漫談高數(shù)—泰勒級(jí)數(shù)的物理意義

1、漫談高數(shù)(一) 泰勒級(jí)數(shù)的物理意義高等數(shù)學(xué)干嗎要研究級(jí)數(shù)問(wèn)題?         是為了把簡(jiǎn)單的問(wèn)題弄復(fù)雜來(lái)表明自己的高深? No，是為了把各種簡(jiǎn)單的問(wèn)題/復(fù)雜的問(wèn)題，他們的求解過(guò)程用一種通用的方法來(lái)表示。        提一個(gè)問(wèn)題，99*99等于多少? 相信我們不會(huì)傻到列式子去算，口算也太難了而是會(huì)做一個(gè)迂回的方法，99*(100-1)，這樣更好算。那么995*998呢? 問(wèn)題更復(fù)雜了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接計(jì)算要復(fù)雜，但是口算卻成

2、為了可能。歸納一下，x*y這樣的乘法運(yùn)算或者冪次運(yùn)算，如何直接計(jì)算很麻煩的話，我們可以用因式分解的方法(中學(xué)生都能理解)來(lái)求解。但是因式分解仍然不夠通用，因?yàn)槲覀兛偸切枰ㄟ^(guò)觀察"特定"的待求解式子，找到一種規(guī)律，然后才能因式分解，這是我們從小學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)方法的全部: 特定問(wèn)題特定的解答方法。那么，到了高等數(shù)學(xué)，怎么辦? 研究一種方之四海皆準(zhǔn)的，通用的方法。        泰勒級(jí)數(shù)的物理意義是什么? 就是把方程g(x)=0的解，寫成曲線方程的形式看看和x軸有什么交點(diǎn)。例如f(x)=x2=5等價(jià)于g(x)=

3、x2-5=0和x軸的交點(diǎn)。而這個(gè)曲線交點(diǎn)可以用直線切線的逼近方法(牛頓迭代法)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就是泰勒級(jí)數(shù)的物理意義: 點(diǎn)+一次切線+2次切線+.+N次切線。每次切線公式的常數(shù)，就是泰勒級(jí)數(shù)第N項(xiàng)的常數(shù)。OK，從泰勒級(jí)數(shù)的式子可以看到，為了保證兩邊相等，且取N次導(dǎo)數(shù)以后仍然相等，常數(shù)系數(shù)需要除以n!，因?yàn)閤n取導(dǎo)數(shù)會(huì)產(chǎn)生n!的系數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)，就是切線逼近法的非跌代的，展開式。泰勒公式怎么來(lái)的，其實(shí)根據(jù)牛頓逼近法就可以得到從1階一直可以推導(dǎo)到N階。假設(shè)f1(x)=f(x)-f(a)，由牛頓逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)2，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-

4、a)+o(x-a)2同理，假設(shè)f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)，兩邊求導(dǎo),f2'(x)=f'(x)-f'(x)-f''(x)(x-a)=-f''(a)(x-a)再求不定積分f2(x)=-(1/2)f''(a)(x-a)2+C，C就是那個(gè)高階無(wú)窮小(需要證明)所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)2+o(x-a)3依次類推，最后就有了泰勒公式。另一種證明過(guò)程干脆就是先寫出來(lái)g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+.+an(x-a)n，

5、然后從等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),.g'''''(a)=f'''''(a). .就得到所有的a0-an的泰勒展示系數(shù)了。-        泰勒級(jí)數(shù)展開函數(shù)，能做什么？對(duì)于特定的x取值，可以求它附近的函數(shù)。y=x100展開以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少，計(jì)算過(guò)程和結(jié)果不但更直觀，而且可以通過(guò)舍棄一些高階項(xiàng)的方法來(lái)避免不必要的精度計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間(如果是計(jì)算機(jī)計(jì)算復(fù)雜數(shù)字的話)。在圖像處理

6、的計(jì)算機(jī)軟件中，經(jīng)常要用到開方和冪次計(jì)算，而Quake III的源代碼中就對(duì)于此類的計(jì)算做了優(yōu)化，采用泰勒技術(shù)展開和保留基本項(xiàng)的辦法，比純粹的此類運(yùn)算快了4倍以上。        還可以做什么呢? 對(duì)于曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，用方程求解的辦法有時(shí)候找不到答案，方程太復(fù)雜解不出來(lái)，那么用泰勒級(jí)數(shù)的辦法求這個(gè)交點(diǎn)，那么交點(diǎn)的精度要提高，相當(dāng)于泰勒級(jí)數(shù)的保留項(xiàng)要增加，而這個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)于牛頓-萊布尼茨的迭代過(guò)程，曲線交點(diǎn)的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。      

7、60; 看到了吧，泰勒技術(shù)用來(lái)求解高方程問(wèn)題，是一種通用的方法，而不是像中學(xué)時(shí)代那樣一種問(wèn)題一種解決辦法，高等數(shù)學(xué)之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無(wú)窮大。        那么，更感興趣的一個(gè)問(wèn)題是，對(duì)于高階的微分方程表達(dá)的問(wèn)題，怎么求解呢? 泰勒級(jí)數(shù)不行了，就要到傅立葉級(jí)數(shù)-傅立葉變換-拉普拉斯變化。這幾個(gè)工具廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)分析，從信號(hào)與系統(tǒng)到數(shù)理方程的求解。        中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)最大的區(qū)別是什么? 中

8、學(xué)數(shù)學(xué)研究的是定解問(wèn)題，例如根號(hào)4等于2。高等數(shù)學(xué)研究什么呢-它包含了不定解問(wèn)題的求解，例如用一個(gè)有限小數(shù)位的實(shí)數(shù)來(lái)表示根號(hào)5的值。我們用泰勒級(jí)數(shù)展開求出的根號(hào)5的近似值，無(wú)論保留多少位小數(shù)，它都嚴(yán)格不等于根號(hào)5，但是實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)足夠了。不可解的問(wèn)題，用高等數(shù)學(xué)的通解辦法，可以求出一個(gè)有理數(shù)的近似解，它可以無(wú)限接近于上帝給出的那個(gè)無(wú)理數(shù)的定解。通解可行性的前提是，我們要證明這種接近的收斂性，所以我們會(huì)看到高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的課本里面，不厭其煩的，一章接一章，一遍又一遍的講，一個(gè)函數(shù)，在某個(gè)開區(qū)間上，滿足某個(gè)條件，就能被證明收斂于某種求和式子。初等數(shù)學(xué)求的是定解，那么如果沒(méi)有定解呢? 高等數(shù)學(xué)可以求近

