，所測(cè)得的含噪數(shù)據(jù)為：去噪的目標(biāo)是從含噪數(shù)據(jù)X得到信號(hào)x的一個(gè)逼近信號(hào)x,使得在某種誤差準(zhǔn)則估計(jì)下x是x的最佳逼近。小波去噪的基本策略是

11、將含噪信號(hào)進(jìn)行多尺度小波變換，從時(shí)域變換到小波域，然后在各尺度下盡可能提取信號(hào)的小波系數(shù)，而去除屬于噪聲的變換系數(shù)，然后由小波逆變換重構(gòu)信號(hào)。閥值去噪的主要理論依據(jù)是，小波變換具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)去相關(guān)性，能夠使信號(hào)的能量在小波域集中在少量的大的小波系數(shù)中，而噪聲卻分布在整個(gè)小波域，經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)的幅值要大于噪聲的小波系數(shù)的幅值，于是可以采用閥值的辦法把信號(hào)的小波系數(shù)保留，而使大部分噪聲的小波系數(shù)減少為零，閥值去噪主要思想是對(duì)小波分解后的除了最低頻以外的各層系數(shù)模對(duì)大于和小于某閾值系數(shù)分別處理，然后對(duì)處理完的小波系數(shù)再反變換重構(gòu)出一幅經(jīng)去噪后的圖像。在小波閾值收縮去噪法中最為重要的就是

12、如何選擇閾值和閾值函數(shù)，大多數(shù)閥值選擇過程是針對(duì)一組小波系數(shù)，即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，計(jì)算出一個(gè)閾值。閾值函數(shù)主要可以分為如下三種： 硬閾值函數(shù)它假定幅值大于門限T的小波系數(shù)都是由信號(hào)貢獻(xiàn)的，而小于門限T的小波系數(shù)來(lái)至于噪聲。實(shí)驗(yàn)表明這種取門限的方式有時(shí)并不太令人滿意。軟閾值函數(shù)硬閾值方法可以很好保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真，閾值方法處理結(jié)果相對(duì)平滑得多，但是軟閾值方法會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。半軟閥值函數(shù)該方法通過選擇合適的閾值T1和T2，可以在軟閥值方法和硬閾值方法之間達(dá)到很好的折中。閥值去噪算法閥值去噪具體的算法步驟如下：選擇合適的小波函數(shù)，對(duì)于

13、長(zhǎng)度為N(設(shè)N=2J)的含噪信號(hào)(常采用周期延拓方法)進(jìn)行小波變換，利用小波交換的快速算法獲得低分辨率L(O0<J)下的尺度系數(shù)VL,K K=1,2,2L及各分辨率下的小波系數(shù)Wj,k，j=L,L+1,J-1,k=1,2,2L)其中尺度系數(shù)和小波系數(shù)共N個(gè)。為保持信號(hào)的整體形狀不變，保留所有的低頻系數(shù)VL,K K=1,2,2L，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理。對(duì)每個(gè)小波系數(shù)，采用軟閾值和硬閾值方法進(jìn)行處理。進(jìn)行逆小波變換。由所有低頻尺度系數(shù)，以及經(jīng)由閾值處理后的小波系數(shù)作逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，得到恢復(fù)的原始信號(hào)的估計(jì)值。圖像壓縮 小波分析用于信號(hào)與圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特

14、點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與圖像的特征不變，且在傳遞中可抗干擾。由于小波分析固有的時(shí)頻特性，我們可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對(duì)我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。圖形增強(qiáng)圖像增強(qiáng)問題主要通過時(shí)域和頻域處理兩種方法來(lái)解決。時(shí)域方法通過直接在圖像點(diǎn)上作用算子或掩碼來(lái)解決，頻域方法通過修改傅立葉變換系數(shù)來(lái)解決。這兩種方法的優(yōu)劣很明顯，時(shí)域方法方便快速但會(huì)丟失很多點(diǎn)之間的相關(guān)信息，頻域方法可以很詳細(xì)地分離出點(diǎn)之間的相關(guān),但計(jì)算量大得多。小波分析是以上兩種方法的權(quán)衡結(jié)果，傅立葉分析在所有點(diǎn)的分辨率都是原始圖像的尺度，但我們可能不需要這么大的分辨率，而單純的時(shí)域分析又顯得太

