淺淡數(shù)列中的分類討論問題

1、淺淡數(shù)列中的分類討論問題鐘杰倫（通訊地址：浙江省魯迅中學(xué)）摘要：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)的一種重要的思想，也是歷年高考的考察重點在數(shù)列這一章的題目中，作者通過多年的教學(xué)觀察和總結(jié)分析,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在解決數(shù)列問題的過程中,往往會在涉及到分類討論的題目中出問題.下面我們總結(jié)幾類常見的數(shù)列題中需要分類討論來解決的問題.問題一:用數(shù)列前n項和求數(shù)列的通項公式問題例1、已知數(shù)列的前n項和為，且，則 【答案】【解析】當(dāng)，；當(dāng)時，不符合上式，所以.評析:此題是與的關(guān)系問題.關(guān)鍵要知道由求時分兩類討論其實同學(xué)們在解決此類問題時,每次先寫好公式: ,代入求解,然后看兩類能否合并,就不容易出錯了.例2、已知數(shù)列中，.

2、【解析】，-：， 即（），又=2，時，數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.，故. 評析: 此題是個易錯題,容易出現(xiàn)沒有討論的錯誤.事實上,如果我們把題中的記作數(shù)列的前項和,再利用前項和求通項公式的公式: ,就可以避免少討論的錯誤了.問題二:討論等比數(shù)列公比問題例3、求和： .【解析】記當(dāng)時，當(dāng)時，原式= .評析:此題是基礎(chǔ)題,關(guān)鍵在以能準(zhǔn)確討論的取值,也就是討論等比數(shù)列的公比是否會等1的問題.此題給同學(xué)們的啟示是,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比是參數(shù)時,其前n項和.例4、已知數(shù)列中, 且( 且).(1) 設(shè),證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2) 求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）(2)由(1)易知, ,() 當(dāng)時,由

3、上式易得, 當(dāng)時,由上式易得.綜上可知.評析:此題的易錯點在于對公比的討論,等比數(shù)列的前n項和問題往往會出現(xiàn)公比為參數(shù)的情形,此時討論公比是否可以等于1就是解決題目的關(guān)鍵.牢記等比數(shù)列前n項和公式,此類問題也就迎刃而解了.問題三:數(shù)列通項公式含的問題例5、已知數(shù)列是各項均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項和，且滿足，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和（1）求、和；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】：（1）在中，令，得 即 解得， ， （2）當(dāng)為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 ，等號在時取得 此時 需滿足 當(dāng)為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 是隨的增大而增大，

4、 時取得最小值 此時 需滿足 綜合、可得的取值范圍是評析:數(shù)列問題中,經(jīng)常會出現(xiàn)的形式,當(dāng)數(shù)列通項公式中出現(xiàn)的形式時,往往對分奇、偶討論,問題就迎刃而解了.例6、已知數(shù)列，其前項和滿足,其中（）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立【解析】：（）當(dāng)時，當(dāng)時，即，（常數(shù)），又，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，（）由得，（i）當(dāng)n為奇數(shù)時，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，有最小值為1，；（ii）當(dāng)n為偶數(shù)時，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，有最大值-2，又為非零整數(shù)，則=-1.綜上所述：存在=-1，使得對任意，都有成立評析:此題仍然是題中出現(xiàn)的問題,只需要對分奇

5、、偶討論,問題也就解決了.問題四:分段數(shù)列和帶三角函數(shù)的類周期數(shù)列的求和問題例、數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和【解析】：（1） 由，得、是方程的二個根，此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差，.（）由得，解得，此數(shù)列前四項為負(fù)的，第五項為0，從第六項開始為正的當(dāng)且時，當(dāng)且時，評析:此題是個基礎(chǔ)題，這個題的關(guān)鍵在于求數(shù)列的前和時，注意對的范圍的討論很多同學(xué)在計算這個題目時，只計算到了第二種可能，而沒有考慮第一種情形的求和方式是不同的例、數(shù)列的通項，其前n項和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項和.【解析】: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故評析:這個題是個典型的分組求和的問題當(dāng)數(shù)列的通項公式中帶有正弦、余弦等三角形式時，往往都可以先考慮三角式的周期，然后再按三角式的