9、似解。牛頓萊布尼茨就是切線逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是問(wèn)題是根號(hào)內(nèi)的無(wú)理數(shù)仍然無(wú)法表示出來(lái)。那么逼近法求一個(gè)數(shù)的N次方根就派上用場(chǎng)了。 fm=m(k+1)=m(K)+A/m2.(k)-m(k)1/n.n是方次，A被開方數(shù)。例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之間。我們可以隨意代入一個(gè)數(shù)m，例如2，那么：第一步，2+5/（2×2）-2×1/3=1.7;第二步，1.7+5/(1.7×1.7)-1.7×1/3=1.71;第三步，1.71+5/(1.71×1.71)-1.71×1/3=1.709

10、;每次多取一位數(shù)。公式會(huì)自動(dòng)反饋到正確的數(shù)值。        具體的求解過(guò)程：先說(shuō)說(shuō)泰勒級(jí)數(shù)：一個(gè)方程，f(x)=0，求解x，它唯一對(duì)應(yīng)x-f(x)二維圖像上的一條曲線。那么x的求解過(guò)程可以用牛頓-萊布尼茨逼近法求得(迭代)。例如x2=5可以看成f(x)=x2-5=0的求曲線和X軸的交點(diǎn)。牛頓迭代法可以用來(lái)求解線性方程的近似解。那么如何求解非線性方程呢? f(x)用泰勒級(jí)數(shù)展開，取前N項(xiàng)(通常N=2)，得到一個(gè)線性的方程，這個(gè)方程相當(dāng)于是原來(lái)的曲線在求解點(diǎn)附近做了一條切線，其求解過(guò)程和牛頓迭代法等價(jià)。迭代次數(shù)越多，越接近非線

11、性。用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)分解sin(t)，把一個(gè)光滑的函數(shù)變成一些列有楞有角的波形的疊加。用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)分解方波，把有楞有角的波形變成一些光滑曲線的集合。但是傅立葉級(jí)數(shù)舍棄項(xiàng)的時(shí)候，會(huì)產(chǎn)生高頻的吉布斯毛刺(上升下降的邊沿，迪利赫里條件不符合)。局部的收斂性不如泰勒級(jí)數(shù)展開-因?yàn)樘├占?jí)數(shù)展開有逐項(xiàng)衰減的常數(shù)因子。        舉個(gè)例子，用泰勒級(jí)數(shù)求解歐拉公式。沒(méi)有歐拉公式，就沒(méi)有傅立葉變換，就沒(méi)有拉普拉斯變化，就不能把高階導(dǎo)數(shù)映射到e的倒數(shù)上面，也就無(wú)法把微分方程等價(jià)為一個(gè)限行方程。歐拉公式有什么用? 它把實(shí)數(shù)的三角運(yùn)算變成了復(fù)數(shù)的

12、旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，把指數(shù)運(yùn)算變成了乘積運(yùn)算，把純微分方程的求解過(guò)程變成了指數(shù)方程的求解過(guò)程，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。-        推廣一下。怎么分析一個(gè)函數(shù)?怎么分析一個(gè)幾何的相交問(wèn)題?怎么解決一個(gè)多維的問(wèn)題? 初等的方法是根據(jù)函數(shù)或者圖形的幾何性質(zhì)，去湊答案-當(dāng)然大部分情況是湊不到答案的，因?yàn)槟軠惖酱鸢甘且驗(yàn)閱?wèn)題/題目給出了一些特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系以使得我們恰好能湊到答案! 例如一個(gè)圓球在正方體里面，求通過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的切面方程或者距離什么的，我們可以通過(guò)做輔助面求得。但是這個(gè)求解太特殊了，對(duì)于普通的點(diǎn)，例如切面方程 13x+615y+72z-

13、2=0這樣的，初等方法就無(wú)能為力了。說(shuō)白了初等方法就是牛頓在<<自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理>>提到的幾何方法，牛頓并沒(méi)有把微積分上升到解析的思想。普通數(shù)學(xué)分析則提出了解析的代數(shù)運(yùn)算思想，把具體的問(wèn)題用通用的方式來(lái)求得，而問(wèn)題的題設(shè)只是一種把函數(shù)的實(shí)際參數(shù)帶入形式參數(shù)的過(guò)程，使得問(wèn)題可以形式化了-如果數(shù)學(xué)問(wèn)題不能形式化就不能通過(guò)狀態(tài)機(jī)來(lái)求解，試想，計(jì)算機(jī)怎么會(huì)畫輔助線呢? 幾何圖形是有意義的，但是形式求解本身沒(méi)有意義，它必須把實(shí)際的"意義"問(wèn)題變成代數(shù)運(yùn)算，例如求最大值最小值變成導(dǎo)數(shù)=0。電路分析當(dāng)中的模型是什么? 就是數(shù)學(xué)建模。因?yàn)殡妷汉碗娏魇强梢詼y(cè)量的量，

14、那么我們就要看什么量是不變量/變量，什么量是自變量/因變量。如果電壓是不變量，我們認(rèn)為是理想電壓源；如果電流是不變量就是理想電流源，如果電壓電流的比例不變就是恒定電阻；如果電壓電流乘積不變就是理想功率源。把控制電路作為一個(gè)整體，那么電壓/電流控制電壓/電流，作為一個(gè)黑盒，對(duì)外的特性就是電壓轉(zhuǎn)移系數(shù)，電流轉(zhuǎn)移系數(shù)，轉(zhuǎn)移電阻和轉(zhuǎn)移電抗。在物理學(xué)的電場(chǎng)分析當(dāng)中電壓/電勢(shì)是一個(gè)矢量，但是到了集總電路分析的領(lǐng)域就退化成了一個(gè)標(biāo)量。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的分析，好比物理學(xué)當(dāng)中的動(dòng)量/能量守恒，電路分析是以電流守恒為基礎(chǔ)的，于是就有了節(jié)電電流法和環(huán)路電壓法的概念。這些概念的建立都是為了分析的目的而存在的，是分析工具。

15、我們首先得到一個(gè)工具，當(dāng)直接分析很困難的時(shí)候，我們采用逼近的方法來(lái)解決-因?yàn)闃O限就是我們所求的。正是因?yàn)榻馕龅乃枷胧且环N通用的求解方式，愛(ài)因斯坦在晚年才會(huì)追求4大場(chǎng)的統(tǒng)一理論，當(dāng)然他忽略了這個(gè)"解析"的形式系統(tǒng)本身在量子的尺度上失效了，忽略了不確定性和概率的影響，令人惋惜。說(shuō)的太遠(yuǎn)了，高數(shù)里面為什么有那么多種正交展開? 泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)-其實(shí)就是因?yàn)槌醯鹊姆椒o(wú)法精確分析出定解，那么就去尋找一種"不斷逼近"的方法來(lái)求解。復(fù)變函數(shù)研究的就是如何用冪級(jí)數(shù)不斷的逼近原函數(shù)這個(gè)基本命題。-     