15、粗糙，小波分析的多尺度分析特性為用戶提供了更靈活的處理方法，可以選擇任意的分解層數(shù)，用近可能少的計(jì)算量得到我們滿意的結(jié)果。圖像融合 圖像融合是將同一對(duì)象的兩個(gè)或更多的圖像合成在一幅圖像中，以便它比原來(lái)的任何一幅圖像更容易為人們所理解。這一技術(shù)可應(yīng)用于多頻譜圖像理解以及醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域。在這些場(chǎng)合，同一物體部件的圖像往往是采用不同的成像機(jī)理得到的。3MATLAB仿真下面先利用小波分析對(duì)含噪的二維圖像wbard進(jìn)行去噪處理，對(duì)比去噪效果，然后對(duì)去噪后的圖像進(jìn)行銳化處理。再對(duì)原二維圖像wbarb進(jìn)行壓縮處理，之后再對(duì)wbarb和woman圖像進(jìn)行融合處理。Matlab程序如下：load wbarb

16、%下面進(jìn)行噪聲的產(chǎn)生init=;rand('seed',init);Xnoise=X+50*(rand(size(X);%顯示原始圖像及它的含噪聲的圖像colormap(map);figure(1);subplot(2,2,1);image(wcodemat(X,192);title('原始圖像X')subplot(2,2,2);image(wcodemat(Xnoise,192);title('含噪聲的圖像Xnoise');%用sym5小波對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行二層的小波分解c,s=wavedec2(X,2,'sym5');%下面進(jìn)行圖

17、像的去噪處理%使用ddencmp函數(shù)來(lái)計(jì)算去噪的默認(rèn)閾值%使用wdencmp函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮thr,sorh,keepapp=ddencmp('den','wv',Xnoise);Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2=wdencmp('gbl',c,s,'sym5',2,thr,sorh,keepapp);%顯示去噪后的圖像subplot(223);image(Xdenoise);title('去噪后的圖像');%對(duì)去噪后的圖像做銳化處理blur2=Xdenoise;%對(duì)圖像做2層的二維小

18、波分解c,l=wavedec2(Xdenoise,2,'db3');csize=size(c);%對(duì)低頻系數(shù)進(jìn)行放大處理，并抑制高頻系數(shù)for i=1:csize(2); if(abs(c(i)<300) c(i)=c(i)*2; else c(i)=c(i)/2; endend%通過處理后的小波系數(shù)重構(gòu)圖像blur2=waverec2(c,l,'db3');subplot(224);image(wcodemat(blur2,192);colormap(gray(256);title('銳化去噪后的圖像');%圖像壓縮處理figure(2)

19、;subplot(221);image(X);colormap(map)title('原始圖像');disp('壓縮前圖像X的大?。?#39;);whos('X')%對(duì)圖像用bior3.7小波進(jìn)行2層小波分解c,s=wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1=detcoef2('h',c,s,1);cv1=detcoef2('v',c,s,1);cd1=detcoef2(

20、9;d',c,s,1);%分別對(duì)各頻率成分進(jìn)行重構(gòu)a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1=a1,h1;v1,d1;%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(222);image(c1);title('分解后低頻和高頻信息')

21、;%保留小波分解第一層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為ca1，顯示第一層的低頻信息%首先對(duì)第一層信息進(jìn)行量化編碼ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);title('第一次壓縮');disp('第一次壓縮圖像的大小為：');whos('ca1')%保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時(shí)壓縮比更大%第

22、二層的低頻信息即為ca2，顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先對(duì)第二層信息進(jìn)行量化編碼ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis squaretitle('第二次壓縮');disp('第二次壓縮圖像的大小為：');whos('ca2')%圖像融合figure(3);X2=X;map2=map;subplot(221);ima

23、ge(X2);colormap(map2);title('wbarb');load woman;X1=X;map1=map;%畫出原始圖像subplot(222);image(X1);colormap(map1);title('woman');%用小波函數(shù)sym4對(duì)X1進(jìn)行2層小波分解c1,s1=wavedec2(X1,2,'sym4');%對(duì)分解系數(shù)進(jìn)行處理以突出輪廓部分，弱化細(xì)節(jié)部分sizec1=size(c1);for i=1:sizec1(2) c1(i)=1.2*c1(i);end%用小波函數(shù)sym4對(duì)X2進(jìn)行2層小波分解c2,s2=wavedec2(X2,2,'sym4');%下面進(jìn)行小波變換域的圖像融合c=c1+c2;%減小圖像亮度c=0.5*c;%對(duì)融合的系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)xx=wav