16、   泰勒是怎么想出來(lái)的?        為什么泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)，這些展開式都可以寫成某個(gè)通項(xiàng)公式的和呢? 是不是真理都是簡(jiǎn)單的美的，就像畢達(dá)哥拉斯所設(shè)想的一樣? 這個(gè)觀點(diǎn)也許搞反了因果的方向。我們看一下泰勒級(jí)數(shù)是怎么得到的。泰勒假設(shè)f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+o(x-a)2，這個(gè)是牛頓萊布尼茨公式可以推出來(lái)的，那么有了一次項(xiàng)以后，如何繼續(xù)逼近? 方法類似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f'(x)(x-a)，那么可以寫出g2(x)=f(x)-f(a)-f&#

17、39;(x)(x-a)兩邊對(duì)x求導(dǎo)再求不定積分，就得到了2階的泰勒級(jí)數(shù)。依次類推，可以得到N階的泰勒級(jí)數(shù)。由于每一階的推導(dǎo)過(guò)程是"相似"的，所以泰勒項(xiàng)數(shù)的子項(xiàng)肯定也就具有了某種形式意義上的相似性。說(shuō)白了，不是因?yàn)榭陀^存在某種規(guī)律使得函數(shù)可以展開成具有通項(xiàng)公式的冪級(jí)數(shù)，而是為了把函數(shù)展開成具有通項(xiàng)公式的冪級(jí)數(shù)再去看每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)該等于什么，然后為了保證嚴(yán)格再給出收斂以及一致收斂的條件。        不是客觀存在某種"簡(jiǎn)單而且美"的真理，而是主體把某種"簡(jiǎn)單而且美"的形式

18、強(qiáng)加給客觀，再看客觀在"強(qiáng)加"語(yǔ)境下的特性如何。傅立葉級(jí)數(shù)的思想，頻率分析的思想，和這個(gè)相似，是把我們心中的某個(gè)概念賦予外界的實(shí)在，按主管意識(shí)的想法來(lái)拆借外界-只有這樣，思想才能被理解。當(dāng)然，實(shí)數(shù)范圍的泰勒級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)展開的條件仍然比較嚴(yán)格，復(fù)變函數(shù)引入了對(duì)應(yīng)的洛朗級(jí)數(shù)和傅立葉/拉普拉斯變換，通用性強(qiáng)多了。說(shuō)白了，復(fù)變函數(shù)就是函數(shù)逼近論。為了解決初等思想沒(méi)法解決的不可能想明白的問(wèn)題而引入的高等方法。逼近思想的一個(gè)應(yīng)用就是理解曲率的公式 A=|y''|/sqrt(1+y'2)。畫出逼近圖形就可以理解了，用兩個(gè)相似三角形就可以證明這個(gè)公式。 

19、;       復(fù)變函數(shù)說(shuō)白了就是2維正交元素組成的數(shù)域。(1+i)i=exp(iLn(1+i)=exp(iLn|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi)=exp(-Pi) (1/4+2k)*(cosln2/2+isinln2/2)，是一個(gè)正交的表達(dá)式，它保留了兩個(gè)方向上的分量，使得2維分析變得可能。這樣一來(lái)，高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的曲線積分，積分的變量不再是x和y而是只剩下了z，形式上簡(jiǎn)單多了。        假設(shè)曲線積分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=x2-2xy-y

20、2,P=x2-y2+2xy，顯然滿足格林公式。然后負(fù)數(shù)積分 S(z2)dz=S(x2+2xyi-y2)d(x+yi)=S( (x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy )。而S(x2+2xyi-y2)d(x+yi)實(shí)部=S(x2-y2)dx-2xy2dy，虛部=S(2xydx+(x2- y2)dy)，實(shí)部和虛部相加就是S1，也就是說(shuō)，S是S1(曲線積分和路徑無(wú)關(guān))的復(fù)數(shù)形式。我們可以驗(yàn)證S(z2)dz沿不同積分路線從起點(diǎn)到終點(diǎn)的積分結(jié)果。z2=(x2-y2)+i2xy，顯然滿足柯西-黎曼條件。于是它和實(shí)數(shù)積分的格林公式統(tǒng)一了。     

21、0;  實(shí)際的模型總是難以精確的解釋的,所以我們創(chuàng)造一些理想模型去逼近現(xiàn)實(shí)。當(dāng)然，兩者不會(huì)相等，但是只要誤差在容許的范圍之內(nèi)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)的分析就成功了。這就是一切數(shù)學(xué)建模的思想。工科電子類的專業(yè)課，第一門數(shù)學(xué)建模的課程就是電路分析。這里傳輸線的問(wèn)題被一個(gè)等效電路替代了。實(shí)際電源被一個(gè)理想的電壓源加上一個(gè)電阻替代了，三級(jí)管放大電路的理論模型就是電流控制的電流源。一切都是為了分析的方便。只要結(jié)果足夠近似，我們就認(rèn)為自己的理論是有效的。出了這個(gè)邊界，理論就需要修正。理論反映的不是客觀實(shí)在，而是我們"如何去認(rèn)識(shí)"的水平，理論是一種主觀的存在，當(dāng)實(shí)際情況可以影射到同一種理

22、論的時(shí)候，我們說(shuō)理論上有了一種主觀的"普遍聯(lián)系"，就像電路分析和網(wǎng)絡(luò)流量的拓?fù)浞治鲇泻芏喙餐c(diǎn)。這種普遍聯(lián)系不是客體的屬性，只和主體的觀點(diǎn)有關(guān)。                 說(shuō)點(diǎn)題外話，對(duì)于工科電子類/計(jì)算機(jī)類的學(xué)生來(lái)說(shuō)，我們學(xué)習(xí)了太多了經(jīng)過(guò)精簡(jiǎn)壓縮貫通的課程，以至于不知道了這些理論原有的面貌。有一種趨勢(shì)就是把重要的思想性的原理性的東西去掉只留下工程實(shí)用性的內(nèi)容下來(lái)。于是工科學(xué)生學(xué)到的都是"閹割"過(guò)的科

23、學(xué)與技術(shù)-缺少靈魂的學(xué)問(wèn)是無(wú)法用來(lái)做研究的。下面是課程的對(duì)應(yīng)關(guān)系:1. 高等數(shù)學(xué)(工科)2個(gè)學(xué)期 <-> 數(shù)學(xué)分析+解析幾何+微分幾何(5個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課2. 線性代數(shù)(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 高等代數(shù)(2個(gè)學(xué)期)+矩陣論(1個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課3. 數(shù)理方法(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 常微分方程+偏微分方程+算子理論(3個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課4. 離散數(shù)學(xué)(工科)1-2學(xué)期 <-> 形式邏輯+數(shù)理邏輯+集合論+近世代數(shù)+組合數(shù)學(xué)+運(yùn)籌學(xué)+拓?fù)鋵W(xué)(N個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課5. 信號(hào)與系統(tǒng)(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 復(fù)變分

24、析+實(shí)變分析+泛函分析+控制理論+. ._數(shù)學(xué)系專業(yè)課        沒(méi)有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，所謂的"科研"，只能是某種一邊發(fā)明數(shù)學(xué)一邊湊答案的抓狂，只能是空談。還是老老實(shí)實(shí)的做項(xiàng)目，搞軟硬件研發(fā)，開發(fā)市場(chǎng)，做技術(shù)支持，寫報(bào)告，等等。 (二) 方程和矩陣的物理含義一. 矩陣和空間的思想        我在這里，把線性代數(shù)歸于高等數(shù)學(xué)的范疇，因?yàn)樗睦碚撨m用于很多高等數(shù)學(xué)求解的領(lǐng)域，例如多項(xiàng)微分方程組的求解，離不開它。 &

25、#160;      方程組，有什么物理/幾何的意義嗎? 有，就是一種映射關(guān)系。下圖中，左圖代表了2維到2維的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表對(duì)于滿秩矩陣A，0只能被映射為0。右圖代表A不滿秩，就是2維映射到1維的情況，一個(gè)線段映射到一個(gè)點(diǎn)，也就是存在一個(gè)"解系"。        換個(gè)角度，由于線性映射常常就是線性變換，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某種交點(diǎn)的性質(zhì)。根據(jù)向量之間相交的情況區(qū)分，定解(直線或面交于一點(diǎn)，1和2中的交點(diǎn)

26、)，無(wú)窮解(直線平行或面多面共線，這個(gè)線就構(gòu)成解系。1種的紅黃色重合線和3中的共線)，或者無(wú)解(平行或面沒(méi)有公共交點(diǎn)，1中的平行線和4中的平行交線)。如下圖所示。        符號(hào)系統(tǒng)還有什么作用？在線性代數(shù)和微分方程里面的算子理論就是符號(hào)系統(tǒng)的一種形式。如果ax=b有解，那么x=(a-1)*b，其中|a|=0，我們可以推出對(duì)于矩陣方程組Ax=B有確定解，,那么這個(gè)解集是x=(A-1)*b。這里-1表示逆矩陣，*表示矩陣相乘，其中|A|!=0。這樣的表示是正確的科學(xué)的，要做的事情就是看看A-1如何表示和得到。|A|不是絕對(duì)

27、值而是行列式。A此時(shí)稱為可逆矩陣-這個(gè)相當(dāng)于實(shí)數(shù)運(yùn)算里面要保證分母!=0。是不是很相似？        可逆有什么性質(zhì)：如果對(duì)一個(gè)矩陣做線性變換，使用一個(gè)滿秩的矩陣，那么做變換的結(jié)果，秩不變。要注意，把矩陣當(dāng)成算子的時(shí)候，乘法的交換律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性質(zhì)類似于開根號(hào)。兩個(gè)性質(zhì)， (1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A2+AB+B2=0，那么求證A和A+B可逆。證明：A(A+B)=-B2。|-B2|= (-1)n*

28、|B|2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N階可逆矩陣呢？A*T(A)=I的矩陣就是了。推廣的說(shuō)，把分塊矩陣的元素可以看作普通的矩陣元素，那么線性變換的結(jié)果相似，只是4則運(yùn)算的單位從"1"變成了單位矩陣"I"。我們從一元方程得到類似的一元矩陣符號(hào)運(yùn)算的性質(zhì)。說(shuō)白了，代數(shù)意義上就是雙射。-二. 矩陣運(yùn)算的物理含義，舉例        如果把矩陣看成一個(gè)2維坐標(biāo)系離散值的幾何，那么1. 矩陣加法A+B就是A的各個(gè)點(diǎn)作平移，平移的度量是B當(dāng)中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。2. 矩陣乘法A*B就是一種線性映射

29、：如果A是x/y坐標(biāo)系，B是y/z坐標(biāo)系，那么結(jié)果就是x->z的映射。舉個(gè)例子，有3個(gè)國(guó)家，A國(guó)有三個(gè)城市，B國(guó)有三個(gè)城市，C國(guó)有兩個(gè)城市。他們之間的道路狀況如下用矩陣表示->B1,B2,B3A1 1, 1, 0A2 1, 0, 1A3 1, 1, 0->C1,C2B1 1, 0B2 1, 1B3 0, 1        那么從A國(guó)的每個(gè)城市出發(fā)經(jīng)過(guò)B到達(dá)C的每個(gè)城市，各自有多少條線路? 答案就是A*B=(2,1),(1,1),(2,1)3. 我們深入的討論一下"映射"的概念。舉實(shí)數(shù)為例

30、，y=ax是一個(gè)乘法映射，每一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y。那么如果知道y求x呢? x=a(-1)*y。這里影射函數(shù)f(x)=ax和反函數(shù)g(x)=a(-1)x互逆。那么我們推廣到N維坐標(biāo)系空間里面就看到，矩陣就是一個(gè)N*N 的坐標(biāo)系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A(-1)*Y。前提是A的范數(shù)!=0。我們構(gòu)造的得到的A的1范數(shù)就是它的行列式。那么到底什么是映射? 萊布尼茨說(shuō)映射就是一組2元關(guān)系。在1維的時(shí)候表現(xiàn)為函數(shù)的形式f(z)=z，在多維的時(shí)候表現(xiàn)為矩陣的形式。1維的多次映射表現(xiàn)為函數(shù)的嵌套(g o f)，多維的情形可以寫成矩陣的乘法。當(dāng)然，限制條件是，矩陣能表示的是一個(gè)離散值的集合。當(dāng)然，方陣才

31、有逆-方陣是維數(shù)不變的N->N的一一映射，所以可能有且只有一個(gè)反映射，或者沒(méi)有反映射。N->M的不同維數(shù)映射無(wú)法得到反映射。4. 形式化的定義。我們?nèi)绻丫仃嚳闯梢粋€(gè)"算子"的話，矩陣的乘法就能看成一個(gè)狀態(tài)機(jī)的推演，推算的過(guò)程就是一次算子入棧，反推的過(guò)程就是算子出棧。那么顯然就能夠理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)-1=B(-1)*A(-1)，(AB)* = (B*)*(A*)。我們從伴隨矩陣的性質(zhì)AA*=|A|E得到A(-1)=A*/|A|。矩陣左乘是行變換，右乘是列變換。把矩陣看成算子，同時(shí)可以把子矩陣看成算子，分塊矩陣的相成和行列式求解也就很簡(jiǎn)

32、單了?？梢园研〉木仃嚠?dāng)成一個(gè)數(shù)來(lái)看待。三角陣通過(guò)初等變換可以變成分塊陣。5. 初等矩陣有3種，對(duì)應(yīng)3種最基本的矩陣變換，也就是行列互換，行列數(shù)乘，一行/列數(shù)乘以后加到另一個(gè)行/列上面。初等矩陣都可逆。線性變換的結(jié)果是"相抵"的。一個(gè)矩陣總是能等于一個(gè)初等變換矩陣，并且逆矩陣的屬性不變。對(duì)于可逆矩陣A，總有P1P2P3.PnAQ1Q2.Qn=E。或者說(shuō)存在可逆矩陣P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。6. 于是有了線性空間的概念：線性空間V就是一個(gè)集合，它同時(shí)滿足V上的元素加法和對(duì)于數(shù)域K上

33、面的乘法滿足8條線性運(yùn)算的規(guī)則。7. 為什么要討論相似? 這里面包含了一種不變性，是研究變換的數(shù)學(xué)工具。實(shí)數(shù)變換可以拆分成復(fù)數(shù)變換，例如酉矩陣，在晶體學(xué)里，酉變換叫做幺正變換，也就是將空間（可以是任意維的）中一組基矢做一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，不改變矢量的大小和內(nèi)積。而在量子力學(xué)里面，這個(gè)用處就更大了，本質(zhì)上就是量子力學(xué)所說(shuō)的表象變換。是連接兩個(gè)表象的橋梁。        矩陣代表了一種二元關(guān)系。函數(shù)映射是一種1維的二元關(guān)系，那么矩陣就是一種N維的二元關(guān)系。矩陣的方法就是一種映射的運(yùn)算，之所以成為線形運(yùn)算，是因?yàn)槊恳粋€(gè)投影都是具有拉伸和

34、整體旋轉(zhuǎn)的幾何意義，相當(dāng)于向量通過(guò)平面鏡映射到一個(gè)投影平面上面的結(jié)果。這里只有平面鏡和投影平面，沒(méi)有哈哈鏡和投影曲面。如果我們把2元的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫成復(fù)數(shù)形式z=x+yi，那么f(z)就是一種投影的關(guān)系，只不過(guò)f(z)是直線方程的時(shí)候?qū)?yīng)于一個(gè)等效的矩陣，f(z)如果不是直線方程，那么就是一種非線性變換。線形變換有許多很好的性質(zhì)，能夠保持信息的數(shù)量和結(jié)構(gòu)保持某種程度的不變性，同時(shí)使得結(jié)果方便理解和處理。        映射還有一個(gè)性質(zhì)，就是保角性。假設(shè)我們要研究x/y平面上面的x2-y2=c和xy=d這兩個(gè)雙曲線之間的夾角，怎么

35、辦? 我們可以用微元的辦法(微分幾何)來(lái)求出。但是這樣當(dāng)然很麻煩，而且是一題一解(牛頓喜歡這樣做，但是萊布尼茨反對(duì)這種解決方案)，不太符合公理系統(tǒng)和形式化推理的思想?？紤]z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z2費(fèi)波納契數(shù)列的求解遇到過(guò)這樣的問(wèn)題:        一個(gè)數(shù)列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通項(xiàng)公式。用中學(xué)時(shí)代的眼光我們可以觀察到，如果an當(dāng)n-& gt;無(wú)窮的時(shí)候，是個(gè)等比數(shù)列，顯然符合遞推公式。那么我們就可以假設(shè)an=入a(n-1)，那么由遞推公式我們就可

36、以得到:入2*a(n-1)= 入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根號(hào)5)/2(應(yīng)為這個(gè)比值要>1)，那么an=入n*a0。當(dāng)然這個(gè)只是一個(gè)近似公式，結(jié)果不準(zhǔn)確而且推導(dǎo)的過(guò)程不嚴(yán)格。那么我們用大學(xué)的線形代數(shù)來(lái)求解。我們考慮修正方案構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n- 2)，化簡(jiǎn)得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根號(hào)5+-1)/2，剩下的可以參看一組 Wiki(/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E

37、6%95%B0%E5%88%97)。        線形代數(shù)有什么好處? 就是求解的過(guò)程本身可以一直保持變量的形式，可以最后一步才代入實(shí)際參數(shù)。我們寫出一個(gè)矩陣形式的遞推公式：a(n+1)=1,1a(_n_)=1,11,1a(n-1)=.=1,1na(0)a(_n_)=1,0a(n-1)=1,01,0a(n-2)=.=1,0乘a(-1)->        也就是我們假設(shè)A=1,1,1,0那么就有a(n+1),a(n)=An*a0,a(-1)。于是我們

38、可以通過(guò)求解An來(lái)得到通項(xiàng)公式。求出A的特征值|A-入E|=0->|1-入,1|1,0-入|=入2-入-1=0，兩個(gè)特征值分別是:入1=(1+根號(hào)5)/2，入2=(1-根號(hào)5)/2。入1對(duì)應(yīng)的特征向量: |A-入E|x=0->|1-入1,1|1,0-入1|=|入2,_1|0,-入1|所以對(duì)應(yīng)的特征向量是(1,-入2)。而入2對(duì)應(yīng)的特征向量同樣的求法得到(1,-入1)。所以可逆矩陣P=_1,_1-入2,-入1，|P|=(-入1+入2)|=-根號(hào)5。它的逆矩陣P(-1)=入1,1-入2,-1，除以根號(hào)5。所以A=P(-1)*B*P,B是A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。所以a(n+1),a(n

39、)=An*a0,a(-1)=P(-1)*Bn*P*a0,a1->當(dāng)a0=a-1=1時(shí)an=(入1(n+1)-入2(n+1)/根號(hào)5三. 具體的性質(zhì)和計(jì)算1. 對(duì)于克萊姆法則求解的過(guò)程，我們看到Ax=0的情況，對(duì)應(yīng)于每個(gè)解分量的克萊姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩陣中有一個(gè)全為0的列向量，那么求行列式的過(guò)程(全乘)結(jié)果肯定為0，所以方程組至少有個(gè)解向量就是0,0,0,.。這驗(yàn)證了我們前面說(shuō)的，空間直線/面相交于原點(diǎn)的情況。2. 對(duì)于行列式除法，如果有分母等于0的情況，Ax=b就“可能“對(duì)應(yīng)于無(wú)窮個(gè)解。當(dāng)然，解之間符合一定的數(shù)學(xué)約束關(guān)系(例如3維空間中的某個(gè)直線方程)。舉個(gè)例子，x=1,y

40、=1,x-y=0這3個(gè)平面交匯于直線(x=1,y=1)，那么分母行列式些出來(lái)就是|1,0,0 |0,1,0 |1,-1,0|第三個(gè)行向量是冗余的，它的行列式0。為什么說(shuō)可能無(wú)窮個(gè)解(去窮個(gè)z)，因?yàn)閎不同，可能還會(huì)導(dǎo)致無(wú)解。那么，我怎么知道有解還是無(wú)解呢? 那就要求出所有克萊姆除法式的分子，如果有分子分母同為0的情況，就是無(wú)解，例如x=1,y=1,x-y=1這3個(gè)平面兩兩相交，但是就是沒(méi)有公共的部分，克萊姆解法求z分量的過(guò)程，克萊姆分子就是下面這個(gè)矩陣的行列式|1,0,0 |0,1,0 |1,-1,1|顯然行列式=0。    克萊姆法則提供一個(gè)同用的解方程的方法：

41、我們不再需要通過(guò)觀察數(shù)字拼湊的方式來(lái)消元了。當(dāng)然，直接用克萊姆法則還是太復(fù)雜了。首先，隨著維數(shù)的升高，計(jì)算復(fù)雜度指數(shù)增加O(N!)，然后只有求出了所有的克萊姆分子行列式才能判斷是否有解，冗余度很高。所以我們需要進(jìn)一步廣義地研究矩陣的特性，矩陣的秩，特征矩陣/向量/值，等等。我們需要從Ax=0推理到Ax=b。3. 例子: 如果有電路如下，一共5個(gè)電阻，方括號(hào)中的是電阻值:|-1-2-|     |          |    1 

42、;        |     |          |-2-1-|那么如果電路左端是1V電壓，電路右端接地，那么流經(jīng)每個(gè)電阻的電流是多少?    我們可以假設(shè)流經(jīng)每個(gè)電阻的電流是x1,x2,x3,x4,x5(從上到下從左到右分別是x1,x2,x5,x3,x4),電壓有4個(gè)方程，電流分配有2個(gè)方程，顯然有一個(gè)方程是冗余的，沒(méi)關(guān)系，聯(lián)立求解就可以了。x1,x2,x3,x4

43、作為變量:x1+2x2=12x3+x4=1x1+x4+x5=12x2+2x3-x5=1x1-x2-x5=0x3-x4+x5=0 1  2 0 0 0    1 0  0 2 1 0    11  0 0 1 1    10  2 2 0 -1   11 -1 0 0 -1   00  0 1-1  1   0->1  2 0 0 0    1

44、0  0 2 1 0    10 -2 0 1 1    0 :0  2 2 0 -1   1 ->0 -3 0 0 -1   0 :0  0 1-1  1   0->1  2 0 0 0    10  0 2 1 0    10  0 2 1 0    1 :0  2 2 0 -1 &

45、#160; 10 -3 0 0 -1   0 :0  0 1-1  1   0->少一行1  2 0 0 0    10  0 2 1 0    1 :0  2 2 0 -1   10 -3 0 0 -1   0 ->0  0 1-1 -1   0->1  2 0 0 0    10  0 2 1 0 

46、;   1 :0  2 2 0 -1   10  0 3 0 0.5  1.50  0 1-1 -1   0->1  2 0 0 0    10  0 2 1 0    1 :0  2 2 0 -1   10  0 1-1 -1   00  0 6 0 1    3->1  2 0 0 0

47、0;   10  2 2 0 -1   10  0 2 1 0    1 :0  0 1-1 -1   0   ->0  0 0 6 7    3 :->1  2 0 0 0    10  2 2 0 -1   10  0 2 1 0    1 :0  0 2-2 -2 

48、60; 0   ->0  0 0 6 7    3 :->1  2 0 0 0    10  2 2 0 -1   10  0 2 1 0    1 :0  0 0-3 -2  -1   ->0  0 0 6 7    3 :->1  2 0 0 0    10  2 2 0

49、 -1   10  0 2 1 0    1 :0  0 0-3 -2  -1   ->0  0 0 0 3    1 :x5=1/3->x4=1/9->x3=4/9->x2=2/9->x1=5/9    驗(yàn)證一下，電壓，電流的結(jié)果都是正確的。 (三) 線性相關(guān)和秩的物理意義什么是線性相關(guān)? 這兩個(gè)矢量(計(jì)算機(jī)里面用數(shù)組表示)v1和v2，如果v2可以從v1的某種乘除運(yùn)算(幅度拉伸，方向轉(zhuǎn)

50、換)，得到v2+K*v1=0，那么我們認(rèn)為v2和v1線性相關(guān)。例如，兩個(gè)直線方程，x+2y=0和2x+4y=0，他們的系數(shù)向量是(1,2)和(2,4)，顯然，他們是同一條直線。也就是說(shuō)(1,2)和(2,4)是線性相關(guān)的。同理，對(duì)于3維的情況，x=0,y=0,x=y這3個(gè)平面相交于Z軸，我們稱這3個(gè)平面關(guān)于Z軸線性相關(guān)，3個(gè)平面方程的系數(shù)向量之間可以從其中的任意兩個(gè)得到另外一個(gè)(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)。        說(shuō)的抽象一點(diǎn)，線性相關(guān)就是，對(duì)于N個(gè)m維向量v1-vN，存在不全為0的一個(gè)系數(shù)向量K使得

51、 v1*k1+v2*k2+v3*k3+.+vN*kN=0。換句話說(shuō)，其中的某些向量，可以通過(guò)其他向量，對(duì)于其系數(shù)的四則運(yùn)算和組合得到。如果3個(gè)向量v1,v2,v3是線性無(wú)關(guān)的(顯然，v1,v2,v3都不是全0向量)，那么v1+v2,v2+v3,v1+v3這三個(gè)向量之間是什么關(guān)系? 其中的任何一個(gè)不能通過(guò)其他的兩個(gè)進(jìn)行4則運(yùn)算得到，所以仍然是一組線性無(wú)關(guān)的向量。        用圖形來(lái)表示線性相關(guān)的概念，上圖的3維空間中，中a,b,c是3個(gè)不共線的向量，n是垂直于a/b所在平面的向量:(1)線性無(wú)關(guān)組構(gòu)成線性空間，x/y/z構(gòu)

52、成空間，a/b/c如果不共面的話也能構(gòu)成空間?？臻g是有不重疊的向量"張"成的。(2)a/b/c雖然不兩兩垂直，但是保證不共面的情況下，仍然可以對(duì)其他向量做唯一的線性分解(投影)(3)如果a/b/c不保證不共面，例如向量c在a/b張成的平面上，那么這個(gè)向量組的秩R=2，也就是這3個(gè)向量能表出某個(gè)2維空間的所有點(diǎn)集，但是3位空間中就有了很多點(diǎn)無(wú)法用a/b/c來(lái)線性表出，反映在方程組上就是無(wú)解。(4)axb得到向量n，n和a/b所在面垂直-這個(gè)可以理解為n是a/b的正交補(bǔ)空間(高等代數(shù))的一個(gè)"代表"(近世代數(shù))。于是如果a/b/c要能張成3維的線性空間，就必

53、須有c在n上面的投影不為0。此時(shí)c所在的子空間就是a/b構(gòu)成的子空間的補(bǔ)。(5)上面所謂的線性運(yùn)算，也就是對(duì)+,*封閉，并且0元素的映射唯一。(6)所謂矩陣A和B相抵，也就是A/B之間能用初等變換來(lái)互相轉(zhuǎn)化，相當(dāng)于把一個(gè)點(diǎn)集用平面鏡經(jīng)過(guò)若干次的反射映射到另外一個(gè)位置。這個(gè)點(diǎn)集的拓?fù)湫再|(zhì)保持完全不變。線性映射是保形映射，保角映射，同坯映射，具有很好的"運(yùn)算不變"特性。    Ax=b的解總是不多于Ax=0的解。這個(gè)很好理解: 例如，Ax=0如果是對(duì)應(yīng)3維方程組的話，就是3個(gè)平面在3維空間的交點(diǎn)。如果不是交與一條線，也不重合，那么就交與原點(diǎn)(0,0

54、,0)。好了，對(duì)于Ax=b的情況怎么理解呢? 也就是這3個(gè)平面都做了一定的平移。那么如果平移的當(dāng)，交點(diǎn)和原來(lái)一樣，只是平移到了(a,b,c)，但是也有可能這3個(gè)面平移的不正好相交，變成無(wú)解了。這個(gè)分析的過(guò)程對(duì)應(yīng)于矩陣的增廣矩陣分析。如果矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，那么相當(dāng)于高斯消元法的過(guò)程出現(xiàn)了0=x(x非0)這樣的謬，也就是方程組無(wú)解(沒(méi)有交點(diǎn))。如果兩個(gè)秩相等，就相當(dāng)于解的數(shù)量和原來(lái)一樣。    那么，怎么理解秩，通解和特解呢? 還是拿3維平面舉例子(3維方程組)，如果系數(shù)矩陣的行列式為0，說(shuō)明可以通過(guò)消元法去掉至少一個(gè)方程，就像上面說(shuō)的x=0,y=0,x-y

55、=0三個(gè)平面的情況一樣，x=y可以通過(guò)前面兩個(gè)方程相減得到。系數(shù)矩陣的非相關(guān)向量個(gè)數(shù)=2，我們稱秩(rank)=2。好了，這個(gè)方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)(整個(gè)Z軸)，寫成通解形式就是(x,y,z)=k(0,0,1)，k是任意實(shí)數(shù)。如果方程組是Ax=b呢，那么交點(diǎn)相當(dāng)于平移到了(a,b,c)，通解形式就是k(0,0,1)+(a,b,c)，這里(a,b,c)是特解，表示平移的基點(diǎn)。怎么求這個(gè)特解? 隨便代入一個(gè)x的值x0，求出y和z的對(duì)應(yīng)值，但是結(jié)果(x0,y0,z0)不等于(a,b,c)，不要緊，k(0,0,1)填補(bǔ)了(x0,y0,z0)和(a,b,c)之間的差。    繼

56、續(xù)推廣，前面說(shuō)的Ax=b都是齊次線性方程組，如果A是非齊次的(m*n)呢，例如，有4個(gè)變量? 那么如果r(A)=2，說(shuō)明只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的矩陣向量，通解基的個(gè)數(shù)=max(m,n)-r(A)。這里，通解基個(gè)數(shù)=4-2=2。所以得到兩個(gè)方程的時(shí)候，代入(x1,x2)=(1,0),(0,1)兩個(gè)向量，求出通解k1(x0,y0,1,0)+k2(x1,y1,0,1)。當(dāng)然，代如(x3,x4)=某個(gè)向量組合，效果一樣，因?yàn)榫€性相關(guān)性是對(duì)稱的。最后，求特解，代入一個(gè)任意的(x1,x2)組合求出特解(x,y,z,L)。再次推廣，Ax=B，B也是一個(gè)矩陣，有解嗎? 只要保證r(系數(shù)矩陣)=r(增廣矩陣)就可以了

57、，也就是保證高斯消元的過(guò)程，方程兩邊不出現(xiàn)0=非0的悖論。    好了，為了說(shuō)明線性相關(guān)，秩，通解之間的關(guān)系，我舉個(gè)例子。這個(gè)例子是線性代數(shù)的常見(jiàn)證明題：    題目：已知A是m*n的矩陣，秩r(A)=m，存在矩陣使得AB=0有解，通解矢量個(gè)數(shù)為n-m。求證，對(duì)于任何矢量a使得Aa=0，那么必然有一個(gè)矢量b使得a=Bb。    怎么證明呢? 要求證的東西其實(shí)就是，a可以表示為B的列向量的某種線性組合->也就是求證a總是可以由B的列向量線性表示。那么既然a是Ax=0的一個(gè)解，那么就要求B的列向量必然是

58、Ax=0的通解向量組成的矩陣，那么必然有AB=0的解的個(gè)數(shù)=n-r(A)=n-m，符合題設(shè)。倒過(guò)來(lái)寫就是證明的過(guò)程。    求線性方程組通解的缺點(diǎn): 求秩的過(guò)程依然用到了高斯消元法，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的計(jì)算機(jī)方法，全靠人為觀察。而且很多實(shí)際應(yīng)用的情況下，方程組是沒(méi)有精確解的，根本求不出秩，為了求得近似解，要引入奇異值分解的方法，而這個(gè)方法又引出了：特征矩陣，特征值，特征向量。  (四) 特征向量物理意義 1. 特征的數(shù)學(xué)意義        我們先考察一種線性變化，例如x,y坐

59、標(biāo)系的橢圓方程可以寫為x2/a2+y2/b2=1，那么坐標(biāo)系關(guān)于原點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)以后，橢圓方程就要發(fā)生變換。我們可以把原坐標(biāo)系的(x,y)乘以一個(gè)矩陣，得到一個(gè)新的(x',y')的表示形式，寫為算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。這里的矩陣M代表一種線性變換：拉伸，平移，旋轉(zhuǎn)。那么，有沒(méi)有什么樣的線性變換b(b是一個(gè)向量)，使得變換后的結(jié)果，看起來(lái)和讓(x,y)*b像是一個(gè)數(shù)b乘以了一個(gè)數(shù)字m*b? 換句話說(shuō)，有沒(méi)有這樣的矢量b，使得矩陣A*b這樣的線性變換相當(dāng)于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一個(gè)特征向量，m就是對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征值。一個(gè)矩

60、陣的特征向量可以有很多個(gè)。特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值對(duì)應(yīng)的方程組通解求出，反過(guò)來(lái)也一樣。例如，設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a2,則常數(shù)a=? 因?yàn)閍1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,說(shuō)明a1=(a,-a,1)T是A的屬于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，說(shuō)明a2=(a,1,-a)T是A的屬于-1的特征向量。實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量式正交的，所以a2-a-a=0,a2,所以a=0。      &

61、#160; 還是太抽象了，具體的說(shuō)，求特征向量的關(guān)系，就是把矩陣A所代表的空間，進(jìn)行正交分解，使得A的向量集合可以表示為每個(gè)向量a在各個(gè)特征向量上面的投影長(zhǎng)度。例如A是m*n的矩陣,n>m，那么特征向量就是m個(gè)(因?yàn)橹茸畲笫莔)，n個(gè)行向量在每個(gè)特征向量E上面有投影，其特征值v就是權(quán)重。那么每個(gè)行向量現(xiàn)在就可以寫為Vn=(E1*v1n,E2*v2n.Em*vmn)，矩陣變成了方陣。如果矩陣的秩更小，矩陣的存儲(chǔ)還可以壓縮。再: 由于這些投影的大小代表了A在特征空間各個(gè)分量的投影，那么我們可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，這樣最大限度地保存了矩陣代表的信息，

62、同時(shí)可以大大降低矩陣需要存儲(chǔ)的維度，簡(jiǎn)稱PCA方法。        舉個(gè)例子，對(duì)于x,y平面上的一個(gè)點(diǎn)(x,y)，我對(duì)它作線性變換，(x,y)*1,0;0,-1，分號(hào)代表矩陣的換行，那么得到的結(jié)果就是(x,-y)，這個(gè)線性變換相當(dāng)于關(guān)于橫軸x做鏡像。我們可以求出矩陣1,0;0,-1的特征向量有兩個(gè)，1,0和0,1，也就是x軸和y軸。什么意思呢? 在x軸上的投影，經(jīng)過(guò)這個(gè)線性變換，沒(méi)有改變。在y軸上的投影，乘以了幅度系數(shù)-1，并沒(méi)有發(fā)生旋轉(zhuǎn)。兩個(gè)特征向量說(shuō)明了這個(gè)線性變換矩陣對(duì)于x軸和y軸這兩個(gè)正交基是線性不變的。對(duì)于其他的線

63、性變換矩陣，我們也可以找到類似的，N個(gè)對(duì)稱軸，變換后的結(jié)果，關(guān)于這N個(gè)對(duì)稱軸線性不變。這N個(gè)對(duì)稱軸就是線性變換A的N個(gè)特征向量。這就是特征向量的物理含義所在。所以，矩陣A等價(jià)于線性變換A。        對(duì)于實(shí)際應(yīng)用的矩陣算法中，經(jīng)常需要求矩陣的逆：當(dāng)矩陣不是方陣的時(shí)候，無(wú)解，這是需要用到奇異值分解的辦法，也就是A=PSQ，P和Q是互逆的矩陣，而S是一個(gè)方陣，然后就可以求出偽逆的值。同時(shí)，A=PSQ可以用來(lái)降低A的存儲(chǔ)維度，只要P是一個(gè)是瘦長(zhǎng)形矩陣，Q是寬扁型矩陣。對(duì)于A非常大的情況可以降低存儲(chǔ)量好幾個(gè)數(shù)量級(jí)。2. 物理意義

64、        特征向量有什么具體的物理意義? 例如一個(gè)駐波通過(guò)一條繩子，繩子上面的每個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)無(wú)窮維的向量，這個(gè)向量的特征向量就是特征函數(shù)sin(t)，因?yàn)槭菚r(shí)變的，就成了特征函數(shù)。每個(gè)點(diǎn)特征值就是每個(gè)點(diǎn)在特定時(shí)刻的sin(x+t)取值。再如，從太空中某個(gè)角度看地球自轉(zhuǎn)，雖然每個(gè)景物的坐標(biāo)在不斷的變換，但是這種變換關(guān)于地球的自傳軸有對(duì)稱性，也就是關(guān)于此軸的平移和拉伸的坐標(biāo)變換不敏感。所以地球自轉(zhuǎn)軸，是地球自轉(zhuǎn)這種空間變換的一個(gè)特征向量。Google的PageRank，就是對(duì)www鏈接關(guān)系的修正鄰接矩陣的，主要特征向量的投

65、影分量，給出了頁(yè)面平分。有什么特性呢? AB和BA有相同的特征向量-設(shè)AB的特征向量為x，對(duì)應(yīng)的特征值為b，則有(AB)x = bx，將上式兩邊左乘矩陣B，得B(AB)x = (BA)(Bx) = b(Bx)，故b為BA的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為Bx。反之亦然。        什么是特征矩陣和特征值？我們用整體論來(lái)考慮，假設(shè)P(A)=(1,2,3)是A的3個(gè)特征向量。那么P(A2)就是(12,22,32)，P可以看作是一種算子。當(dāng)然，算子的特性是需要用部分/細(xì)節(jié)詳細(xì)證明的。一旦證明，就可以作為整體的特征。特征值有什么特性？說(shuō)

66、明矩陣可以分解成N維特征向量的投影上面，這N個(gè)特征值就是各個(gè)投影方向上的長(zhǎng)度。由于n*n矩陣A可以投影在一個(gè)正交向量空間里面，那么任何N維特征向量組成的矩陣都可以是線性投影變換矩陣，那么I就是一個(gè)同用的線性變換投影矩陣。所以對(duì)于特征值m，一定有是夠成了一個(gè)沒(méi)有線性無(wú)關(guān)向量的矩陣Aa=ma兩邊同乘以I得到 Aa=maI，所以(A-mI)a=0有非0解，那么|A-mI|=0(可以用反正法，如果這個(gè)行列式不是0，那么N個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，在N維空間中只能相交于原點(diǎn)，不可能有非0解)。所以可以推出一些很有用的性質(zhì)，例如A=1/2,1,1;0,1/3,1;0,0,1/5，那么只要滿足|A- mI|=0的值就

67、是特征值，顯然特征值數(shù)組立即可以得到(1/2,1/3,1/5)。一個(gè)n*n的矩陣A，秩=1，那么最大線性無(wú)關(guān)組=1組，特征向量=1個(gè)，任意n維非零向量都是A的特征向量。特征向量本身不是定死的，這就好比坐標(biāo)系可以旋轉(zhuǎn)一樣。一旦特征向量的各個(gè)方向確定了，那么特征值向量也就確定了。求特征值的過(guò)程就是用特征方程：|A-mE|=0,P(1/A)=1/P(A)，可以證明。有什么物理含義呢？一個(gè)N維線性無(wú)關(guān)的向量，去掉其中的一維，那么就有至少兩個(gè)向量是線性相關(guān)的了，所以行列式=0。特征矩陣有什么作用？把矩陣變化為正定矩陣，也就是A=P-1BP，這樣的變換，A是對(duì)角陣。        線性代數(shù)的研究，是把向量和矩陣作為一個(gè)整體，從部分的性質(zhì)出發(fā)，推到出整體的性質(zhì)，再由整體的性質(zhì)得到各種應(yīng)用和物理上的概念。當(dāng)矩陣A是一個(gè)符號(hào)的時(shí)候，它的性質(zhì)會(huì)和實(shí)數(shù)a有很多相似的地方?？茖W(xué)的定理看起來(lái)總是遞歸著的。再舉一個(gè)例子，高數(shù)的基本概念有微分，積分，倒數(shù)，那么我立刻可以想到中值定理就應(yīng)該有3